3 Werkzeuge der Mathematik

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1 3.1 Mengen ( ) Definition 3.1 Die Menge heißt leere Menge. :=»x M x x Definition 3.2 Es seien N und M Mengen. Wir definieren: und analog M N : (x M x N). N M : (x N x M). Wir sagen M ist Teilmenge 1 von N. Zwei Mengen M und N heißen gleich wenn gilt M = N : (x M x N). Definition 3.3 Die Potenzmenge 2 M von M ist die Menge aller Teilmengen von M, also 2 M =»N N M. Definition 3.4 (Operationen mit Mengen) Es seien N und M Mengen. a) Die Vereinigung von N und M ist M N :=»x x M x N b) Der Durchschnitt zweier Mengen M und N ist M N :=»x x M x N c) Das Komplement einer Menge N in M (oder die Differenz von M und N) ist die Menge M\N :=»x x M x / N. 1 Hier sei betont, dass die Bezeichnung M N auch erlaubt, dass M = N ist Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h. M N und M N, gilt schreibt man M N. Das ist leider nicht einheitlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen werden die Symbole (statt ) bzw. (statt und ) benutzt. 15

2 d) Das geordnete Paar ( Tupel ) zweier Objekte x, y ist das Objekt (x, y) mit der Eigenschaft (x, y) = (x, y ) x = x und y = y. Insbesondere ist (x, y) (y, x) falls x y. Das kartesische Produkt zweier Mengen M, N ist die Menge Satz 3.5 Für Mengen M, N, L gilt: a) M\M =, M\ = M. b) M M = M, M M = M. M N :=»(x, y) x M und y N. c) Kommutativität: d) Assoziativität: e) Distributivität: M N = N M, M N = N M. (M N) L = M (N L), (M N) L = M (N L). (M N) L = (M L) (N L), (M N) L = (M L) (N L). (M N) L = (M L) (N L) (M N) L = (M L) (N L). Definition 3.6 Zur Indexmenge I sei M i für jedes i I eine Menge. a) Die Vereinigung der Mengen aus M i, i I ist die Menge M i :=»x i I mit x M i. i I b) der Durchschnitt einer der Mengen M i, i I ist M i :=»x i I giltx M i i I Satz 3.7 Für die Teilmengen M, N bzw. M i, i I einer Menge X gilt: a) b) X\(M N) = (X\M) (X\N) X\(M N) = (X\M) (X\N) X\ i I M i = i I (X\M i) X\ i I M i = i I (X\M i) } } de Morgansche Regel de Morgansche Regel 16

3 3.2 Abbildungen I ( ) Definition 3.8 (Abbildungen) Eine Abbildung f einermenge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element x M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) N zuordnet. y = f(x) heißt Wert von f an der Stelle x. M heißt Definitionsbereich, N der Wertebereich von f. Schreibweise: f : M N, x f(x) Bemerkung: Falls eine Vorschrift in dem Sinne nicht funktioniert, dass (i) nicht zu jedem x M ein Wert aus N zugeordnet wird, oder (ii) dass zu einem Wert x M mehr als ein Wert in N zugeordnet wird, so beschreibt diese Vorschrift keine Abbildung. Man sagt die Abildung ist nicht wohldefiniert 2 Zwei Abbildungen f 1 : M 1 N 1, f 2 : M 2 N 2 heißen gleich wenn gilt (i)m 1 = M 2, N 1 = N 2 und (ii) f 1 (x) = f 2 (x) für alle x M 1 = M 2. Ist beides erfüllt schreiben wir f 1 = f 2. Definition 3.9 (Bild und Urbild) N ist die Menge a) DerGraph einer Abbildung f : M Γ f :=»(x, f(x)) x M M N. b) Das Bild einer Teilmenge A M unter f : M N ist die Teilmenge f(m) heißt Bildmenge von M. f(a) :=»f(x) x A. c) Das Urbild einer Menge B N ist die Teilmenge f 1 (B) :=»x M f(x) B. d) Sei A eine Teilmenge von M. Dann nennt man die Einschränkung von f auf A. f A : A N, x f(x) Satz 3.10 Für jede Abbildung f : M N und Teilmengen A, A 1, A 2 M, B 1, B 2 N gilt: (a) (b) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) 2 Ein etwas irreführender Sprachgebrauch, da es sich ja dann um garkeine Abbildung handelt 17

4 (c) (d) (e) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) A f 1 (f(a)) 18

