Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen

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1 Anmerkungen zu Mengen und Abbildungen Kartesisches Produkt von n Mengen und n-stellige Relationen Sind M 1, M,, M n nichtleere Mengen, so ist ihr kartesisches Produkt erklärt als Menge aller geordneter n-tupel (x 1,, x n ) mit x 1 M 1, x M,, x n M n, dh M 1 M M n := { (x 1,, x n ) x k M k für k = 1,, n } Der R n := R R mit n Faktoren ist ein wichtiges Beispiel Eine beliebige Teilmenge des kartesischen Produktes M 1 M M n heißt auch eine n-stellige Relation Funktionen (=Abbildungen) Es seien A, B nichtleere Mengen Eine Funktion bzw Abbildung f mit Definitionsbereich A und Wertebereich B ist eine Zuordnung, die jedem x A genau einen Wert y B zuordnet Wir schreiben dann y = f(x) und nennen f(x) das Bild bzw den Funktionswert von x Formal gesehen sind Funktionen spezielle Teilmengen G A B der kartesischen Produktmenge A B mit der Eigenschaft, daß es zu jedem x A genau ein Paar (x, y) G gibt Im Sprachgebrauch nennt man G aber meistens den Graphen der Funktion f Die Funktion f heißt injektiv, wenn für alle x, y A aus f(x) = f(y) stets x = y folgt Die Funktion f heißt surjektiv, wenn es zu jedem z B mindestens ein x A gibt mit f(x) = z Eine injektive und surjektive Funktion f wird auch bijektiv bzw Bijektion genannt Zu jeder bijektiven Funktion f : A B gibt es die sogenannte Umkehrabbildung f 1 : B A, wobei für jedes y B der Wert x = f 1 (y) der Umkehrabbildung durch die Beziehung f(x) = f(f 1 (y)) = y eindeutig bestimmt ist Es gilt (f 1 ) 1 = f Verkettung von Funktionen Sind A, B, B, C nichtleere Mengen mit B B und h : A B bzw g : B C Abbildungen, so definiert ihre Verkettung oder Komposition eine neue Funktion g h : A C gemäß (g h)(x) = g(h(x)) für alle x A Sind h : A B, g : B C und f : C D Abbildungen, so sind die Verkettungen f (g h), (f g) h : A D definiert, und es gilt das Assoziativgesetz f (g h) = (f g) h 1

2 Beispiele Abgeschlossenes Intervall: [a, b] := { x R a x b } Offenes Intervall: (a, b) := { x R a < x < b } Die Menge R + := { x R x > 0 } ist ein unendliches offenes Intervall Halboffene Intervalle: (a, b] := { x R a < x b }, [a, b) := { x R a x < b } Die Menge R + 0 := { x R x 0 } ist ein unendliches halboffenes Intervall (a) f 1 : R [ 1, 1] mit aber nicht injektiv f 1 (x) := sin x ist eine surjektive Funktion, (b) f : [ π, π ] R mit f (x) := sin x ist injektiv, aber nicht surjektiv (c) f 3 : R + 0 R + 0 mit f 3 (x) := x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f3 1 : R + 0 R + 0, f3 1 (x) = x (d) f 4 : R R mit f 4 (x) := x ist weder injektiv noch surjektiv (e) f 5 : R R + mit f 5 (x) := e x ist bijektiv mit Umkehrabbildung f5 1 : R + R, f5 1 (x) = ln x Kompositionen Betrachte die oben erklärten Funktionen f 1,, f 5 Kompositionen wie f 3 f 1 bzw f f 5 sind nicht möglich, da nicht [ 1, 1] R + 0 und auch nicht R + [ π, π] gelten Beispiele für erlaubte Kompositionen sind dagegen: (a) f 1 f 3 : R + 0 [ 1, 1] mit (f 1 f 3 )(x) = sin(x ) (b) f 4 f 1 : R R mit (f 4 f 1 )(x) = (sin x) (c) f 5 f : [ π, π ] R+ mit (f 5 f )(x) = e sin x (d) f 5 f 1 3 : R + 0 R + mit (f 5 f 1 3 )(x) = e x

