Tutorium: Diskrete Mathematik

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 2) 23. November 2016

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

3 Mengen 3 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

4 Mengen Mächtigkeit einer Menge Unter der Mächtigkeit M einer (endlichen) Menge M versteht man die Anzahl der in M enthaltenen Elemente. Die Mächtigkeit einer Menge wird auch als Kardinalität bezeichnet. Für die Mächtigkeit einer unendlichen Menge schreibt man häufig. Beispiele: { } A = 11, 13, 17, 19 A = 4 { } B =..., 4, 2, 0, 2, 4,... B = 4 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

5 Mengen Vergleichen von Mengen I Mengen können miteinander verglichen werden. Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Es ist außerdem möglich, dass A und B identisch sind. Sprechweise: A ist eine Teilmenge von B. Gleichheit: A = B Die Mengen A und B sind identisch. Dies ist genau dann der Fall, wenn sowohl A B als auch B A gilt. Sprechweise: A ist gleich B. 5 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

6 Mengen Vergleichen von Mengen II strenge Inklusion: A B Die Menge A ist vollständig in der Menge B enthalten. Die Mengen A und B sind jedoch nicht identisch. Jedes Element a A ist folglich in B enthalten, es gibt jedoch mindestens ein Element b B, dass nicht in der Menge A enthalten ist. Sprechweise: A ist eine echte Teilmenge von B. Trifft keine der genannten Eigenschaften zu, so sind die Mengen unvergleichbar. 6 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

7 Mengen Operationen auf Mengen I Vereinigung: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder in der Menge A, in der Menge B oder in beiden Mengen vorkommen: A B = {x } x A oder x B. Die Vereinigungsmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 oder x A 2 oder... oder x A n }. 7 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

8 Mengen Operationen auf Mengen II Schnitt: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die sowohl in der Menge A als auch in der Menge B vorkommen: { A B = x } x A und x B. Die Schnittmenge von n 2 Mengen A 1,..., A n kann auch wie folgt geschrieben werden: n A i = A 1 A 2... A n i=1 = {x x A 1 und x A 2 und... und x A n }. 8 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

9 Mengen Operationen auf Mengen III Exklusion: A \ B In der Menge A \ B sind alle Elemente enthalten, die in der Menge A, aber nicht in der Menge B vorkommen: A \ B = {x } x A und x / B. Symmetrische Differenz: A B In der Menge A B sind alle Elemente enthalten, die entweder nur in der Menge A oder nur in der Menge B vorkommen: ( ) ( ) A B = A \ B B \ A. 9 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

10 Mengen Operationen auf Mengen IV Potenzmenge: P(A) Die Potenzmenge P(A) ist die Menge aller Teilmengen der Menge A. Enthält die Menge A insgesamt A = n Elemente, so enthält die Potenzmenge P(A) insgesamt P(A) = 2 A = 2 n Elemente. 10 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

11 Mengen Operationen auf Mengen V Beispiel: Es seien die Mengen A = { 1, 2, 3 } und B = { 2, 3, 4 } gegeben. Dann gilt: { } A B = 1, 2, 3, 4 { } A B = 2, 3 { } A \ B = 1 { } A B = 1, 4 P(A) = {, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, { 1, 2, 3 }} 11 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

12 Mengen Operationen auf Mengen VI Es seien A und B zwei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B = (a, b) } a A und b B. Es seien A, B und C drei Mengen. Das kartesische Produkt dieser Mengen ist wie folgt definiert: { A B C = (a, b, c) } a A, b B und c C. Analog definiert man das kartesische Produkt für eine beliebige Anzahl von Mengen M 1,..., M n : M 1... M n = {(m 1,..., m n ) } m 1 M 1,..., m n M n. 12 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

13 Mengen Aufgabe 1 Es sei M = { 1, 2 }. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Welche sind falsch? (i) 1 P(M) (vi) (ii) 2 P(M) (vii) { {1}, {2} } P(P(M)) { {1}, {2} } P(M) (iii) (iv) (v) { 1, 2 } P(M) (viii) { (1, 2) } P(M) { } 15 ( ) 16 1, 2 P(M) (ix) P(P(M)) = 2 + i i=1 { } 3 ( ) 4 1, {1} P(M) (x) P(P(M)) = 2 + i i=1 13 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

