Funktionen (Teschl/Teschl 5.2) Beispiele. Eine Funktion (oder Abbildung) f : M N,

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1 Funktionen (Teschl/Teschl 5.2) Eine Funktion (oder Abbildung) f : M N, x f (x) ordnet jedem Element x einer Menge M (Denitionsbereich) eindeutig ein Element y = f (x) einer Menge N (Werte- oder Bildbereich) zu. Beispiele Student Matrikelnummer, Digitalfoto Dateigröÿe, f : Z N, n (n + 1) 2, g : R R, x x sin x x 2 +1 funktionen12.pdf, Seite 1

2 Gegenbeispiele Keine Funktionen sind Person Handynummer, da 1. nicht jeder ein Handy hat und 2. es Personen mit mehr als einem Handy gibt. f : R R, x x, da die Wurzel nur für nichtnegative x deniert ist. f wird zur Funktion, wenn man als Denitionsbereich statt R die Menge R + = {x R : x 0} betrachtet. Person Ehepartner, da nicht jeder verheirated ist. Wird zur Funktion, wenn man nur verheiratete Personen betrachtet. Student Studienfach, da es möglich ist, mehrere Fächer zu studieren. funktionen12.pdf, Seite 2

3 Darstellung von Funktionen durch Abbildungsvorschrift (Funktionsgleichung), z. B. f (x) = x 2, durch Wertetabelle, z. B. Adressdatenbank, bei reellen Funktionen durch Funktionsgraphen: Menge aller Wertepaare (x, f (x)) als Punkte in der Ebene. Graph von f (x) = 1 1+x 2 funktionen12.pdf, Seite 3

4 Injektiv und surjektiv Eine Funktion f : M N heiÿt injektiv, wenn für x 1 x 2 gilt f (x 1 ) f (x 2 ). Äquivalente Formulierungen sind: Aus f (x 1 ) = f (x 2 ) folgt x 1 = x 2 oder Zu jedem y N gibt es höchstes ein x M mit f (x) = y. surjektiv, wenn es zu jedem y N (mindestens) ein x M gibt mit f (x) = y, d. h. jedes Element y aus dem Wertebereich auch tatsächlich als Funktionswert angenommen wird. bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. In diesem Fall gibt es zu jedem y M genau ein x N mit f (x) = y. funktionen12.pdf, Seite 4

5 Beispiele Die Abbildung Student Matrikelnummer ist injektiv, da Matrikelnummern nicht mehrfach vergeben werden. Sie ist typischerweise nicht surjektiv, da nicht alle in Frage kommenden Matrikelnummern tatsächlich vergeben sind. Die Abbildung Student Geburtsdatum ist nicht injektiv. Die Funktion f : R R, x x 3 ist bijektiv, denn zu jedem y R gibt es genau ein x R (x = 3 y) mit f (x) = y. Die Funktion f : N N, n n + 2 ist injektiv (aus f (m) = f (n) m + 2 = n + 2 folgt m = n). f ist nicht surjektiv, da es z. B. kein n N gibt mit f (n) = 1. Bemerkung Durch Einschränkung des Wertebereichs kann jede Funktion surjektiv gemacht werden. funktionen12.pdf, Seite 5

6 injektiv, aber nicht surjektiv funktionen12.pdf, Seite 6

7 surjektiv, aber nicht injektiv funktionen12.pdf, Seite 7

8 weder surjektiv noch injektiv funktionen12.pdf, Seite 8

9 bijektiv (surjektiv und injektiv) funktionen12.pdf, Seite 9

10 Umkehrfunktion Ist f : M N bijektiv, so gibt es zu jedem y aus dem Wertebereich N genau ein x aus dem Denitionsereich M mit f (x) = y. Damit lässt sich die Umkehrfunktion f 1 : N M durch Umkehrung der Zuordung denieren: x = f 1 (y) y = f (x). Beispiel Sitzplatz Student (im voll besetzten Hörsaal), f (x) = 2x + 1 f 1 (y) = 1 (y 1). 2 f (x) = x 3 f 1 (y) = 3 y. funktionen12.pdf, Seite 10