3 Symbole der Logik und Mengenlehre Logische Symbole der mathematischen Umgangssprache (1) A nicht A, () A B A und B, (3) A B A oder B, (4) A B A impliziert B, (5) A B A und B sind äquivalent, (6) x M : A(x) für alle x in M gilt A(x), (7) x M : B(x) es gibt ein x in M für das B(x) gilt In (1)-(5) sind A,B Aussagen, in (6) und (7) dagegen Aussageformen, die von einer freien Variablen x abhängen dürfen Die Variable x entstammt dabei einer festen, vorgegebenen Grundmenge M, die A und B umfasst Symbole der (nicht formalisierten) Mengenlehre Wir betrachten hier Teilmengen K, L einer vorgegebenen Grundmenge M (1) x M \ K x / K Komplement von K, () x K L x K x L Durchschnitt, (3) x K L x K x L Vereinigung, (4) x (x K x L) K L Inklusion, (5) x (x K x L) K = L Mengengleichheit Wahrheitstabellen für aussagenlogische Verknüpfungen Hier sind α und β Aussagen mit dem Wahrheitsgehalt w=wahr oder f=falsch α β α α β α β α β α β w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w 3

4 Permutationen Permutationen sind bijektive Abbildungen einer Menge auf sich selbst Bei unendlicher Trägermenge nennt man sie auch Transformationen Liegt dagegen eine endliche Trägermenge mit n 1 Elementen zugrunde, dann spricht man von Permutationen vom Grad n Wir wählen im folgenden die feste Trägermenge N n := { 1,,, n } Matrixdarstellung der Permutationen Eine Permutation f : N n N n läßt sich wie folgt als Matrix schreiben: ( ) 1 n f = f(1) f() f(n) Die Permutationsgruppe Σ n Sind f, g : N n N n zwei beliebige Permutationen auf N n, so lassen sie sich gemäß f g : N n N n mit (f g)(x) := f(g(x)) für alle x N n zu einer neuen Permutation f g verknüpfen Die Verknüpfung ist assoziativ, und jede Permutation lässt sich mit Hilfe ihrer Umkehrfunktion rückgängig machen Damit wird die Menge Σ n = (Σ n, ) aller Permutationen auf N n zu einer Gruppe, der sogenannten Permutationsgruppe n-ten Grades Sie besteht aus n! = 1 n Permutationen Bei dieser Verknüpfung ist nicht nur deshalb Vorsicht geboten, weil die Reihenfolge der Faktoren ia nicht vertauschbar ist, sondern auch deshalb, weil einige Autoren f g in der umgekehrten Reihenfolge g(f) definieren! Dies hängt damit zusammen, daß bei unserer geläufigeren Schreibweise die Funktionsauswertung zwar von rechts nach links erfolgt, aber die Komposition von links nach rechts aufgeschrieben wird Dies kann als Diskrepanz empfunden werden Das Einselement dieser Gruppe wird auch als Identität Id bzw Id n bezeichnet und hat die Darstellung ( ) 1 n Id = 1 n Die zu f inverse Permutation f 1 entsteht aus der Matrix von f durch Vertauschung ihrer beiden Zeilen, dh ( ) f(1) f() f(n) f 1 = 1 n So erhalten wir etwa für n = 4, dh N n = { 1,, 3, 4 }, das Beispiel ( ) ( ) ( ) f =, f 1 = =

5 Die Zyklenschreibweise für Permutationen Neben der Matrixdarstellung gibt es aber auch noch die Zerlegung einer Permutation in elementfremde Zyklen Diese führt auf eine weitere sehr wichtige Darstellung für Permutationen Wir betrachten als Beispiel die Permutationen f, g : N 6 N 6 mit ( ) ( ) f =, g = Die Permutation f vertauscht die Ziffern 1, miteinander, hat die Ziffer 3 als sogenannten Fixpunkt und überführt die Ziffern 4,6,5 zyklisch ineinander in der angegebenen Reihenfolge Entsprechend finden wir für g die beiden Zyklen bzw Allgemein schreibt man einen Zyklus k 1 k k m k 1 mit verschiedenen k 1,,k m in der Form Z = (k 1, k,, k m ) Mit Z = m bezeichnen wir die Länge dieses Zyklus Für f und g haben wir somit die folgenden Zerlegungen in elementfremde Zyklen gefunden: Allgemein gilt der wichtige f = [(1, )(3)(4, 6, 5)], g = [(1,, 3, 4)(5, 6)] Satz: Jede Permutation auf N n läßt sich in elementfremde Zyklen zerlegen Die Injektivität der Permutationen garantiert hierbei, daß sich jeder Zyklus wieder mit dem Element schließt, mit dem man begonnen hat! Fixpunkte, dh Zyklen der Länge 1, läßt man meistens weg und schreibt dann etwa f = [(1, )(4, 6, 5)], Id 6 = [ ] Wir können auch aus der Zyklenzerlegung sofort die Inversen bzw die Kompositionen erhalten: f 1 = [(, 1)(5, 6, 4)], g 1 = [(4, 3,, 1)(6, 5)], f g = [(, 3, 6, 4)], g f = [(1, 3, 4, 5)] Die Zyklenzerlegung der Permutationen läßt sich graphisch gut illustrieren: f : f :

