Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I

Transkript

1 Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe Version A 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 05 Punkte für jede falsche 0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich. wahr falsch ist ein Erzeugendensystem X des R-Vektorraums R 2. i i ist eine Basis des C-Vektorraums C 2. X In jedem Körper gilt + 0. X Die Relation auf Z x y : x + y ist gerade x y Z X ist eine Äquivalenzrelation. Die Abbildung Q 2 R q q 2 q + q 2 2 X ist nicht injektiv. Eine Abbildung f : M M ist genau dann surjektiv X wenn f f surjektiv ist. Es gibt einen R-Vektorraum mit genau 3 Elementen. X Für alle Matrizen M M R 2 2 gilt X M M M M. Es existiert ein R-Untervektorraum U von R 2 so dass X U 0 R 2 und U 0 R 2 gilt. Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V. X Dann gilt dim R V/U dim R V / dim R U.

2 Aufgabe Version B 5 Punkte: Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 05 Punkte für jede falsche 0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich. wahr falsch ist ein Erzeugendensystem X des R-Vektorraums R 2. i i ist keine Basis des C-Vektorraums C 2. X Es gibt einen Körper in dem + 0 gilt. X Die Relation auf Z x y : x + y ist gerade x y Z X ist keine Äquivalenzrelation. Die Abbildung Q 2 R q q 2 q + q 2 2 X ist injektiv. Eine Abbildung f : M M ist genau dann surjektiv X wenn f f surjektiv ist. Es gibt keinen R-Vektorraum mit genau 3 Elementen. X Es gibt Matrizen M M R 2 2 mit X M M M M. Es existiert ein R-Untervektorraum U von R 2 so dass X U 0 R 2 und U 0 R 2 gilt. Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V. X Dann gilt dim R V/U dim R V / dim R U.

3 Aufgabe 2 Version A 5 Punkte: Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich. a Bestimmen Sie den Rang folgender reeller Matrix Rang b Bestimmen Sie die inverse Matrix in R P. P. c Geben Sie einen Vektor b R 3 an für den das Gleichungssystem x b x R 3 keine Lösung besitzt. b 0 0 P. Korrekte Lösungen sind die Vektoren b b 2 b 3 mit b + b 2 b 3. d Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation sgn P e Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen P. f dim R R P.

4 Aufgabe 2 Version B 5 Punkte: Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich. a Bestimmen Sie den Rang folgender reeller Matrix Rang b Bestimmen Sie die inverse Matrix in R P. P. c Geben Sie einen Vektor b R 3 an für den das Gleichungssystem x b x R 3 keine Lösung besitzt. b 0 0 P. Korrekte Lösungen sind die Vektoren b b 2 b 3 mit b + b 2 b 3. d Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation sgn P e Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen P. f dim R R P.

5 Aufgabe 3 35 Punkte: Für a R definieren wir die Abbildung f a : R 2 R 2 x y ax + y x + ay. a Zeigen Sie dass die Abbildungen f a a R R-linear sind. P. b Bestimmen Sie detf a in Abhängigkeit von a. Für welche a R gilt detf a 0? P. c Erläutern Sie kurz warum mit der vorherigen Teilaufgabe Bildf a R 2 für alle a R \ {±} folgt. 05 P. d Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Bildf und Bildf. P. Lösung: a Die Abbildung f a ist R-linear da für alle x x 2 y y 2 r R gilt: f a x y + x 2 y 2 f a x + x 2 y + y 2 ax + x 2 + y + y 2 x + x 2 + ay + y 2 ax + y x + ay + ax 2 + y 2 x 2 + ay 2 f a x y + f a x 2 y 2 05 P. f a rx y f a rx ry arx + ry rx + ary rax + y x + ay rf a x y 05 P. a b detf a det a 2 05 P. a detf a 0 a {±} c a R \ {±} detf a 0 f a bijektiv f a surjektiv d.h. Bildf a R 2 d Bildf { x + y x + y x y R } { z z z R } Basis für Bildf : Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren z z mit z 0. Bildf { x + y x y x y R } { z z z R } Basis für Bildf : Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren z z mit z P. 05 P. 05 P. 05 P.