14 Wahrheitswerte 14 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

15 Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen I A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Konjunktion: A B Die Aussage A B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist. Disjunktion: A B Die Aussage A B ist wahr, wenn entweder A oder B wahr ist; oder natürlich auch beide. 15 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

16 Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen II A und B seien Aussagen, die entweder wahr oder falsch sein können. Implikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist. ( B folgt aus A. ) Biimplikation: A B Die Aussage A B bedeutet, dass immer, wenn A wahr ist, auch B wahr ist und umgekehrt. ( genau dann wenn ) 16 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

17 Wahrheitswerte Logische Verknüpfungen III A sei eine Aussage, die entweder wahr oder falsch sein kann. Negation: A Die Aussage A ist genau dann wahr, wenn die Aussage A falsch ist. 17 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

18 Wahrheitswerte Aufgabe 2 Es seien A und B zwei Wahrheitswerte. Zeige mithilfe einer Wahrheitstafel, dass es sich bei A B und (A B) ( A B) um zwei äquivalente Aussagen handelt. 18 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

19 Relationen 19 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

20 Relationen Definition I Bei einer n-stelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge des kartesischen Produkts der Mengen A 1,..., A n. Die Mengen A 1,..., A n müssen hierbei nicht verschieden sein. Bei einer binären oder zweistelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge R A 1 A 2. Bei einer ternären oder dreistelligen Relation handelt es sich um eine Teilmenge R A 1 A 2 A c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

21 Relationen Definition II Relationen können auf verschiedene Arten dargestellt werden, z.b. als Menge, als gerichtete Graphen oder mithilfe von Matrizen. Es sei A = { 1, 2, 3, 4 } eine Menge und R A A eine Relation über A: { R = (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), } (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3) 21 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

22 Relationen Eigenschaften von Relationen I Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist symmetrisch, falls gilt: a, b A : (a, b) R (b, a) R. nicht symmetrisch, falls gilt: a, b A : (a, b) R (b, a) R. antisymmetrisch, falls gilt: a, b A, a b : (a, b) R (b, a) R. nicht antisymmetrisch, falls gilt: a, b A, a b : (a, b) R (b, a) R. 22 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

23 Relationen Eigenschaften von Relationen II Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist reflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. nicht reflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. irreflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. nicht irreflexiv, falls gilt: a A : (a, a) R. 23 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

24 Relationen Eigenschaften von Relationen III Es sei R eine Relation über einer Menge A. Die Relation ist transitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. intransitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. antitransitiv, falls gilt: a, b, c A : (a, b) R (b, c) R (a, c) R. 24 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

25 Relationen Aufgabe 3 Es sei R die folgende auf der Menge A = { a, b, c, d } definierte Relation: { } R = (a, a), (a, b), (b, b), (c, a), (d, a), (b, a), (a, d), (d, d). Entscheide, welche der folgenden Eigenschaften auf die Relation zutreffen. Gib jeweils eine kurze Begründung. (i) symmetrisch (ii) antisymmetrisch (iii) reflexiv (iv) irreflexiv (v) transitiv 25 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

26 Relationen Aufgabe 4 Es sei A = { 1, 2, 3, 4 }. a) Gib eine Relation R a über der Menge A an, die reflexiv, aber nicht transitiv ist. b) Gib eine Relation R b über der Menge A an, die symmetrisch, transitiv und nicht irreflexiv ist. c) Gib eine Relation R c über der Menge A an, die irreflexiv und weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist. Dabei soll R c 5 gelten. d) Gib eine Relation R d über der Menge A an, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist. 26 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

27 Relationen Aufgabe 5 Es seien A = { 1, 2, 3, 4 } und B = { a, b, c, d, e, f } zwei Mengen. a) Wie viele binäre Relationen R a über der Menge A gibt es? b) Wie viele ternäre Relationen R b A B A gibt es? c) Wie viele der Relationen aus a) sind reflexiv? d) Wie viele der Relationen aus a) sind symmetrisch? 27 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

28 Relationen Äquivalenzrelation I Man nennt eine Relation R über einer Menge A eine Äquivalenzrelation, falls gilt: R ist symmetrisch, reflexiv und transitiv. 28 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

