Brückenkurs Mathematik 2015

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1 Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass in jeder besonderen Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist. Immanuel Kant: Metaphysische Anfangsgründe der Naturwissenschaft, A VIII (1786) 1 Grundbegriffe der Logik Logik ist die Grundlage jedes vernünftigen Schließens, Begründens und Beweisens in allen Wissenschaften. Eine mathematische Theorie besteht aus allen wahren logischen Aussagen, welche aus den als wahr vorausgesetzten Grundaussagen folgen. Einige mathematische Theorien werden als mathematische Modelle in anderen Wissenschaften als Bestandteil von wissenschaftlichen Theorien genutzt, so zum Beispiel Logik, Mengenlehre und die Theorie der reellen Zahlen als Bestandteil der Newtonschen Mechanik. 1.1 Aussagen und Aussageformen Eine Aussage p ist ein sinnvolles sprachliches Gebilde, das die Eigenschaft hat, entweder wahr oder falsch zu sein. Man nennt wahr bzw. falsch den Wahrheitswert W(p) der Aussage p. Die Wahrheitswerte werden mit w (wahr) bzw. f (falsch) bezeichnet. Beispiel ) 5 ist eine Primzahl. (Aussage, wahr) 2) 3 ist Teiler von 7. (Aussage, falsch) 3) Daniel ist krank. (keine Aussage, Daniel ist nicht festgelegt.) 4) a 2 + b 2 = c 2 (keine Aussage, was sind a, b, c?) Die letzten beiden Beispiele sind keine Aussagen, aber Aussageformen, die einen Wahrheitswert erhalten durch Belegung der Aussagevariablen Daniel, a, b, c.

2 2 1 GRUNDBEGRIFFE DER LOGIK Wenn p und q Aussagen sind, dann lassen sich durch sprachliche Verbindung neue Aussagen gewinnen: Neue Aussage Symbol Name nicht p p, p Negation p und q p q Konjunktion p oder q (im Sinne von oder auch ) p q Disjunktion wenn p, dann q, aus p folgt q, p ist hinreichend p q Implikation für q, p impliziert q, q ergibt sich aus p p genau dann, wenn q, p gilt dann und nur dann, wenn q, p ist äquivalent zu q p q Äquivalenz Die Wahrheitswerte sind wie folgt definiert: p p w f f w und p q p q p q p q p q w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Elementarausdrücke sind die Konstanten w und f. Durch Zusammensetzen lassen sich nach bestimmten Regeln weitere aussagenlogische Ausdrücke bilden. 1.2 Wichtigste logische Regeln Zwei Ausdrücke p, q heißen äquivalent (in Zeichen p = q), wenn für jede Belegung der Variablen sich jeweils die gleichen Wahrheitswerte ergeben. Kommutativgesetz: p q = q p, p q = q p. Assoziativgesetz: (p q) r = p (q r), (p q) r = p (q r). Distributivgesetz: (p q) r = (p r) (q r), (p q) r = (p r) (q r). Konjunktion und Disjunktion verhalten sich also formal so wie Multiplikation und Addition in den natürlichen Zahlen. Ersetzung der Implikation und Äquivalenz: p q = p q, p q = (p q) (q p). de Morgansche Regeln: p q = p q, p q = p q. Beispiel 1.2. Wir berechnen, was die Negation einer Implikation p q ist: p q = p q = p q = p q.

