Lineare Algebra I. - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß. Monday 12 September 16

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1 Lineare Algebra I - 1.Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Falko Gauß

2 1. Mengen und Abbildungen: Mengen gehören zu den Grundlegendsten Objekten in der Mathematik Kurze Einführung in die (naive) Mengelehre

3 1.1. Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem neuen Objekt. Man kann sie z.b. durch Aufzählung definieren: M = {1, 5, 7}, M = {1, 2, 3,...,10}, M = {1, 7, {2, 3}}. { } { } { { }} Eine Menge kann auch aus unendlich vielen Objekten bestehen. Wichtige unendliche Mengen sind z.b. die Menge der natürlichen Zahlen die Menge der natürlichen Zahlen mit 0 oder die Menge der ganzen Zahlen N = {1, 2, 3,...}, N 0 = {0, 1, 2, 3,...}, Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3,...}. { } Die Anzahl der Elemente einer Menge M wird Ordnung genannt und als M geschrieben.

4 Gehört ein Objekt x zu einer Menge M, so sagen wir auch x ist in M enthalten, oder auch x ist Element von M, und schreiben x 2 M. Anderenfalls schreiben wir x/2 M. So gilt z.b. 1 2 Z, aber 1 /2 N Zwei Mengen sind gleich, M = N genau dann wenn die Aussagen x 2 M und x 2 N äquivalent sind (x 2 M, x 2 N), anderenfalls sind sie ungleich, M 6= N. 2, 2 6 ; {} 2; Die leere Menge ; = {} ist die Menge zu der kein Objekt gehört, d.h. x /2;für alle Objekte x. Es ist auch möglich, Mengen durch Charakterisierung ihrer Elemente zu definieren. So kann man häufig die Menge all derjeniger Objekte bilden, die eine Eigenschaft E besitzen: M = {x x hat die Eigenschaft E}, d.h. x ist genau dann Element von M, wenn x die Eigenschaft E besitzt. Zum Beispiel M = {x x ist eine gerade natürliche Zahl} = {2, 4, 6,...}. Achtung...

5 Achtung - das geht nicht immer: betrachte z.b. M = {x x ist eine Menge und x/2 x}. Würde M existieren, so würde dies zu einem Widerspruch führen, denn für eine Menge x würde nach der Definition von M gelten Angewendet auf x = M würde das bedeuten x 2 M, x/2 x. M 2 M, M/2 M,. Das nennt man die Russelsche Antinomie. Aufpassen bei unendlichen Mengen, die Mengen enthalten! (Solche Probleme werden in dieser Vorlesung nicht vorkommen....)

6 Definition 1.1. (1) Eine Menge M ist Teilmenge (oder auch Untermenge) einer Menge N, falls für alle x 2 M auch gilt x 2 N. Dann schreiben wir M N oder N M. N nennt man dann auch Obermenge von M. (2) Ist darüberhinaus außerdem M 6= N, so nennt man M echte Teilmenge von N und schreibt M N, bzw. N M. Bemerkung 1.2. (1) Aus A B und B C folgt A C. (2) Aus A B und B A folgt A = B.

7 Mengenoperationen: Definition 1.3. Für zwei Mengen M und N definieren wir die folgenden Mengen: (1) den Durchschnitt M \ N := {x x 2 M ^ x 2 N}, (2) die Vereinigung M [ N := {x x 2 M _ x 2 N} und (3) die Di erenz M \ N := {x x 2 M ^ x/2 N}. Wird auch Komplement genannt! Definition 1.4. Zwei Mengen M und N nennt man disjunkt, falls ihr Durchschnitt leer ist, M \ N = ;.

8 Regeln: \ ; Bemerkung 1.5. Für Mengen M und N gilt: (1) M \ N M M [ N und genauso M \ N N M [ N (2) M \ N M (3) (M \ N) \ N = ; (4) M \ N = ;, M N (5) M [ N = ;, (M = ;^N = ;) 2 \ 2 ^ 2

9 Regeln: Bemerkung 1.6. Für Mengen M,N und O gilt: (1) M \ N = N \ M und M [ N = N [ M (2) (M \ N) \ O = M \ (N \ O) und(m [ N) [ O = M [ (N [ O) (3) (M [ N) \ O =(M \ O) [ (N \ O) und(m \ N) [ O =(M [ O) \ (N [ O) (4) (M \ N) \ O =(M \ O) \ N =(M \ O) \ (N \ O) (5) O \ (M \ N) =(O \ M) [ (O \ N) undo \ (M [ N) =(O \ M) \ (O \ N) 2 \ \

10 Mengenprodukt: Definition 1.7. Das Produkt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge M N = {(x, y) x 2 M ^ y 2 N} der geordneten Paare (x, y), x 2 M, y 2 N. { 2 R apple apple } R Bemerkung 1.9. Seien M,N and O Mengen. Dann gilt (1) (M \ N) O =(M O) \ (N O) (2) (M [ N) O =(M O) [ (N O) (3) (M \ 2 N) \ O =(M 2 O) \ (N O) 2 \ 2 \ Definition Das Produkt von Mengen M 1,...,M n ist definiert als die Menge M 1... M n = {(x 1,...,x n ) x 1 2 M 1,...,x n 2 M n } der geordneten n-tupel (x 1,...,x n ), x 1 2 M 1,...,x n 2 M n. Im Fall M i = M für alle 1 apple i apple n schreiben wir M n = M... M {z } n Faktoren.

11 {z } 1.2. Abbildungen Definition EineAbbildung f von einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element m 2 M ein eindeutiges Element n = f(m) 2 N zuordnet. Man schreibt 1 f : M! N, m7! f(m). Die Menge M nennt man den Definitionsbereich, die Menge N den Wertebereich der Abbildung.! 7! Definition Zwei Abbildungen f : M! N und g : M! N sind gleich, geschrieben als f = g, falls f(m) =g(m) für alle m 2 M. DieMenge aller Abbildungen f : M! N wird mit Abb(M,N) bezeichnet. 1.2 Abbildungen