29 Relationen Äquivalenzrelation II Zu jeder Äquivalenzrelation gehört eine eindeutig bestimmte Partition, die die Menge A in disjunkte Teilmengen A 1,..., A n aufteilt, so dass gilt: A = A 1... A n A i A j = (für i j). Bei den Teilmengen A 1,..., A n handelt es sich um die Äquivalenzklassen der Relation. Stehen zwei Elemente in Relation, so sind sie in derselben Äquivalenzklasse. Elemente aus verschiedenen Äquivalenzklassen stehen niemals in Relation. 29 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

30 Relationen Aufgabe 6 a) Auf der Menge Z sei eine Relation R erklärt durch (x, y) R xy 0. Ist R eine Äquivalenzrelation? b) Auf der Menge Z\ { 0 } sei eine Relation S erklärt durch (x, y) S xy > 0. Ist S eine Äquivalenzrelation? c) Falls bei a) oder b) eine Äquivalenzrelation vorliegt, so gebe man die zugehörigen Äquivalenzklassen an. 30 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

31 Relationen Reflexive Hülle I Gegeben sei eine Relation R über einer Menge A. Falls R nicht reflexiv ist, so kann man R in eine reflexive Relation R überführen, indem man für alle a A das Paar (a, a) zu R hinzufügt: { } R = R (a, a) : a A. R ist hierbei die kleinste reflexive Relation, die R umfasst. Man bezeichnet R als reflexive Hülle von R. 31 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

32 Relationen Reflexive Hülle II Relation R reflexive Hülle R 32 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

33 Relationen Transitive Hülle I Gegeben sei eine Relation R über einer Menge A. Falls R nicht transitiv ist, so kann man R in eine transitive Relation R + überführen, indem man für a, b, c A mit (a, b) R und (b, c) R das Paar (a, c) zu R hinzufügt und dies solange wiederholt, bis keine weiteren Kanten mehr hinzugefügt werden können. { R + = R (a, b) : Es gibt n 2 und a 1,..., a n A mit a 1 = a, a n = b } und (a 1, a 2 ),..., (a n 1, a n ) R. R + ist hierbei die kleinste transitive Relation, die R umfasst. Man bezeichnet R + als transitive Hülle von R. 33 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

34 Relationen Transitive Hülle II Relation R transitive Hülle R + 34 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

35 Relationen Reflexive, transitive Hülle I Gegeben sei eine Relation R auf einer Menge A. Man nennt die Relation R = R + R die reflexive, transitive Hülle von R. Bei R handelt es sich um die kleinste reflexive und transitive Relation, die R umfasst. 35 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

36 Relationen Reflexive, transitive Hülle II Relation R reflexive, transitive Hülle R 36 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

37 Teilbarkeit & modulare Arithmetik 37 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

38 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Definition Man nennt b einen Teiler von a und schreibt b a, falls es ein c gibt, für das a = b c gilt (für a, b, c Z). 38 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

39 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 7 Beweise die folgenden Aussagen: a) Gilt a b und b c, so gilt auch a c. b) Aus a 1 b 1 und a 2 b 2 folgt a 1 a 2 b 1 b 2. c) Aus a b 1 und a b 2 folgt für alle c 1, c 2 Z die Beziehung a (c 1 b 1 + c 2 b 2 ). 39 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

40 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 8 Was ist von der folgenden Aussage zu halten? Begründe deine Antwort! Aus a 1 b 1 und a 2 b 2 folgt a 1 + a 2 b 1 + b c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

41 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 9 Wahr oder falsch? Gib jeweils eine kurze Begründung. a) (mod 17) b) (mod 11) c) (mod 47) d) (mod 3) e) (mod 23) 41 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

42 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 10 Beweise die folgende Äquivalenz: a b (mod m) m ( a b ). 42 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

43 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Euklidischer Algorithmus I Gegeben seien zwei natürliche Zahlen a und b mit b a, deren größter gemeinsamer Teiler ggt(a, b) bestimmt werden soll. Hierzu wird zunächst eine Zerlegung mit Rest bestimmt, d.h., es werden ganze Zahlen q 1, r 1 mit 0 r 1 < b bestimmt, für die gilt: a = q 1 b + r 1. Die Grundidee des Euklidischen Algorithmus beruht auf der Tatsache, dass ggt(a, b) = ggt(b, r 1 ) gilt. Anstelle des größten gemeinsamen Teilers von a und b kann also auch der größte gemeinsame Teiler von r 0 = b und r 1 berechnet werden. Hierzu wird wieder eine Zerlegung mit Rest vorgenommmen: r 0 = q 2 r 1 + r c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

