Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19)

Transkript

1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19) Kapitel 3: Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 20. November 2017)

2 Abbildungen / Funktionen 2 Definition 3.1 Eine Abbildung (Funktion) f von einer Menge A in eine Menge B ist eine Vorschrift, die jedem Element x A genau ein Element f (x) B zuordnet. A heißt der Definitionsbereich und B heißt der Wertebereich von f. (Funktion vor allem, wenn B eine Menge von Zahlen ist.)

3 Bildmenge 3 Definition 3.2 Das Bild (Bildmenge) einer Abbildung f : A B ist f (A) := {f (x) x A} (die Menge aller y B, für die es ein x A gibt mit f (x) = y).

4 Urbildmenge 4 Definition 3.3 Ist f : A B eine Abbildung und Y B, so heißt f 1 (Y ) := {x A f (x) Y } das Urbild (Urbildmenge) von Y.

5 Komposition von Abbildungen 5 Definition 3.4 Sind f : A B und g : C D Abbildungen mit f (A) C, so heißt die Abbildung g f : A D x g(f (x)) die Komposition von f und g ( g und f, g Kringel f ).

6 Injektivität und Umkehrabbildung 6 Definition 3.5 Eine Abbildung f : A B heißt injektiv, falls für alle x, x A nur dann f (x) = f (x ) gilt, wenn x = x ist. Definition 3.6 Ist f : A B injektiv, so gibt es zu jedem y f (A) ein eindeutiges x A mit f (x) = y. Die Abbildung f 1 : f (A) A y das x A mit f (x) = y heißt die Umkehrabbildung (Umkehrfunktion) von f.

7 Eigenschaften von Umkehrabbildungen 7 Bemerkung 3.7 Ist f : A B injektiv und g : f (A) A die Umkehrabbildung von f, so gelten: g(f (x)) = x für alle x A f (g(y)) = y für alle y f (A) Die Abbildungen g f : A A und f g : f (A) f (A) sind also die Identitätsabbildungen A A, x x bzw. f (A) f (A), y y.

8 Quadrat- und Wurzelfunktion f : [0, [ R, x x 2 injektiv mit 8 f 1 : [0, [ [0, [, y x

9 Tangens und Arcustangens 9 tan :] π 2, π 2 [ R injektiv, Umkehrfunktion arctan : R ] π 2, π 2 [

10 Sinus und Arcussinus 10 sin : [ π 2, π 2 ] R injektiv, Umkehrfunktion arcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ]

11 Cosinus und Arcuscosinus 11 cos : [0, π] R injektiv, Umkehrabbildung arccos : [ 1, 1] [0, π]

12 Exponenzial- und Logarithmusfunktion 12 Die reelle Exponenzialfunktion R ]0, [, x e x ist injektiv; ihre Umkehrabbildung ist die (natürliche) Logarithmusfunktion ln :]0, [ R

13 Graph der Umkehrfunktion 13 Den Graph der Umkehrfunktion einer injektiven Funktion f : R X R erhält man durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden {(x, y) R 2 x = y}.

14 Beispiel: Quadratfunktion

15 Beispiel: Sinusfunktion

16 Beispiel: Exponenzialfunktion

17 Bijektive Abbildungen 17 Definition 3.8 Eine Abbildung f : A B heißt surjektiv, falls für alle y B (wenigstens) ein x A mit f (x) = y existiert (d.h. f (A) = B). Eine bijektive Abbildung ist eine Abbildung, die injektiv und surjektiv ist. Bemerkung 3.9 Bijektive Abbildungen f : A B haben Umkehrabildungen f 1 : B A, die auf ganz B definiert sind.

18 Polynomfunktion Definition 3.10 Eine Polynomfunktion (ein Polynom) ist eine Abbildung f : R R oder f : C C mit 18 f (z) = n a k z k = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n, k=0 wobei im ersten Fall a 0,..., a n R sein müssen (reelles Polynom) und im zweiten Fall a 0,..., a n C sein dürfen (komplexes Polynom). Die a k heißen die Koeffizienten von f. Falls a n 0 ist, ist n der Grad von f. Die Nullfunktion f (z) = 0 hat Grad.

