Vorkurs Mathematik Abbildungen

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1 Vorkurs Mathematik Abbildungen Philip Bell 19. September 2016 Diese Arbeit beruht im Wesentlichen auf dem Vortrag Relationen, Partitionen und Abbildungen von Fabian Grünig aus den vorangehenden Jahren. 1

2 1 Abbildungen Im letzten Vortrag wurde der Begriff der Relation eingeführt, jedoch schnell zum Studium der spezielleren Äquivalenzrelationen übergegangen. Wir wollen uns in diesem Vortrag mit Abbildungen (oder Funktionen) beschäftigen. Um diese jedoch mathematisch korrekt formulieren zu können, brauchen wir einen allgemeineren Begriff der Relation, denn eine Abbildung setzt Elemente verschiedener Mengen in Beziehung. Definition 1. Seien X, Y Mengen und R X Y. Dann nennen wir R eine Relation zwischen X und Y. Auch hier schreiben wir für (x, y) R einfach x y, falls keine Verwechlungsgefahr besteht. Inbesondere sprechen wir nun von allgemeinen Relationen und nicht von Äquivalenzrelationen. Die hier betrachteten Relationen müssen nicht länger reflexiv, symmetrisch oder transitiv; sie können diese Eigenschaften meist garnicht bezitzen. 1.1 Die richtige Definition Aus der Schule kennen wir den folgenden Begriff einer Abbildung Definition 2. Seien X, Y Mengen. Eine Abbildung f ist eine Zuordnungsvorschrift, die jedem Element aus X genau ein Element aus Y zuordnet. Schrecklich, nicht wahr? Was soll denn eine Zuordnungsvorschrift sein? Diese Definition ist total schwammig. Zum Glück können wir bereits mit unseren Mitteln einen exakten Abbildungsbegriff definieren. Definition 3. Seien X, Y Mengen und G X Y eine Relation zwischen X und Y. Erfüllt G die Eigenschaft: (W) Für alle x X existiert genau ein y Y, sodass x y. so nennen wir das Tripel f = (X, Y, G) eine Abbildung von X nach Y und schreiben f : X Y. Das zu x eindeutige y mit x y bezeichnen wir mit f (x) und schreiben f (x) = y oder f : x y. Gegebenfalls nennen wir X den Definitionsbereich dom( f ), Y die Zielmenge cod( f )und G den Graph der Abbildung f (dom und cod stehen hierbei für domain und codomain). Zudem bezeichnen wir für zwei Mengen X, Y mit Y X beziehungsweise Abb(X, Y) die Menge aller Abbildungen von X nach Y. Bemerkung 1. Die Eigenschaft (W) wird als Wohldefiniertheit bezeichnet. In vielen Fällen ist klar, dass diese erfüllt wird und sie wird daher nicht explizit nachgeprüft. Übliche Beispiele für Abbildungen, deren Wohldefiniertheit zu prüfen ist, sind unter anderem: 2

3 Bei rationalen Abbildungen ist zu prüfen, dass nicht durch Null geteilt wird Bei Abbildungen die auf Quotienten definiert werden, ist Repräsentantenunabhängigkeit zu prüfen: Sei zum Beispiel X eine Menge und R S X X zwei Äquivalenzrelationen auf X. Betrachte die Zuordnungsvorschriften f : X/R X/S, [x] R [x] S g : X/R X/S, [x] R [x] S wobei [x] R und [x] S jeweils die Äquivalenzklasse bezüglich R beziehungsweise S bezeichne. Hier definiert f tatsächlich eine Abbildung. Seien y, z zwei Vertreter von [x] R, das heißt y R z. Wegen R S gilt also auch y S z. Damit ist das Bild von [x] R unter f unabhänig von der Wahl eines Vertreters. Andererseits definiert g keine Abbildung. Betrachte hierzu fplgendes Gegenbeispiel: Sei X = {1, 2}, R = {(1, 1), (2, 2)} und S = X X (dies sind beides Äquivalenzrelationen auf X). Dann gilt zwar [1] S = [2] S, g([1] S ) = [1] R und g([2] S ) = [2] R, aber auch [1] R [2] R, das heißt das Bild von [1] S ist abhängig davon, ob man 1 oder 2 als Vertreter wählt. Dies ist die richtige Definition des Abbildungsbegriffs. Alle Grundbegriffe, die wir in der Definition verwendet haben, sind bekannt und eindeutig definiert. Definition 4. Seien X, Y, A, B Mengen, sowie f : X Y, g : A B Abbildungen. Dann definieren wir die Gleichheit von f und g via X = A f = g : und Y = B und f (x) = g(x) für alle x X = A Definition 5. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann induziert f zwei weitere Abbildungen zwischen den Potenzmengen P(X), P(Y): die Bildabbildung zu f und f : P(X) P(Y) A { f (a) Y a A} f 1 : P(Y) P(X) B {x X f (x) B} die Urbildabbildung zu f. Wir nennen f (X) das Bild von f und schreiben auch I( f ). Definition 6. Seien X, Y, Z Mengen und f : X Y, sowie g : Y Z Abbildungen. Dann definieren wir die Abbildung g f : X Z (g f )(x) = g( f (x)) (gelesen: g nach f ) als die Komposition oder Verkettung von f und g. 3