44 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Euklidischer Algorithmus II Wie zuvor gilt ggt(r 0, r 1 ) = ggt(r 1, r 2 ) und somit auch ggt(a, b) = ggt(r 1, r 2 ). Dieses Verfahren wird nun solange wiederholt, bis der Rest 0 auftritt. r 1 = q 3 r 2 + r 3. r n 1 = q n+1 r n + 0 Die letzte Zeile bedeutet, dass r n 1 ein ganzzahliges Vielfaches von r n ist hieraus folgt direkt ggt(r n 1, r n ) = r n und somit ggt(a, b) = r n. 44 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

45 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 11 a) Entscheide, ob die Zahlen 224 und 613 teilerfremd sind. b) Finde Parameter s, t Z, so dass gilt: s t 312 = ggt (247, 312). 45 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

46 Teilbarkeit & modulare Arithmetik Aufgabe 12 Es seien a, b Z zwei ganze Zahlen, für die die folgenden Zerlegungen mit Rest gegeben sind (für m, q a, q b, r a, r b Z mit 0 r a < m und 0 r b < m): a = q a m + r a b = q b m + r b. Beweise oder widerlege, dass die folgende Aussage gilt: a b r a r b (mod m). 46 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

47 Elementare Kombinatorik 47 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

48 Elementare Kombinatorik Aufgabe 13 Es seien A = {a 1,..., a 7 } und B = {b 1,..., b 9 } zwei Mengen mit A = 7 und B = 9. a) Wie viele Abbildungen A B gibt es? b) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv? c) Wie viele dieser Abbildungen sind surjektiv? d) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv, wenn zudem f (a 1 ) = f (a 3 ) gelten soll? e) Wie viele dieser Abbildungen sind injektiv, wenn zudem f (a 1 ) f (a 2 ) gelten soll? f) Wie viele Abbildungen gibt es, für die f (a 1 ) f (a 2 ) sowie f (a 1 ) f (a 3 ) gilt? 48 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

49 Elementare Kombinatorik Binomialkoeffizienten & Binomischer Lehrsatz Es gilt: ( ) n n! = k k! (n k)! ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + k k 1 k ( ) ( ) n n = k n k (explizite Formel) (Rekursionsformel) (Symmetrie) Binomischer Lehrsatz: (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i 49 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

50 Elementare Kombinatorik Pascalsches Dreieck I ( 6 0 ( 0 ( 1 ) 0) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ( ) ( 3 ) ( 3 ) 2) ( 3 ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 3) ( 4 ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) 4) ( 5 ) 0 ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) 5) ( ). 50 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

51 Elementare Kombinatorik Pascalsches Dreieck II c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

52 Elementare Kombinatorik Aufgabe 14 a-c a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Lotto exakt 3 richtige Gewinnzahlen anzukreuzen? b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, im Lotto mindestens 5 richtige Gewinnzahlen anzukreuzen? c) Welchen Koeffizienten besitzt a 6 b 3 in ( a + b ) 9? 52 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

53 Elementare Kombinatorik Aufgabe 14 d-g d) Wie viele sinnvolle oder sinnlose Wörter lassen sich aus den Buchstaben des Wortes RHABARBERBARBARA bilden? e) Für k, n N: Wie viele Möglichkeiten gibt es, insgesamt n nicht unterscheidbare Bonbons auf k Kinder zu verteilen? f) Für k, n N, n 2k: Wie viele Möglichkeiten gibt es, insgesamt n nicht unterscheidbare Bonbons auf k Kinder zu verteilen, so dass jedes Kind mindestens zwei Bonbons bekommt? g) Welchen Koeffizienten besitzt x 2 yz 5 w 5 in ( x + y + z + w ) 13? 53 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

54 Elementare Kombinatorik Aufgabe 15 Begründe, wieso eine n-elementige Menge M genau 2 n verschiedene Teilmengen besitzt. 54 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

55 Elementare Kombinatorik Aufgabe 16 Zeige mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage gilt: n i=1 ( ) i = 1 ( ) n + 1. n 1 55 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

56 Viel Erfolg bei der Bonusklausur :) 56 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016