Funktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)

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1 Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f Z f : x y = f ( x) mit x R x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f : Definitionsmenge(Urbildmenge) Z : Zielmenge(Bildmenge) Definitionsbereich Eine Definitionsmenge D f ist eine Teilmenge in R aller unabhängigen Variablen, für die die Funktion definiert ist. Zielmenge Eine Zielmenge Z ist eine Menge der mögliche Werte einer Funktion. Es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch f angenommen werden. Wertemenge Die Wertemenge W f ist die Menge aller Funktionswerte, die aus den Elementen von D f entstehen. ( Die Menge der angenommenen Werte einer Funktion.) W f = f (D f ) 1) f (x) = x 2 D f = R, W f = R 0 2) f (x) = x 1 D f = [1, ), W f = R 0 3) f (x) = 3 x 2 D f = [ 2, ), W f = [3, ) 4) f (x) = 3 x D f = R 0, W f = R 0 5) f (x) = x 3 1 D f = R, W f = R M. Komasi 1

2 Darstellung von Funktionen einer Variablen I) Analytische Darstellung(Gleichungsform) Unter der analytischen Darstellung einer Funktion versteht man deren Beschreibung in Gleichungsform y = f (x) : Explizite Darstellung (die Funktion ist nach einer Variablen aufgelöst) F x, y = 0 : Implizite Darstellung (die Funktion ist nicht nach einer der beiden Variablen aufgelöst) 1) y = x 2 3 x 2) F (x, y) = ln y 5 x = 0 II) Tabellarische Darstellung Man kann Funktionswerte für verschiedene Argumente berechnen und die Ergebnisse in eine Tabelle (Wertetabelle ) zusammenfassen. Beispiel: 1) y = x und x 0 x f x 0 1 1,14 1, III) Graphischer Darstellung Man versteht unter einer Funktion f die Menge aller Paare x, y, die bei der Zuordnung f einander zugeordnet sind. Um die graphische Darstellung einer Funktion zu erzeugen, ist es möglich, die zu einer Funktion f gehörenden Wertepaare x, y in einem Koordinatensystem darzustellen. Jedes Paar x, y einer Funktion wird als einen Punkt P im Koordinatensystem veranschaulicht. Die Menge aller dieser Punkte liefert den Graphen von f. Beispiel: 1) f (x) = x und x 0 M. Komasi 2

3 Allgemeine Funktionseigenschaften Injektivität Eine Funktion ist Injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. x 1, x 2 D f gilt f ( x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D f gilt x 1 x 2 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 1) f 1 : R R, f 1 (x) = 5 x f 1 ist injektiv. 2) f 2 : R R, f 2 (x) = 2 x 3 f 2 ist injektiv. 3) f 3 : R 0 R 0, f 3 ( x) = x 2 4 f 3 ist injektiv. 4) f 4 : R R, f 4 ( x) = x 2 4 f 4 ist nicht injektiv. Surjektivität Eine Funktion ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. W f = Z 1) f 1 : R R f 1 x = 2 x 1 W f 1 = R = Z = R f 1 ist surjektiv. 2) f 2 : R R f 2 (x ) = x 2 W f 2 = R 0 Z = R f 2 ist nicht surjektiv. Bijektivität Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. M. Komasi 3

4 Gleichheit von Funktionen Zwei Funktionen f : D f W f und g : D g W g sind gleich, wenn (D f = D g und f ( x) = g( x)) f = g 1) f : R {1} R mit f x = x2 1 x 1 g : R R mit g x = x 1 D f D g f g und x 2 1 x 1 2) f : R R mit f x = x 1 und 2 x = 1 g : R R mit g x = x 1 D f = D g = R und W f = W g = R f = g x 2 9 3) f : R R mit f (x) = x 3 x 3 9 x = 3 g : R R mit g (x) = x 3 D f = D g = R aber f (3) g (3) f g Umkehrfunktion Die Funktion f : x y ordnet jedem x eindeutig ein y zu. Kann umgekehrt auch jedem y eindeutig ein x zugeordnet werden, so entsteht die Umkehrfunktion oder inverse Funktion von f. Sie wird mit f 1 bezeichnet. f 1 : W f D f f x x Bemerkungen: Eine Funktion f : D f W f heißt Umkehrbar, wenn zu unterschiedlichen Argumente x D f auch unterschiedliche Funktionswerte y W f gehören. Ist eine Funktion nicht Umkehrbar, wenn im Kartesischen Koordinatensystem eine Parallele zur x Achse existiert, die den Graphen von f mehr als einmal schneidet. M. Komasi 4