4 1.2 Eigenschaften von Abbildungen Abbildungen alleine sind recht langweilig. Wir definieren daher einige wichtige Adjektive für Mengen und untersuchen diese neuen Begriffe. Definition 7. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. 1. Wir nennen f injektiv (oder eineindeutig), falls für alle x 1, x 2 X mit x 1 x 2 auch f (x 1 ) f (x 2 ) gilt. 2. Wir nennen f surjektiv, falls für alle y Y ein x X existiert, mit f (x) = y. 3. Wir nennen f bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist. Definition 8. Seien A, X Mengen mit A X. Dann nennen wir die natürliche Inklusion von A in X Bemerkung 2. ι ist eine injektive Abbildung. ι : A X a a Definition 9. Sei X eine Menge und ein Äquivalenzrelation auf X. Dann nennen wir die natürliche Projektion bzgl.. π : X X/ Bemerkung 3. π ist eine surjektive Abbildung. x [x] Definition 10. Sei X eine Menge. Dann nennen wir die Identität auf X. id X : X X x x Bemerkung 4. id X ist eine bijektive Abbildung und für f : X Y gilt id Y f = f und f id X = f Diese eben definierten Eigenschaften von Abbildungen, tauchen in der Mathematik immer wieder auf. Um diese Eigenschaften nachzuweisen, gibt es viele verschiedene Möglichkeiten. Die Gültigkeit einiger dieser Möglichkeiten werden wir nachfolgend zeigen. Bemerkung 1. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent 1. f ist injektiv, d.h. für alle x 1 x 2 X gilt f (x 1 ) f (x 2 ). 2. Für alle x 1, x 2 X mit f (x 1 ) = f (x 2 ) gilt bereits x 1 = x 2. 4

5 3. Für alle y Y ist f 1 ({y}) höchstens einelementig. Beweis. (i) (ii) Dies folgt direkt durch Kontraposition. (ii) (iii) Sei y Y, f 1 ({y}) und x 1, x 2 f 1 ({y}). Dann gilt f (x 1 ) = y = f (x 2 ), also wegen (ii) bereits x 1 = x 2. Also ist f 1 ({y}) = {x 1 }. (iii) (i) Seien x 1 x 2 X. Angenommen es wäre f (x 1 ) = f (x 2 ). Dann gilt für y = f (x 1 ), dass f 1 ({y}) {x 1, x 2 } im Widerspruch zur Voraussetzung. Bemerkung 2. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent 1. f ist surjektiv, d.h. für alle y Y existiert ein x X, sodass f (x) = y. 2. Für alle y Y ist f 1 ({y}) mindestens einelementig. 3. Es gilt f (X) = Y. Beweis. (i) (ii) (ii) (iii) (iii) (i) Sei y Y, dann existiert ein x X mit f (x) = y. Also ist x f 1 ({y}), also f 1 ({y}) mindestens einelementig. Sei y Y, dann ist f 1 ({y}) mindestens einelementig. Also existiert ein x X mit x f 1 ({y}), d.h. f (x) = y. Also ist y f (X), was zeigt. Die Inklusion gilt nach Definition der Bildabbildung. Sei y Y. Gäbe es nun kein x X mit f (x) = y, so folgte y f (X), was im Widerspruch zu f (X) = Y stünde. 1.3 Eine erste Strukturaussage Wir werden an dieser Stelle eine Strukturaussage über Abbildungen zeigen. In der Tat lässt sich jede Abbildung als Verkettung einer injektiven, einer surjektiven und einer bijektiven Abbildung schreiben. Um diese Aussage zu beweisen, wenden wir sämtliche Erkenntnisse aus diesem Vortrag mehr oder weniger explizit an. Bemerkung 3. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann definiert eine Äquivalenzrelation auf X. x 1 x 2 : f (x 1 ) = f (x 2 ) Beweis. Dies folgt sehr einfach aus den Eigenschaften der = -Relation. 5

