Mathematik für Informatiker I. Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3. Aufgabe 1. Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11

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1 Mathematik für Informatiker I Christoph Eisinger Wintersemester 2010/11 Musterlösungen zum Hausübungsblatt 3 Aufgabe 1 Zu überpüfen sind jeweils folgende Eigenschaften: 1. Reflexivität: x R x x S 2. Symmetrie: x R y y R x x, y S 3. Antisymmetrie: x R y y R x x = y x, y S 4. Transitivität: x R y y R z x R z x, y, z S 5. Totalität: x R y y R x x, y S (a) x R 1 y: x ist mindestens gleich groß wie y. 1. Reflexiv, da x stets gleich groß (und damit mindestens gleich groß) ist wie x. 2. Nicht symmetrisch: da alle Personen unterschiedliche Größen besitzen, gilt für x y stets nur eine der Relationen x R 1 y, y R 1 x. 3. Antisymmetrisch: wenn x mindestens so groß ist wie y und y mindestens so groß ist wie x, dann sind x und y gleich groß, was nach Voraussetzung (alle sind verschieden groß) bedeutet, dass x = y gilt. 4. Transitiv: wenn x mindestens so groß ist wie y und y mindestens so groß wie z, dann ist x auch mindestens so groß wie z. 5. Total, da zwei Personen stets bezüglich ihrer Körpergröße verglichen werden können. Ergebnis: R 1 ist eine Totalordnung. (b) x R 2 y: x ist mindestens so groß und mindestens so schwer wie y. 1. Reflexiv, da x stets gleich groß und gleich schwer (und damit mindestens so groß und mindestens so schwer) ist wie x selbst. 1

2 2. Nicht symmetrisch: da alle Personen unterschiedliche Größen besitzen, gilt für x y stets höchstens eine der Relationen x R 2 y, y R 2 x. 3. Antisymmetrisch: wenn x mindestens so groß und mindestens so schwer ist wie y und das Gleiche umgekehrt gilt, dann sind x und y gleich groß und gleich schwer, was nach der Voraussetzung über die Körpergrößen bedeutet, dass x = y gilt. 4. Transitiv: wenn x mindestens so groß und mindestens so schwer ist wie y und y mindestens so groß und mindestens so schwer ist wie z, dann ist x auch mindestens so groß und mindestens so schwer wie z. 5. Nicht total, denn wenn x größer als y, jedoch y schwerer als x ist, gilt weder x R 2 y noch y R 2 x. Ergebnis: R 2 ist eine Teilordnung. (c) x R 3 y: x ist mindestens so groß oder mindestens so schwer wie y. 1. Reflexiv, da x stets gleich groß (und damit mindestens so groß) ist wie x selbst, was bereits für x R 3 x ausreicht. 2. Nicht symmetrisch: analoge Begründung wie unter (a) und (b). 3. Nicht antisymmetrisch: Wenn x größer als y, jedoch y schwerer als x ist, gelten x R 3 y (wegen der Körpergröße) und y R 3 x (wegen des Gewichts), ohne dass x = y sein muss. 4. Nicht transitiv: wenn x größer ist als y, aber leichter als z, und zugleich z leichter als y, aber schwerer als x, dann gelten x R 3 y (wegen der Körpergröße) und y R 3 z (wegen des Gewichts), aber x ist kleiner und leichter als z, sodass x R 3 z nicht gilt. 5. Total: wie unter (a) sind zwei Personen stets bezüglich ihrer Körpergröße vergleichbar, was bereits ausreicht. Ergebnis: R 3 ist keine Totalordnung, Teilordnung oder Äquivalenzrelation. (d) x R 4 y: x hat dieselbe Mutter wie y. 1. Reflexiv, da x stets dieselbe Mutter hat wie x. 2. Symmetrisch: wenn x dieselbe Mutter hat wie y, dann hat auch y dieselbe Mutter wie x. 3. Nicht antisymmetrisch: Sind x und y Geschwister, so gelten x R 4 y und y R 4 x, aber x y. 4. Transitiv: wenn x dieselbe Mutter hat wie y und y dieselbe Mutter hat wie z, dann hat auch x dieselbe Mutter wie z. 5. Nicht total: nicht alle Personen haben dieselbe Mutter. Ergebnis: R 4 ist eine Äquivalenzrelation. 2