6 Aufgabe 4 3 Punkte: Auf der Menge G : {x x 2 x 3 Q 3 x 0 und x 3 0} ist die Multiplikation x x 2 x 3 y y 2 y 3 : x y x y 2 + x 2 y 3 x 3 y 3 definiert. a Zeigen Sie dass G bezüglich dieser Multiplikation eine Gruppe ist. 5 P. Tipp: Prüfen Sie zunächst ob 0 das neutrale Element ist. b Geben Sie ein x G mit x x an. 05 P. c Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt unendlich viele Elemente x G mit x x 0. P. Lösung: a 0 ist das neutrale Element denn für alle x x 2 x 3 G gilt x x 2 x 3 0 x x 0 + x 2 x 3 x x 2 x 3 und 0 x x 2 x 3 x x x 3 x 3 x x 2 x P. Das inverse Element von x x 2 x 3 G ist x x x 2 x 3 x 3 denn x x 2 x 3 x x x 2 x 3 x 3 x x x x x 2 x 3 + x 2 x 3 x 3 x 3 0 und x x x 2 x 3 x 3 x x 2 x 3 x x x x 2 x x 2 x 3 x 3 x 3 x P. Assoziativität: Für alle x x 2 x 3 y y 2 y 3 z z 2 z 3 G gilt x x 2 x 3 y y 2 y 3 z z 2 z 3 x y x y 2 + x 2 y 3 x 3 y 3 z z 2 z 3 x y z x y z 2 + x y 2 + x 2 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 x y z x y z 2 + y 2 z 3 + x 2 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 x x 2 x 3 y z y z 2 + y 2 z 3 y 3 z 3 x x 2 x 3 y y 2 y 3 z z 2 z P. Es wurde nicht erwartet dass die Abgeschlossenheit der Menge G bzgl. der Multiplikation nachgeprüft wird. b Für x : 2 gilt x x. 05 P. Korrekte Lösungen sind auch alle anderen x x 2 x 3 G mit x x 3. c Es gibt unendlich viele x G mit x x 0 05 P. denn für alle r Q gilt r r 0. Es gibt noch weitere Elemente x G mit x x P.

7 Aufgabe 5 25 Punkte: Sei f : R 2 R 2 eine R-lineare Abbildung. Wir definieren U f : { x y R 2 fx y y x }. a Zeigen Sie dass U f ein R-Untervektorraum von R 2 ist. 5 P. b Beweisen Sie: U f Kernf {0 0} P. Lösung: a Wegen f gilt 0 0 U f und somit U f. 05 P. Für x y x 2 y 2 U f gilt fx y y x und fx 2 y 2 y 2 x 2. Wegen der Linearität von f folgt fx + x 2 y + y 2 fx y + fx 2 y 2 y x + y 2 x 2 y + y 2 x + x 2 und somit x y + x 2 y 2 x + x 2 y + y 2 U f. 05 P. Für r R und x y U f gilt wegen der Linearität von f frx ry rfx y ry x ry rx und daher rx y rx ry U f. 05 P. b : Sei x y U f Kernf. Dann folgt y x fx y 0 0 und somit x y P. : Da U f Kernf R 2 Untervektorräume sind gilt 0 0 U f und 0 0 Kernf. Es folgt 0 0 U f Kernf. 05 P.

8 Benotung der Klausur: Die Klausur ist bestanden falls insgesamt mindestens 75 Punkte und bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen mindestens 3 Punkte erreicht wurden. Bei bestandener Klausur wird die Note gemäß folgender Tabelle festgelegt: Punkte Note sehr gut sehr gut gut gut gut befriedigend befriedigend befriedigend ausreichend ausreichend Die Klausur ist nicht bestanden falls insgesamt weniger als 75 Punkte oder bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen weniger als 3 Punkte erreicht wurden. In diesem Fall wird die Klausur mit 50 nicht ausreichend benotet.