5 3.3 Abbildungen II ( ) Definition 3.11 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität) Eine Abbildung f : M N heißt (a) injektiv, wenn für alle x 1, x 2 M gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Eine äquivalente Definition ist: Zu jedem y N höchstens ein Element x M mit f(x) = y existiert. (b) surjektiv, wenn f(m) = N. Eine äquivalente Definition ist: zu jedem y N mindestens ein Element x M mit f(x) = y existiert. (c) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Definition ist: zu jedem y N genau ein Element x M mit f(x) = y existiert. Eine weitere äquivalente Definition ist: es gibt eine Abbildung g : N M so dass für alle x M und für alle y N gilt: g(f(x)) = x und g(f(y)) = y. Definition 3.12 (Verkettung) Die Verkettung oder Komposition der Abbildungen f : M N und g : N P ist die Abbildung g f : M P, x g(f(x)). (Lies: g nach f.) Falls Definitionsbereich und Wertebereich gleich sind (also f : M M) schreiben wir auch f 2 statt f f. Die Abbildung id M : M M, x x ist die identische Abbildung (auf der Menge M). Definition 3.13 Ist f : M N eine bijektive Abbildung. Dann gibt esgenau eine Abbildung g : N M mit der Eigenschaft f g = id N und g f = id M. Diese Abbildung heißt Umkehrabbildung oder Inverse von f und wird mit f 1 bezeichnet. Achtung: Eine Umkehrfunktion f 1 ist nur für bijektive Abbildungen definiert. Das Urbild f 1 (A) existiert für jede Abbildung f : M N und jede Teilmenge A N. Satz 3.14 Es seien f : M N und g : N P Abbildungen. a) Sind f und g beide injektiv, so ist g f injektiv. b) Sind f und g beide surjektiv, so ist g f surjektiv. c) Sind f und g beide bijektiv, so ist auch g f bijektiv und die Umkehrabbildung von g f ist f 1 g 1. 19

6 3.4 Äquivalenzrelationen ( ) Definition 3.15 Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R M M. Wir schreiben x y falls (x, y) R. Eine Relation auf M heißt a) reflexiv, falls für jedes x M gilt: x x b) symmetrisch, falls x y auch y x impliziert. c) transitiv, falls x y und y z auch x z impliziert. Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so nennt man sie Äquivalenzrelation. Wir lesen x y als x ist äquivalent zu y bezüglich R. Satz 3.16 Ist f : M N eine Abbildung und sei eine Relation auf M durch x y : f(x) = f(y) erklärt, dann ist die Relation eine Äquivalentzrelation. Definition 3.17 Auf M sei eine Äquivalenzrelation erklärt. Zu x M heißt die Menge Kl(x) :=»y M x y. Äquivalenzklasse von x. Satz 3.18 Für jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M gilt: (a) x Kl(x) (b) x y Kl(x) = Kl(y) (c) Kl(x) Kl(y) Kl(x) Kl(y) =. Definition 3.19 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Der Quotient M/R von M bezüglich R ist definiert als die Menge der Äquivalenzklassen von R, also M/R :=»Kl(x) x M. 20

7 3.5 Mächtigkeit ( ) Definition 3.20 Zwei Mengen M und N heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion f : M N gibt. Sind zwei Mengen M und N gleichmächtig, so schreiben wir M = N. Ist M gleichmächtig mit der Menge»1, 2,...,n so nennet man M eine endliche Menge und n die Mächtigkeit von M. Ist M gleichmächtig mit N so nennt man M abzählbar unendlich. Satz 3.21 Es sei X eine Menge. Die Relation auf 2 X definiert durch M N M gleichmächtig zu N ist eine Äquivalenzrelation. Korollar 3.22 Zwei endliche Mengen sind genau dann gleichmächtig, wenn Sie gleichviel Elemente haben. Satz 3.23 (Schubfachprinzip) Es seien M und N zwei endliche Mengen mit M = m > n = N und f : M N eine Abbildung. Es gibt mindestens zwei Elemente m 1, m 2 M mit f(m 1 ) = f(m 2 ). Satz 3.24 Es sei A eine n+1-elementige Teilmengen der Menge»1, 2,...,2n, dann gibt es zwei Zahlen a, b A so dass eine die andere teilt. Satz 3.25 (Satz von Cantor) Es gibt keine surjektive Abbildung f : M 2 M von einer Menge M auf ihre Potenzmenge. Korollar N ist nicht abzählbar. 21