3 (e) x R 5 y: x hat denselben Onkel wie y. 1. Nicht reflexiv: Nur wenn x überhaupt einen Onkel hat, gilt x R 5 x, und nicht jede(r) hat einen Onkel! 2. Symmetrisch: wenn x denselben Onkel hat wie y, dann hat auch y denselben Onkel wie x. 3. Nicht antisymmetrisch: Sind x und y Geschwister und haben einen Onkel, dann gelten x R 5 y und y R 5 x, aber x y. 4. Nicht transitiv: Nehmen wir an, Yvonne ist mit ihrer Cousine Xenia über ihre Mutter verwandt, und Xenia und Yvonne haben den gemeinsamen Onkel Alfred. Nehmen wir weiter an, Yvonne ist über ihren Vater mit einer weiteren Cousine Zenobia verwandt, und Yvonne und Zenobia haben den gemeinsamen Onkel Bertram, dann ist Alfred ein Bruder von Yvonnes Mutter, Bertram ein Bruder von Yvonnes Vater. Dann sind aber Xenia und Zenobia gar nicht miteinander verwandt und haben auch keinen gemeinsamen Onkel. Man kann sogar ein Gegenbeispiel haben, bei dem x, y und z paarweise miteinander verwandt sind: Wenn Xanthia, Yasmin und Zita die Töchter der drei Geschwister Arnold, Bettina und Casimir sind, dann haben Xanthia und Yasmin den gemeinsamen Onkel Casimir, Yasmin und Zita haben Onkel Arnold gemeinsam, aber Xanthia und Zita haben keinen gemeinsamen Onkel (wohl aber die gemeinsame Tante Bettina). Wie man es auch wendet, R 5 ist nicht transitiv. 5. Nicht total: nicht jede(r) hat einen Onkel, und schon gar nicht alle denselben. Ergebnis: R 5 ist keine Totalordnung, Teilordnung oder Äquivalenzrelation. Bemerkung für ganz Spitzfindige: Im Aufgabentext war nur von einer Menge von Bewohnerinnen und Bewohnern des Saarlandes die Rede. Wenn wir für S also sehr spezielle Auswahlen treffen, kann es natürlich sein, dass die als Gegenbeispiele für einzelne Eigenschaften angegebenen Konstellationen gar nicht vorhanden sind, sodass auf solch speziellen Mengen zufällig mehr Eigenschaften erfüllt sind. Wenn beispielsweise S nur eine Person enthält und diese auch noch einen Onkel hat, dann sind alle Relationen Teilordnung und Totalordnung und Äquivalenzrelation. (10 Punkte) Aufgabe 2 (a) Per Definition ist f(s) = {f(x) x S} f 1 (T ) = {x f(x) T }. 3

4 Dann gilt x A f(x) f(a) (benutze die Definition mit S=A) x f 1 (f(a)) (benutze die Definition mit T=f(A)). Es gilt also A f 1 (f(a)). (b) Wähle f : R R, x 1; A = {0}. Dann ist f 1 (f(a)) = f 1 ({f(x) x = 0}) = f 1 ({1}) = {x R f(x) = 1} = R A. (4+2 Punkte) Aufgabe 3 Der Graph der Abrundungsfunktion sieht so aus: Die Abbildung ist nicht injektiv, da z.b. f(0) = 0 = f(0, 5). Sie ist aber surjektiv (als Abbildung nach Z), da z.b. f(n) = n n Z. (3 Punkte) Aufgabe 4 (a) Nimm x, y B mit f(x) = f(y). Dann ist (g f)(x) = g(f(x)) = g(f(y)) = (g f)(y) 4

5 und damit x = y wegen der Injektivität von g f. (b) Sei b B beliebig. Aus der Surjektivität von g f folgt, dass ein a A existiert mit g(f(a)) = (g f)(a) = g(b), und aus der Injektivität von g folgt dann f(a) = b. (3+3 Punkte) 5