5 Beispiel: 1) Sei f : [0, 2] [4, 10 ] mit f (x) = 3 x 4 Bestimmen Sie, falls möglich, die Umkehrfunktion von f. f ist injektiv Die Funktionsgleichung nach der Variable x auflösen: y = 3 x 4 x = y 4 3 Das Umkehrfunktion von f lautet daher f 1 y = y 4 3 Da es üblich ist, das Argument mit x zu bezeichnen, schreibt man auch f 1 x = x 4, weil der Variablenname frei wählbar ist. 3 Die Rollen von x und y vertauschen: f 1 : [4, 10] [0, 2] mit f 1 x = x 4 3. Der Graph von f ist die Menge aller Punkte x, y mit x D f und y W f und der Graph von f 1 ist die Menge aller Punkte y, x mit y W f und x D f. Weil in Kartesischen Koordinatensystem die Punkte x, y und y, x Symmetrisch zur Graphen y = x liegen, sind die Graphen von f und f 1 auch Symmetrisch. Über die Umkehrung einer Funktion Jede injektive Funktion ist Umkehrbar. Bei der Umkehrung einer Funktion werden Definitions- und Wertebereich miteinander vertauscht. Zeichnerisch erhält man das Schaubild der Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktionskurve an der Geraden y = x M. Komasi 5

6 Die Funktion f (x) = x 2 2 x 3 ist nicht umkehrbar, weil z.b. f 0 = f 2 = 3 gilt. Wir wollen untersuchen, ob man durch Einschränkung der Definitionsmenge eine umkehrbare Funktion f mit der selben Zuordnungsvorschrift erhalten kann. y = x 2 2 x 3 x 2 2 x 3 y = 0 x 1,2 = 1 ± y 2 Entscheidet man sich für x = 1 y 2, so wird eine Funktion beschrieben, deren Wertemenge nur werte großer als 1 besitzt: W f 1 = [1 ; ) Außerdem ist die Umkehrfunktion nur definiert für y D f 1 = [2 ; ) Dann ist f : [1 ; ) [2 ; ) umkehrbar, und es gilt: f 1 : [2 ; ) [1 ; ) mit f 1 ( x) = 1 x 2 M. Komasi 6

7 Verkettete Funktion oder Mittelbare Funktion Gegeben seien zwei Funktionen: Dann heißt die Funktion f : D f A und g : D g B mit W f D g. g f : D f B x g( f ( x)) die Komposition f und g oder von g nach f. Bemerkungen: Bei g f wird zunächst f ausgeführt und dann g. Wendet man auf die Variable x zuerst die Funktion f an, und danach auf das Ergebnis die Funktion g, so erhält man die sogenannte Verkettung g f x. Eigenschaften: a) Die Komposition von Funktionen ist assoziativ ( f g) h = f (g h) b) Die Komposition von Funktionen ist im Allgemeinen nicht kommutativ f g g f Beispiel: 1) Seien die Funktionen f und g gegeben durch die Funktionsgleichungen: f : [0, 2] [4, 10 ] mit f (x) = 3 x 4 g : [1, ) [0, 1] mit g (x) = 1 x Dann ermittelt man die Funktionsterme zu folgenden Verkettungen. a) g f : [4, 10 ] [1, ) W f D g g f : [0, 2] [0, 1] g f x = g 3 x 4 = 1 3 x 4 b) f g : [0, 1] [0, 2] W g D f f g : [1, ) [4, 10 ] f g x = f 1 x = 3 1 x 4 M. Komasi 7

8 Monotonie Durch die Monotonie wird angegeben ob der Graph einiger Funktion f : D f W f in einem bestimmten Intervall [ x 1 ; x 2 ] steigt oder fällt. Dann heißt die Funktion f : D f W f monoton wachsend, falls streng monoton wachsend, falls monoton fallend, falls streng monoton fallend, falls f x 1 f x 2 f x 1 f x 2 f x 1 f x 2 f x 1 f x 2 1) f x = x 1, D f = [1; ) und W f = R 0 x f x Streng monoton wachsend 2) f x = x 1, D f = [1; ) und W f = R 0 - x f x streng monoton fallend M. Komasi 8

9 3) f (x) = 0 für x < 0 x für 0 x 1 1 für x > 1 monoton wachsend Symmetrieverhalten Man unterscheidet zwischen geraden und ungeraden Funktionen. Funktionen, deren Graph symmetrisch zur y Achse verläuft, nennt man gerade Funktionen. Bei geraden Funktionen gilt: f ( x) = f ( x) Funktionen, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft, nennt man ungerade Funktionen. Bei ungeraden Funktionen gilt: f ( x) = f (x) 1) f x = x 2 ist eine gerade Funktion, weil f x = x 2 = x 2 = f x 2) f x = x 3 ist eine ungerade Funktion, weil f x = x 3 = x 3 = f x Nullstelle von Funktionen Die Nullstelle ist die Stelle, bei der die Funktionswert gleich Null ist f x = 0. Dort schneidet oder berührt der Graph einer Funktion f x die x Achse. Um den Wert für x zu ermitteln, bei dem f x = 0 gilt, setzt man den Funktionsterm gleich Null und löst die entstandene Gleichung nach x auf. 1) Die Lineare Funktion y = x 3 schneidet die x Achse an der Stelle x 1 = 3 2) Die Parabel y = x 2 2 besitzt an der Stelle x 1 = 2 eine doppelte Nullstelle, d.h. Einen Berührungspunkt. M. Komasi 9