11 Bestimmung der Umkehrfunktion durch Umkehrung der Zuordnung einer Tabelle, durch Auösung der Funktionsgleichung y = f (x) nach x, Beispiel: Gesucht ist die Umkehrfunktion von f : R R, y = f (x) = 2x 1 Man erhält y = 2x 1 2x = y + 1 x = 1 (y + 1), 2 also ist f 1 (y) = 1(y + 1) bzw. f 1 (x) = 1 (x + 1) 2 2 bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. funktionen12.pdf, Seite 11

12 Verknüpfung reellwertiger Funktionen Sind f : M R und g : M R Funktionen, so sind auch f + g : x f (x) + g(x), f g : x f (x) g(x), f g : x f (x) g(x) und f g f (x) : x g(x) (falls g(x) 0) wieder Funktionen mit Denitionsbereich M und Wertebereich R. Beispiel Mit M = R, f (x) = x + 1 und g(x) = 2x ist (f + g)(x) = 3x + 1, (f g)(x) = 1 x, (g f )(x) = x 1, (f g)(x) = 2x 2 + 2x, f g (x) = x und g 2x (x) = f x+1 Dabei hat f g den Denitionsbereich R \ {0} und g f den Denitionsbereich R \ { 1}. funktionen12.pdf, Seite 12

13 Komposition (Hintereinanderausführung) Sind f : A B und g : B C Funtionen, so ist g f : A C, a g(f (a)) eine Funktion mit Denitionsbereich A und Wertebereich C. Beispiele Mit A = B = C = R, f (x) = x + 1 und g(x) = 2x ist (f g)(x) = f (g(x)) = f (2x) = 2x + 1 und (g f )(x) = g(f (x)) = g(x + 1) = 2 (x + 1) = 2x + 2 Mit A Menge der Studenten, B Menge aller Tage zwischen 1900 und 2012, f : A B, Student Geburtstag, C = N natürliche Zahlen und g : B C, Geburtstag Lebensalter ist g f : A C die Abbildung, die jedem Studenten sein Alter zuordnet. funktionen12.pdf, Seite 13

14 Bemerkungen Die Komposition g f ist immer dann deniert, wenn der Wertebereich von f im Denitionsbereich von g liegt. Ist g f deniert, so muss f g nicht deniert sein. Die Komposition ist nicht kommutativ. Sind sowohl g f als auch f g deniert, so gilt im allgemeinen nicht f g = g f. Die Komposition ist assoziativ, d. h. falls g f und h g deniert sind, gilt h (g f ) = (h g) f. g ist Umkehrfunktion von f genau dann, wenn (g f )(x) = x und (f g)(y) = y für alle x, y. funktionen12.pdf, Seite 14

15 Reelle Funktionen sind Funktionen, deren Denitions- und Wertemenge Teilmengen der reellen Zahlen R sind. Der Denitionsbereich ist dabei typischerweise ein Intervall (= zusammenhängende Teilmenge von R) bzw. eine Vereinigung von Intervallen. Zu a, b R mit a < b betrachtet man [a, b] = {x R : a x b} (abgeschlossenes Intervall), (a, b) =]a, b[= {x R : a < x < b} (oenes Intervall), [a, b) = {x R : a x < b} sowie (a, b] = {x R : a < x b} (halboene Intervalle), [a, ) = {x R : x a} sowie (, b] = {x R : x b} (unbeschränkte Intervalle) und analog (a, ), (, b) sowie (, ). funktionen12.pdf, Seite 15

16 Bemerkung Eine durch eine Funktionsgleichung y = f (x) denierte reelle Funktion hat einen natürlichen maximalen Denitionsbereich bestehend aus allen x R, für die f (x) sinnvoll deniert ist und eine reelle Zahl ergibt. Beispiele f (x) = x ist deniert auf R + = [0, ) f (x) = ln x (natürlicher Logarithmus) ist deniert für x > 0, also auf (0, ) f (x) = x 3 2x 2 + 3x 1 ist deniert auf R f (x) = 1 ist deniert auf x 2 1 R \ { 1, 1} = (, 1) ( 1, 1) (1, ) Der tatsächlich betrachtete Denitionsbereich kann je nach Anwendung eine Teilmenge des maximalen Dentionsbereichs sein. funktionen12.pdf, Seite 16