6 Satz 1. Seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Wir betrachten das Diagramm X f Y π ι X/ ϕ I( f ) wobei π : x [x] die Projektion bzgl. der Relation aus [3] ist und ι die natürliche Inklusion von f (X) Y ist. Weiter sei Dann gilt 1. ϕ ist wohldefiniert. 2. ϕ ist bijektiv. ϕ : X/ I( f ) [x] f (x) 3. Das Diagramm kommutiert in dem Sinne, dass f = ι ϕ π gilt. Beweis. 1. Seien x 1, x 2 X, mit x 1 x 2. Dann gilt nach Definition von, dass f (x 1 ) = f (x 2 ). Also ϕ ( [x 1 ] ) = f (x 1 ) = f (x 2 ) = ϕ ( [x 2 ] ). 2. Wir zeigen die Injektivität und die Surjektivität von ϕ. (inj.) Seien x 1, x 2 X mit ϕ ( [x 1 ] ) = ϕ ( [x 2 ] ). Dies bedeutet f (x 1 ) = f (x 2 ) und damit ist x 1 x 2. Nach Bemerkung [??] ist dann [x 1 ] = [x 2 ]. (surj.) Sei y f (X). Dann existiert nach Definition von f (X) ein x X mit f (x) = y. Betrachten wir die Äquivalenzklasse von x, dann sehen wir ϕ ( [x] ) = f (x) = y. 3. Wir zeigen die Gleichheit der Abbildungen f : X Y ι ϕ π : X Y Diese Abbildungen haben offensichtlich die selben Definitionsbereiche und Zielmengen. Bleibt noch zu zeigen, dass sie punktweise übereinstimmen. Sei also x X. Wir berechnen (ι ϕ π)(x) = (ι ϕ)(π(x)) = (ι ϕ) ( [x] ) = ι ( ϕ ( [x] ) ) = ι( f (x)) = f (x). Damit ist alles gezeigt. 6

7 1.4 Die Umkehrabbildung Definition 11. Es seien X, Y Mengen und f : X Y, g : Y X Abbildungen. 1. Wir nennen g eine Linksumkehrung zu f, falls g f = id X gilt. 2. Wir nennen g eine Rechtsumkehrung zu f, falls f g = id Y gilt. 3. Wir nennen g eine Umkehrabbildung zu f, falls gilt. g f = id X und f g = id Y Die Möglichkeit, Abbildungen umzukehren, hängt stark mit Eigenschaften zusammen, die wir bereits in diesem Kapitel betrachtet haben. In der Tat ist eine Abbildung genau dann linksumkehrbar, wenn sie injektiv. Ob eine Abbildung rechts-umkehrbar ist, wenn sie surjektiv ist, bleibt eine Glaubensfrage. Bemerkung 4. Es seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. 1. f ist injektiv 2. Es gibt eine Abbildung g : Y X mit g f = id X. Beweis. Um die Äquivalenz dieser Aussagen zu zeigen, müssen wir zwei Implikationen beweisen. (ii) (i) (i) (ii) Es gebe eine Abbildung g : Y X mit g f = id X. Um zu zeigen, dass f injektiv ist, verwenden wir das Kriterium (ii) aus Bemerkung [1]. Seien also x 1, x 2 X mit f (x 1 ) = f (x 2 ). Durch Anwendung von g auf beiden Seiten dieser Gleichung erhalten wir (g f )(x 1 ) = (g f )(x 2 ) und wegen der Eigenschaft von g demnach id X (x 1 ) = id X (x 2 ). Da die Identität jedes Element fest lässt, gilt schließlich x 1 = x 2. Dies zeigt, dass f injektiv ist. Sei f injektiv. Unser Ziel ist es, eine Abbildung g : Y X zu konstruieren, welche f rückgängig macht. Dafür ist es uns egal, wie sich g außerhalb des Bildes f (X) von f verhält. Wir fixieren also wahllos ein x 0 X und setzen g(y) = x 0 für y Y \ f (X). Wir müssen g noch auf f (X) konstruieren. Ist y f (X) dann existiert nach Definition von f (X) ein Urbild x y X mit f (x y ) = y. Wegen Bemerkung [1] ist dieses x y eindeutig. Wir setzen für jedes y f (X) das Bild unter g auf dieses eindeutige g(y) = x y. Damit ist g eine auf ganz Y wohldefinierte Abbildung. Dieses g ist nach Konstruktion eine Linksumkehrung von f, denn für x X gilt (g f )(x) = g( f (x)) = x f (x) = x. 7