3 1.3 Prädikate und Quantifikatoren Prädikate und Quantifikatoren Die in der Mathematik verwendeten Aussagen sind Aussagen über die Eigenschaften (Prädikate) der betrachteten Objekte: 3 ist eine Primzahl, 7 ist Teiler von 343. ist Teiler von 343 ist ein einstufiges Prädikat, ist Teiler von ein zweistufiges Prädikat. xp wird auch als x: P geschrieben uns als x mit P gesprochen. Beispiel 1.3. x > 3 oder x ist größer als 3 : Variable x, Prädikat P = ist größer als oder 7 ist Teiler von 5 : Variable (Konstante) 7, Prädikat P = ist Teiler von 5 Für einstufige Prädikate P und Mengen M wird definiert: Existenzquantor: Allquantor: x P(x) := Es gibt (mindestens) ein x mit P(x). x M : P(x) := x (x M P(x)) x P(x) := Für jedes x gilt P(x). x M : P(x) := x (x M = P(x)) Häufig muss man Negationen von Quantifikatoren bilden. Es gelten folgende Äquivalenzen: xp(x) = xp(x) x M : P(x) = x M : P(x) xp(x) = xp(x) x M : P(x) = x M : P(x) Beispiel 1.4. Die Aussage Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat 1 ist. können wir schreiben als gelesen als x R: x 2 = 1 oder x (x R x 2 = 1), Es gibt kein x in R mit x 2 = 1. oder Es gibt kein x mit den Eigenschaften x R und x 2 = 1. Wir können sie aber auch schreiben als x R: x 2 1 oder x (x R x 2 1), gelesen als Für jedes x in R gilt x 2 1. oder Für jedes x gilt: Wenn x R, dann x 2 1. Zwei wichtige, schon in der Antike bekannte Schlussregeln sind nun: modus ponendo pones modus tollendo tollens Aus A B ist wahr und A ist wahr Aus A B ist wahr und B ist falsch kann auf B ist wahr geschlossen werden. kann auf A ist falsch geschlossen werden. Hingegen ist Aus A B ist wahr und A ist falsch wird auf B ist falsch geschlossen. ein häufig anzutreffender Fehlschluss.

4 4 2 NAIVE MENGENLEHRE 2 Naive Mengenlehre Die Mengenlehre ist neben der Logik die zweite Grundlage der Mathematik. Bei geeigneter Interpretation kann man erkennen, dass alle Objekte mathematischer Theorien Mengen sind. Konkret begegnen uns Mengen zum Beispiel als Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen sowie als Definitionsbereiche von Funktionen. 2.1 Mengen, Elemente Definition 2.1. Unter einer Menge versteht man (naiv!) die Zusammenfassung gewisser, wohlunterscheidbarer Dinge zu einem neuen Ganzen. Die dabei zusammengefassten Dinge heißen die Elemente der betroffenen Menge. Wenn a ein Element der Menge M ist, dann schreibt man a M. Wenn a nicht Element von M ist, dann schreibt man a M. Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten: A = B x (x A x B). Häufig werden Mengen beschrieben als Teil einer Grundgesamtheit, indem man eine Eigenschaft (Prädikat) für die Elemente zur Charakterisierung angibt: Die Menge der geraden natürlichen Zahlen kann dann beschrieben werden durch {x: x N und 2 ist Teiler von x}, {x N: 2 ist Teiler von x} oder {x N: y N(x = 2y)}. Definition 2.2. Die leere Menge (oder {}) wird definiert durch := {x: x x}. Bemerkung 2.3. Es gibt genau eine leere Menge. Wenn nämlich 1 und 2 leere Mengen sind, dann haben sie die gleichen Elemente (nämlich keine) und sind somit gleich. 2.2 Teilmengen Definition 2.4. Die Menge A heißt Teilmenge der Menge B, geschrieben A B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist, A B : x (x A x B). Gilt neben A B auch A B, dann heißt A echte Teilmenge von B und man schreibt A B. Bemerkung 2.5. Man unterscheide zwischen enthalten (als Element) in und enthalten (als Teilmenge) in und verwende besser ist Element von bzw. ist Teilmenge von.