17 Invertierbarkeit reeller Funktionen Eine auf einem Intervall denierte reelle Funktion ist stetig, wenn ihr Graph zusammenhängend ist. Sie ist streng monoton wachsend, wenn für x < y gilt f (x) < f (y) bzw. streng monoton fallend, wenn für x < y gilt f (x) > f (y). Es gilt: Eine stetige Funktion ist genau dann bijektiv (bei geeigneter Wahl von Denitions- und Wertebereich), wenn sie streng monoton wachsend oder streng monoton fallend ist. Beispiel f (x) = x 2 ist auf dem Intervall [0; ) streng monoton wachsend und damit invertierbar. Die Umkehrfunktion ist f 1 (x) = x. funktionen12.pdf, Seite 17

18 Beispiel 2 Die Funktion f (x) = 1 1+x 2 ist auf dem Intervall ( ; 0] streng monoton wachsend und auf [0; ) streng monoton fallend. Die Funktionswerte liegen jeweils im Intervall (0; 1]. Damit ist f als Funktion von ( ; 0] nach (0; 1] sowie als Funktion von [0; ) nach (0; 1] jeweils invertierbar. Zur Bestimmung der Umkehrfunktion betrachtet man y = 1 1 = 1 + x 2 x 2 = 1 1 x = ± x 2 y y y Mit dem positiven Zweig der Wurzel erhält man die Umkehrfunktion der rechten Hälfte: f 1 : (0; 1] [0; ), x f 1 1 (x) = 1 x funktionen12.pdf, Seite 18

19 Spezielle reelle Funktionen Lineare Funtionen f (x) = ax + b, Beispiel f (x) = 4x 1 Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Polynome oder ganzrationale Funktionen f (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, Beispiel f (x) = 2x 3 x 2 + x 2. Hier ist n = 3, a 3 = 2, a 2 = 1, a 1 = 1 und a 0 = 2. (gebrochen)rationale Funktionen, z. B. f (x) = x 3 2x 2 +x 2, 3x 2 x+2 Weitere Funktionen wie z. B. f (x) = x, sin x, cos x, 2 x, e x, log 2 x, ln x,... funktionen12.pdf, Seite 19

20 Polynome sind reelle Funktionen, die sich ausschlieÿlich mit den Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation berechnen lassen. Die allgemeine Funktionsgleichung eines Polynoms p ist p(x) = n a k=0 kx k = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 mit Koezienten a 0,..., a n R. Ist a n 0, so ist n = deg p N der Grad (engl. degree) von p. Beispiel: p 1 (x) = x 2 + 2x + 2, p 2 (x) = x 3, p 3 (x) = 2 x x 2 + 3x 4 und p 4 (x) = 2x 7 4x 4 + 3x 2 1 sind Polynome vom Grad 2, 3, 4 bzw. 7. Allgemein ist der Grad die höchste Potenz n, in der die Variable x in der Funktionsgleichung auftritt. funktionen12.pdf, Seite 20

21 Eigenschaften von Polynomen Polynome p(x) sind für alle x R deniert. Sind p und q Polynome, so sind auch p + q, p q, p q und p q Polynome, d. h. Summe, Dierenz, Produkt und Komposition von Polynomen ergibt jeweils wieder ein Polynom. Konstante Funktion p(x) = a 0 sind Polynome vom Grad 0, der Nullfunktion p(x) = 0 wird der Grad zugeordnet. Polynome p(x) = a 1 x + a 0 vom Grad 1 sind lineare Funktionen, ihr Funktionsgraph ist eine Gerade. Quadratische Polynome p(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 haben den Grad 2, ihr Funktionsgraph ist eine Parabel. Dabei wird der Graph von f (x) = x 2 als Normalparabel bezeichnet. funktionen12.pdf, Seite 21