8 Bemerkung 5. Es seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. 1. f ist surjektiv. 2. Es gibt eine Abbildung g : Y X mit f g = id Y. Beweis. (ii) (i) (i) (ii) Es gebe eine Abbildung g : Y X mit f g = id Y. Um zu zeigen, dass f surjektiv, müssen wir für jedes y Y ein Urbild in X finden. Es sei y Y; dann ist g(y) X. Durch die Eigenschaft von g gilt dann f (g(y)) = ( f g)(y) = y, also ist g(y) das gesuchte Urbild unter f zu y. Sei f surjektiv. Unser Ziel ist es, eine Abbildung g : Y X zu konstruieren, für die f g die Identität ist. Es sei y Y. Da f surjektiv ist, existiert ein Urbild x y X mit f (x y ) = y. Für jedes y Y wählen wir ein (nicht eindeutiges) Urbild x y Y und konstruieren so durch die Setzung g(y) = x y unsere gesuchte Abbildung 1. Existiert für eine Abbildung eine Links- und eine Rechtsumkehrung, dann sind diese Umkehrungen bereits identisch. Mit den eben gezeigten Bemerkungen, sehen wir also, dass eine bijektive Abbildung eine eindeutige beidseitige Umkehrung eine Umkehrabbildung besitzt. Bemerkung 6. Es seien X, Y Mengen und f : X Y. Ferner seien g l, g r : Y X zwei Abbildengen, wobei g l eine Linksumkehrung und g r eine Rechtsumkehrung von f ist. Dann gilt g l = g r. Beweis. Nach den oben formulierten Voraussetzungen habe g l und g r den gleichen Wertebereich und die gleiche Zielmenge. Wir müssen noch zeigen, dass sie punktweise Übereinstimmen. Es gelten für alle x X und alle y Y die Gleichungen (g l f )(x) = id X (x) und ( f g r )(y) = y. Wenden wir auf die zweite Gleichung die Abbildung g l an, erhalten wir Durch Umklammern ergibt sich (g l ( f g r ))(y) = g l (y). (g l f )(g r (y)) = g l (y). Wegen g l f = id X erhalten wir schließlich g r (y) = g l (y), was die Gleichheit der Abbildungen zeigt. 1 Es stellt sich die Frage, ob dies ein vernünftiger Konstruktionsprozess ist. Da wir keine Informationen über die Mengen X und Y haben, könnten diese auch unendlich groß sein. Um g konstruieren zu können, müssen wir also unendlich oft eine Auswahl die Wahl des Urbilds treffen. Die Frage, ob diese Vorgehensweise gerechtfertigt oder überzeugend ist, ist eine Glaubensfrage. Das sogenannte Auswahlaxiom ermöglicht uns diese Vorgehensweise; seine Gültigkeit kann jedoch nicht bewiesen werden. 8

9 Korollar 1. Es seien X, Y Mengen und f : X Y eine Abbildung. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. 1. f ist bijektiv. 2. Es gibt eine Abbildung g : Y X mit g f = id X und f g = id Y. Diese eindeutige Abbildung zu f nennen wir die Umkehrabbildung zu f und bezeichnen 2 diese mit f 1. 2 Dies ist die gleiche Schreibweise, wie die der Urbildabbildung. Da aber die Urbildabbildung f 1 : PY PY und die Umkehrabbildung f 1 : Y X unterschiedliche Werte- und Bildmengen besitzen, besteht im Regelfall keine Verwechslungsgefahr. 9