6 Gerade und ungerade Permutationen Eine Transposition ist eine Permutation der Form [(a, b)], die nur zwei Ziffern a b miteinander vertauscht Für eine zyklische Permutation [(n 1, n,, n r )] mit der Zyklenlänge r besteht die folgende Zerlegung in (r 1) Transpositionen, die sich mittels vollständiger Induktion zeigen läßt: [(n 1, n,, n r )] = [(n 1, n r )] [(n 1, n )] Im folgenden sei f : N n N n eine Permutation und n Da sich nach dem vorigen Satz f in paarweise disjunkte (dh elementfremde) Zyklen Z 1,,Z s gemäß f = [Z 1 ] [Z ] [Z s ] zerlegen läßt und wir für f Id die Fixpunktzyklen aus dieser Zerlegung streichen können, folgt in diesem Fall die Zerlegbarkeit von f in ein Produkt von Transpositionen Für f = Id können wir dagegen wegen n die Zerlegung Id = [(1, )] [(1, )] angeben Definition: Eine Permutation f : N n N n heißt gerade, wenn sie sich in eine gerade Anzahl von Transpositionen faktorisieren läßt In diesem Falle schreiben wir sign(f) = +1 Ist dagegen eine solche Zerlegung nicht möglich, so heißt die Permutation ungerade, und wir schreiben dann sign(f) = 1 Hier gilt der folgende wichtige Satz: Wir betrachten die Permutationsgruppe (Σ n, ) auf N n, n (a) Für je zwei Permutationen f, g Σ n gilt sign(f g) = sign(f) sign(g), sign(id) = 1, sign(f 1 ) = sign(f) (b) Die geraden Permutationen bilden eine Untergruppe von (Σ n, ), die sogenannte alternierende Gruppe (A n, ), die aus 1 n! Permutationen besteht (c) Ist f vollständig in seine paarweise disjunkten (dh elementfremden) Zyklen zerlegt, so gilt die Beziehung sign(f) = ( 1) m mit m := Anzahl der Zyklen gerader Länge Beispiel: Ist f : N 8 N 8 in der Zyklenform f := [(1, 7, 8)(, 5, 4, 3)(6)] gegeben, so ist m = 1 und somit sign(f) = ( 1) 1 = 1 6

7 Die Zerlegung einer Permutation in Transpositionen ist im allgemeinen nicht eindeutig Der zuletzt genannte Satz über gerade und ungerade Permutationen mit seiner praktischen Berechnungsformel im Teil (c) ist aber nach den vorangegangenen Ausführungen erst dann vollständig bewiesen, wenn man den folgenden Hilfssatz (=Lemma) gezeigt hat Lemma: Die Permutation f : N n N n mit n sei auf zwei verschiedene Arten in Transpositionen T k, T k zerlegt gemäß f = T 1 T r = T 1 T r Dann sind r und r entweder beide gerade oder beide ungerade Nachweis: Wir bedienen uns eines berühmten Kunstgriffs, indem wir das folgende Polynom definieren: P (x 1, x,, x n ) := (x k x j ) 1 j<k n Nun geben wir zwei beliebige Zahlen m > m aus N n vor und zerlegen dieses Polynom in fünf Faktoren gemäß P (x 1, x,, x n ) = (x m x m ) (x k x j ) j>m m <k<m j<k j,k / {m,m } { } (x j x m )(x j x m ) k<m { } (x m x k )(x k x m ) { } (x m x k )(x m x k ) Produkte über einen leeren Indexbereich sollen hierbei den Wert 1 haben Vertauschen wir die Variablen x m und x m in P (x 1, x,, x n ), so wechselt das Polynom nur sein Vorzeichen, da die vier mit beginnenden Produkte hierbei unverändert bleiben, während der erste Faktor (x m x m ) sein Vorzeichen wechselt Wir definieren für jedes g Σ n das Polynom P g (x 1,, x n ) := P (x g(1),, x g(n) ) und beachten für alle g, h Σ n die Assoziativität (P g ) h = P g h Für die beliebige Transposition T = [(m, m )] folgt nach dem oben gezeigten P T (x 1,, x n ) = P (x 1,, x n ) Wenden wir die letzten beiden Beziehungen wiederholt auf die beiden Zerlegungen f = T 1 T r = T 1 T r an, so erhalten wir die folgende Gleichung, die unsere Ausgangsbehauptung beweist: P f (x 1,, x n ) = ( 1) r P (x 1,, x n ) = ( 1) r P (x 1,, x n ) Speziell für x k := k N n erhalten wir zudem sign(f) = P f (1,, n)/p (1,, n) 7