Mathematik I 1. Scheinklausur

Transkript

1 Mathematik I 1. Scheinklausur Bitte beachten Sie die folgenden Hinweise: Matrikelnummer: Bearbeitungszeit: 120 Minuten Erlaubte Hilfsmittel: Keine Bei den Aufgaben 1,2,4,5,9,und 10 wird nur die Angabe von Endergebnissen verlangt. Falsche Angaben können mit Punktabzug bewertet werden, man sollte sich also überlegen im Zweifelsfall eine Frage nicht zu beantworten. Bei einer Aufgabe werden aber mindestens 0 Punkte erzielt. Die Aufgaben,6,7 und 8 bearbeiten Sie bitte auf zusätzlichen Blättern. Verwenden Sie für jede Aufgabe ein neues Blatt. Bei diesen Aufgaben müssen die Ergebnisse begründet werden. Endergebnisse allein genügen nicht. Der Code für diese Klausur ist 999-ABCDEFGHIJ. Mit diesem Code und Ihrer Matrikelnummer können Sie das Ergebnis dieser Klausur über das Internet abrufen. Bitte bestätigen Sie mit Ihrer Unterschrift, dass Sie diesem Verfahren zustimmen: Unterschrift: Sollten Sie dem Verfahren nicht zustimmen, wird Ihr Ergebnis nicht im Internet zur Verfügung gestellt. Sie erfahren es dann durch die Rückgabe der Klausur in den Übungsgruppen. Viel Erfolg! Aufgabe 1 (4 Punkte): Ermitteln Sie den Wahrheitswert des logischen Ausdrucks D : (A C) (B C) in Abhängigkeit von den Wahrheitswerten der Aussagen A,B,C. A w w w w f f f f B w w f f w w f f C w f w f w f w f A C w w w w f w f w B C w f f f w f f f D w f f f f f w f Geben Sie jeweils entweder w oder f an. Aufgabe 2 (8 Punkte): Formulieren Sie die folgende Aussage mit Hilfe von Quantoren, geben Sie ihre Verneinung und ihren Wahrheitswert an: A: Es gibt eine reelle Zahl q, so dass die Gleichung x 2 + px + q = 0 für jedes reelle p eine reelle Lösung x besitzt. A : q R p R x R : x 2 + px + q = 0 A : q R p R x R : x 2 + px + q 0 Wahrheitswert von A: w Aufgabe (4 Punkte): Geben Sie die De Morganschen Regeln für Aussagen und für Mengen an.

2 Aufgabe 4 (9 Punkte): Kreuzen Sie an, welche Eigenschaften die Relationen R 1,R 2,R M M erfüllen. Trifft eine Eigenschaft nicht zu, tragen Sie bitte das Zeichen ein. M = {a,b,c,d,e,f} R 1 R 2 R = {(a,a), (a,b), (b,b), (b,c), (c,c), (c,d), (d,d), (d,e), (e,e), (e,f), (f,f)} = {(a,a), (a,b), (b,a), (b,b)} = {(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (e,e), (f,f)} R 1 R 2 R R 1 R 2 R reflexiv X X symmetrisch X X antisymmetrisch X X transitiv X X Äquivalenzrelation X Ordnungsrelation X Aufgabe 5 (9 Punkte): Bestimmen Sie für die Abbildung f : R R, f(x) = x x 2 die Mengen f 1 ({0}),f 1 ([0, 1]) und f 1 ({2}). f 1 ({0}) = {1}, f 1 ([0, 1]) = [1, /2], f 1 ({2}) = {x R : 2 x}. Aufgabe 6 (6 Punkte): Skizzieren Sie den Graphen der Abbildung f : R R, f(x) = x x 2 4 und geben Sie mit Begründung an, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Aufgabe 7 (6 Punkte): Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: (2k 1) 2 = 4n n. Aufgabe 8 (5 Punkte): Bestimmen Sie ggt(1702, 506) mit dem Euklidischen Algorithmus. Aufgabe 9 (5 Punkte): Geben Sie die Darstellung von zur Basis 6 an. Hinweis: 6 2 = = Aufgabe 10 (6 Punkte): Kreuzen Sie an, welche Eigenschaften (M, ) hat. Trifft eine Eigenschaft nicht zu, tragen Sie bitte das Zeichen ein. M = {x,y,z}, x y z x y z z y x y z y x y z ist assoziativ:, neutrales Element: X, Monoid:, Halbgruppe:, ist kommutativ: X, inverse Elemente: X, Gruppe:, Abelsche Gruppe:.

3 Geben Sie die De Morganschen Regeln für Aussagen und für Mengen an. De Morgansche Regeln für Aussagen: (A B) = ( A) ( B), (A B) = ( A) ( B). De Morgansche Regeln für Mengen: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c.

4 Skizzieren Sie den Graphen der Abbildung f : R R, f(x) = x x 2 4 und geben Sie mit Begründung an, ob die Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist. Skizze: y x Die Funktion ist surjektiv, da für x = 2 f(x) = 0 gilt, die Funktion für x 2 (als Polynom) stetig ist und für x ± gegen ± strebt oder weil die kubische Gleichung x 4x = c mindestens eine reelle Lösung besitzt. Die Funktion ist nicht injektiv, da 2, 0 und 2 dasselbe Bild 0 haben. Die Funktion ist nicht bijektiv, da sie nicht injektiv ist. Beweis: f(x) ± : x x 2 4 > 1 x x 2 4 > x x x 2 4 > 1 x x 2 4 < x

5 Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Zu zeigen ist, dass die Aussage (2k 1) 2 = 4n n. A(n) : (2k 1) 2 = 4n n für alle n N wahr ist. Induktionsanfang: Für n = 1 ist (2k 1) 2 = 1 (2k 1) 2 = (2 1 1) 2 = 1 2 = 1 = = = 4n n, die Aussage A(1) ist also wahr. Induktionsvoraussetzung (IV): A(l) sei für l n wahr. Induktionsschritt: Es ist n+1 (2k 1) 2 = (2(n + 1) 1) 2 + IV also gilt A(n) A(n + 1). Induktionsschluss: (2k 1) 2 = (2n + 1) 2 + 4n n = 4(n + n 2 + n + 1) n 1 Für die Menge M = {n N : A(n) ist wahr } gilt: = (4n2 + 4n + 1) + 4n n = 4(n + 1) (n + 1), 1 M und n M (n + 1) = f(n) M. Nach dem Peano-Axiom N folgt damit M = N.

6 Bestimmen Sie ggt(1702, 506) mit dem Euklidischen Algorithmus. Der Euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen a und b hat folgende Struktur: r 0 = a, r 1 = b Solange r n 0: Berechne r n+1 = r n 1 k r n, wobei k Z und 0 r n+1 r n gelten muss. Ist r n = 0 ist mit r n 1 der ggt gefunden. Speziell: r 0 = 1702, r 1 = 506 r 2 = = = 184 r = = = 18 r 4 = = 46 r 5 = = = 0 Somit ist ggt(1702, 506) = 46.