5 2.3 Operationen mit Mengen 5 Beispiel 2.6. Es seien A = {1,2,3,4,C}, B = {1,2}, C = {,2,5}. Dann gilt B A, C A, C A, A C, A, A, C, C. Bemerkung Anstelle von für enthalten oder gleich und für echt enthalten werden von einigen Autoren auch und verwendet: Man beachte stets, mit welcher Bedeutung Symbole verwendet werden. 2. Die Relationszeichen, und kann man auch mit der entsprechenden Bedeutung umkehren. Für Mengen A, B, C gelten: Reflexivität: A A, Antisymmetrie: A B B A A = B, Transitivität: A B B C A C, A B B C A C sowie A A, A B A B, A B A B A B. Daraus ergibt sich ein wichtiges Beweisprinzip für die Gleichheit von Mengen: A = B A B B A. 2.3 Operationen mit Mengen Definition 2.8. Die Vereinigung A B von A und B ist die Menge, die aus allen Elementen von A und allen Elementen von B besteht, A B := {x: x A x B}. A B Definition 2.9. Der Durchschnitt A B von A und B ist die Menge, die aus allen Elementen besteht, die sowohl zu A als auch zu B gehören: A B := {x: x A x B}. A B Definition Die Differenz A\ B von A und B ist die Menge, die aus allen Elementen von A besteht, die nicht Element von B sind: A\ B := {x: x A x B}. A B Definition Für Mengen Ω und A mit A Ω heißt C Ω A := Ω\ A Komplement von A bezüglich Ω. Beispiel Es seien A = {1,2,3}, B = {3,4,5}. Dann gilt A B = {1,2,3,4,5}, A B = {3}, A\ B = {1,2}.

6 6 3 ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN Definition Zwei Mengen heißen disjunkt oder durchschnittsfremd, wenn ihr Durchschnitt die leere Menge ist. Für Mengen A, B, C, Ω gelten u.a. folgende Eigenschaften: A = A, A = A B A A B, A A = A A = A Kommutativgesetze: Assoziativgesetze: A B = B A, A B = B A (A B) C = A (B C), A (B C) = (A B) C Distributivgesetze: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) A\ (B C) = (A\ B) (A\ C), A\ (B C) = (A\ B) (A\ C) De Morgansche Regeln: C Ω (A B) = C Ω A C Ω B, C Ω (A B) = C Ω A C Ω B Der Beweis dieser Eigenschaften erfolgt durch direktes Überprüfen der Teilmengenbeziehungen durch Umformung der Prädikate unter Verwendung der logischen Umformungsregeln, z. B.: A B = {x: (x A x B)} = {x: (x B x A)} = B A. Weitere Übungsaufgaben hierzu und zu anderen Themen des Brückenkurses finden Sie als E-Learning- Aufgaben auf der Lernplattform OPAL: 3 Abbildungen und Funktionen Abbildung ist Verallgemeinerung der aus der Schule bekannte Begriffe Zuordnung, geometrische Abbildung und Funktion. 3.1 Definition Definition 3.1. Für Mengen X und Y ist das kartesische Produkt X Y definiert durch X Y = {(x, y): x X y Y } als Menge der (geordneten) Paare, deren erstes Element aus X und deren zweites Element aus Y ist. Beispiel 3.2. Für X = {1,2,3} und Y = {a, b} gilt X Y = {(1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b)}. Definition 3.3. Es seien X und Y Mengen. Eine Teilmenge f X Y heißt Abbildung oder Funktion aus X in Y, wenn f rechtseindeutig ist, also wenn aus (x, y 1 ) f und (x, y 2 ) f stets y 1 = y 2 folgt.