19 Nullstellen 19 Definition 3.11 Eine Nullstelle einer Funktion f : R R oder f : C C ist ein z R bzw. z C mit f (z) = 0.

20 f : R R, f (x) = x

21 C R, z z

22 f (x) = x 3 5x 2 + x 5: f (x) und f (x)

23 C R, z z 3 5z 2 + z

24 C R, z z

25 C R, z z

26 C R, z z

27 Fundamentalsatz der Algebra 27 Satz 3.12 Ist f ein Polynom vom Grad n 1, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutige Zerlegung f (z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) von f in Linearfaktoren z z 1,..., z z n mit z 1,..., z n C. Die z 1,..., z n sind die komplexen Nullstellen von f ; sie müssen nicht unbedingt paarweise verschieden sein. Insbesondere hat ein Polynom vom Grad n 1 höchstens n Nullstellen.

28 Vielfachheit von Nullstellen 28 Definition 3.13 Ist f (z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) und ist z C eine Nullstelle von f, so heißt die Zahl {k {1,..., n} z = z k } 1 die Vielfachheit der Nullstelle z von f.

29 C R, z f (z) (Beispiel)

30 Koeffizientenvergleich 30 Satz 3.14 Definieren f (z) = a k z k und g(z) = b k z k zwei Polynomfunktionen vom Grad n und stimmen f (z) und g(z) an wenigstens n + 1 Stellen überein, so gilt a k = b k für alle k (die beiden Funktionen sind also gleich).

31 Komplexe Nullstellen reeller Polynome 31 Satz 3.15 Ist z C eine Nullstelle eines Polynoms f (z) = n a k z k k=0 mit reellen Koeffizienten a 0, a 1,..., a k R, so ist auch die zu z komplex konjugierte Zahl z C eine Nullstelle von f.

32 Zerlegung reeller Polynome 32 Satz 3.16 Ein reelles Polynom f (x) = a k x k (mit a k R) lässt sich als Produkt von reellen Polynomen vom Grad 2 schreiben.

33 Polynominterpolation 33 Satz 3.17 Sind für n + 1 paarweise verschiedene x 1,..., x n+1 (in R bzw. C) beliebige Werte y 1,..., y n+1 (in R bzw. C) vorgegeben, so gibt es genau eine Polynomfunktion f : R R bzw. f : C C vom Grad n mit f (x 1 ) = y 1,..., f (x n+1 ) = y n+1.

34 Polynominterpolation ( 1, 4), (0, 3), (1, 6), (2, 2), (3, 1) f (x) = x x x x 4

35 Rationale Funktionen 35 Definition 3.18 Eine Funktion der Form f (z) = p(z) q(z) mit zwei Polynomfunktionen p(z) und q(z) (reell oder komplex) ist eine rationale Funktion. Die Nullstellen von q(z) sind die Pole von f (z). An den Polen ist f (z) nicht definiert.

36 f (x) = 1 x (x 0)

37 g(x) = 1 x+2 (x 2)

38 f (x) = 1 x 2 (x 0)

39 f (x) = x 3 +7x 2 (x 1)(x+2) 2 (x 4) (x { 2, 1, 4})

40 f (x) = 3x5 +2x 2 8 x 2 1 (x { 1, 1})

41 Polynomdivision mit Rest 41 Satz 3.19 Jede rationale Funktion f (z) kann man darstellen in der Form f (z) = g(z) + p(z) q(z), wobei g(z), p(z), q(z) Polynome sind und der Grad von p kleiner ist als der von q.

42 Polynomdivision und Nullstellen 42 Hat das Polynom p(z) eine Nullstelle z C so ergibt die Polynomdivision p(z) = g(z) Rest 0, z z und die Nullstellen von g(z) sind die noch fehlenden Nullstellen von p(z).