7 3.1 Definition 7 Eine Abbildung f ordnet damit (einigen) Elementen x aus X jeweils genau ein Element y aus Y zu. Schreibweise: y = f (x) : (x, y) f. Definition 3.4. Die Mengen D(f ) = {x X : y((x, y) f )}, graph(f ) = {(x, y): y = f (x)} = {(x, y) f }} = f W(f ) = {y Y : x((x, y) f )} heißen Definitionsbereich, Graph bzw. Wertebereich von f. Schreibweisen: f : D(f ) X Y, x f (x) für x D(f ), f : X Y (wenn D(f ) = X). Bemerkung 3.5. Für zwei Funktionen f : D(f ) X Y, g : D(g) U V gilt: f = g : (U = X) (Y = V ) (D(f ) = D(g)) (f (x) = g(x) für x D(f )). Definition 3.6 (Bild und Urbild einer Abbildung). Es seien f : D(f ) X Y eine Abbildung und A und B Mengen. Das Bild f (A) von A unter f und das Urbild f 1 (B) von B unter f sind definiert durch f (A) := {y Y : x A mit y = f (x)}, f 1 (B) := {x X : f (x) B}. Bemerkung 3.7. Für f : D(f ) X Y gilt D(f ) = f 1 (Y ) W(f ) = f (X) für den Definitionsbereich, für den Wertebereich. Definition 3.8. Eine Abbildung f : D(f ) X Y heißt: surjektiv oder rechtstotal : f (X) = W(f ) = Y, linkstotal : f 1 (Y ) = D(f ) = X, injektiv oder linkseindeutig : (x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 )), bijektiv : f ist links- und rechtstotal, links- und rechtseindeutig. f : D(f ) X Y ist nicht surjektiv, wenn es ein y Y gibt, das nicht Bild eines Elementes aus X ist. Sie ist nicht injektiv, wenn es zwei verschiedene Elemente x 1, x 2 X mit gleichem Bildwert f (x 1 ) = f (x 2 ) gibt. Streng monotone Funktionen f : D(f ) R R sind injektiv. Beispiel 3.9. Die Funktion f : R R mit f (x) = x 2 ist linkstotal, aber weder surjektiv noch injektiv, da 1 kein Funktionswert ist und 1 zwei Urbilder, 1 und 1, hat. Die Funktion g : R R 0 mit g(x) = x 2 ist links- und rechtstotal aber nicht injektiv, da alle Zahlen in R 0 Funktionswerte sind aber immer noch 1 zwei Urbilder hat. Die Funktion h: R 0 R 0 mit h(x) = x 2 ist links- und rechtstotal und linkseindeutig und damit bijektiv, da R 0 = h(r 0 ) und für jedes y R 0 genau ein x R 0 existiert mit x 2 = y.

8 8 3 ABBILDUNGEN UND FUNKTIONEN 3.2 Umkehrabbildungen Definition g : D(g) Y X heißt Umkehrabbildung oder inverse Abbildung zu f : D(f ) X Y, wenn D(g) = f (X), D(f ) = g(y ) und g(f (x)) = x für x D(f ). Sie wird mit f 1 bezeichnet. Satz 3.11 (Umkehrabbildung). Wenn f : A B bijektiv ist, dann existiert die zu f inverse Abbildung f 1 : B A. Wenn f : A B bijektiv ist, dann erhält man f 1 : B A durch: 1. y = f (x) nach x auflösen: x = f 1 (y) 2. x und y formal vertauschen: y = f 1 (x) Bemerkung Für eine Funktion f : D(f ) R R erhält man graph f 1 durch Spiegelung von graph f an der Geraden x = y. Nun sind wir in der Lage, ein Beispiel für einen wichtigen logischen Ausdruck anzugeben, bei dem es nicht ganz so leicht ist, die Negation anzugeben. Es seien f : D R eine Funktion mit Definitionsbereich D R und x 0 D. Dann ist durch Für jedes ε größer 0 existiert ein δ größer 0 so, dass für jedes x in D gilt: Wenn x einen Abstand kleiner als δ zu x 0 hat, dann hat f (x) einen Abstand kleiner als ε zu f (x 0 ). die Stetigkeit von f an der Stelle x 0 definiert. Wie lautet die Negation? Die Aussage lautet formal: ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) < ε. Durch formale Negierung folgt: ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ f (x) f (x 0 ) ε. Hier wurde p q = p q verwendet.