43 Kurven 43 Definition 3.20 Eine Kurve in R m ist eine Abbildung c : I R m eines Intervalls I R nach R m.

44 Kreisbewegung 44 c : [0, 3π 2 ] R2, t (cos t, sin t) Beschreibt eine Bewegung um drei Viertel des Einheitskreises (gegen den Uhrzeigersinn, startend in (1,0)) c([0, 3π 2 ]) (Bildmenge)

45 Parametrisierung von Funktionsgraphen 45 c : [0, [ R 2, t (t, sin t) Beschreibt eine Bewegung entlang des Graphen der Sinusfunktion (startend bei (0, 0), nach rechts) c([0, [) (Bildmenge)

46 Spirale 46 c : [0, 20] R 3, t (cos t, sin t, t 10 ) Beschreibt eine nach oben durchlaufende Spirale über dem Einheitskreis c([0, 20]) (Bildmenge)

47 Funktionsgraphen 47 Definition 3.21 Der Graph einer Funktion f : R n X R ist die Menge {(x 1,..., x n, f (x)) R n+1 x = (x 1,..., x n ) X } R n+1.

48 Beispiel Funktionsgraph f (x, y) = sin(x) cos(y)

49 Niveaumengen 49 Definition 3.22 Die Niveaumenge einer Funktion f : R n X R zum Wert α R ist die Menge {x X f (x) = α} R n (n = 2 : Niveaulinie, n = 3 : Niveaufläche ).

50 Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0.9

51 Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0.5

52 Beispiel: Niveaulinien f (x, y) = sin(x) cos(y) und α = 0

53 Contour-Plot f (x, y) = sin(x) cos(y)

54 Vektorfelder 54 Definition 3.23 Ein Vektorfeld ist eine Abbildung v : R n X R n. Veranschaulichung für n = 2, 3 (Kartesisches Koordinatensystem der Ebene bzw. des Raums) In jedem Punkt x X ist der zu v(x) R n gehörende Pfeil angeheftet.

55 Vektorfeld in R v(x, y) = ( y, x)

56 Vektorfeld in R w(x, y, z) = ( y, x, z)

57 Parametrisierungen von Flächen [ π 4, 3π 4 ] [0, 2π] R3 (u, v) (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)) 1.0

58 Lineare Abbildungen 58 Definition 3.24 Eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen V und W ist eine Abbildung ϕ : V W mit: ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w) für alle v, w V ϕ(λv) = λϕ(v) für alle v V, λ K

59 Lineare Fortsetzung 59 Satz 3.25 Ist B V eine Basis des K-Vektorraums V und σ : B W eine beliebige Abbildung von B in einen K-Vektorraum W, so gibt es genau eine lineare Abbildung ϕ : V W mit ϕ(b) = σ(b) für alle b B.

60 Kern und Bild 60 Definition 3.26 Für eine lineare Abbildung ϕ : V W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W heißen ker (ϕ) := ϕ 1 ({O W }) = {v V ϕ(v) = O W } V der Kern und im (ϕ) := ϕ(v ) = {ϕ(v) v V } W das Bild von ϕ.

61 Kern und Bild sind Unterräume 61 Bemerkung 3.27 Kern und Bild einer linearen Abbildung ϕ : V W sind Untervektorräume von V bzw. W ; insbesondere enthalten sie O V bzw. O W.

62 Injektive lineare Abbildungen 62 Satz 3.28 Eine lineare Abbildung ϕ : V W ist genau dann injektiv (d. h. ϕ(v) ϕ(w) für alle v w), wenn ker (ϕ) = {O V } ist.

63 Die Dimensionsformel 63 Satz 3.29 Ist V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ : V W eine lineare Abbildung, so gilt die Dimensionsformel dim (ker ϕ) + dim (im ϕ) = dim (V ).