22 Nullstellen von Polynomen Die Nullstellen (d. h. Lösungen der Gleichung f (x) = 0) eines quadratischen Polynoms f (x) = x 2 + px + q erhält man durch die pqformel: x 1,2 = p 2 ± ( p 2) 2 q. Ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, so hat p(x) keine reellen Nullstellen. Liegt ein quadratisches Polynom in der allgemeinen Form f (x) = ax 2 + bx + c, so wird erst durch a gekürzt: ax 2 + bx + c = 0 x 2 + b a x + c a = 0 Beispiel: 3x 2 + 3x 6 = 0 x 2 + x 2 = 0 ( x = 1 ± ) = 1 ± 9 = 1 ± 3, d. h. die Gleichung hat zwei Lösungen x 1 = 2 und x 2 = 1. funktionen12.pdf, Seite 22

23 Berechnung von Polynomen mit Hornernerschema Durch geschickte Klammerung kann die Zahl der Rechenoperationen bei der Auswertung eines Polynoms vermindert werden: f (x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = ((a 3 x + a 2 )x + a 1 )x + a 0 Dies führt zu folgendem rekursiven Algorithmus: y 1 = a n, Dann ist: y n+1 = f (x). Beispiel y i+1 = y i x + a n i für i = 1,..., n. Zu berechnen ist f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3 (mit Grad n = 4). Man erhält y 1 = a 4 = 2, y 2 = y 1 ( 1) + a 3 = 2 3 = 5, y 3 = y 2 ( 1) + a 2 = = 6, y 4 = y 3 ( 1) + a 1 = = 3 und y 5 = y 4 ( 1) + a 0 = 3 3 = 0. Also ist f ( 1) = y 5 = 0. funktionen12.pdf, Seite 23

24 Notation als Schema Berechne f ( 1) für f (x) = 2x 4 3x 3 + x 2 + 3x 3: f ( 1) = 0 Erläuterung: Die obere Zeile enthält die Koezienten a 4, a 3,..., a 0 des Polynoms. Die untere Zeile enthält y 1, y 2,..., y 5 und ergibt sich als Summe der beiden ersten Zeilen. In der mittleren Zeile startet man links mit 0, die übrigen Werte sind der Wert jeweils links darunter multipliziert mit x = 1 (durch Pfeile markiert). Das Ergebnis f (x) = 0 erschient rechts unten. funktionen12.pdf, Seite 24

25 Newtoninterpolation Zu n + 1 vorgegebeben Punkten (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) in der Ebene (wobei die x i alle verschieden sein müssen) gibt es ein eindeutig bestimmtes Polynom p(x) = n a j x j = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 j=0 vom Grad n, dessen Graph die gegebenen Punkte interpoliert, d. h. es gilt p(x 0 ) = y 0, p(x 1 ) = x 1,..., p(x n ) = y n bzw. kurz p(x i ) = y i für i = 0,..., n. Eine Methode zur Berechnung von a n,..., a 0 ist die NewtonInterpolation. funktionen12.pdf, Seite 25

26 Beispiel zur Newtoninterpolation Gesucht ist ein Polynom p(x) mit p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1 und p(3) = 1. Da n + 1 = 4 Punkte vorgegeben sind, gibt es ein Polynom 3. Grades, dass diese Punkte interpoliert. funktionen12.pdf, Seite 26

27 Beispiel zur Newtoninterpolation Gesucht ist ein Polynom p(x) mit p(0) = 1, p(1) = 0, p(2) = 1 und p(3) = 1. Da n + 1 = 4 Punkte vorgegeben sind, gibt es ein Polynom 3. Grades, dass diese Punkte interpoliert. funktionen12.pdf, Seite 27

28 Berechnung der Newton-Interpolation Man macht den Ansatz p(x) = c 0 + c 1 (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) (x x 1 ) c n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n 1 ) und berechnet sukzessive (Schritt für Schritt) die Koezienten c 0, c 1,..., c n : Im 1. Schritt wird ein Polynom p 0 (x) = c 0 vom Grad 0 bestimmt mit p 0 (x 0 ) = y 0 : c 0 = p(x 0 ) = y 0, Im Beispiel mit (x 0 ; y 0 ) = (0; 1) erhält man c 0 = p(0) = 1, also ist p 0 (x) = 1 die konstante Funktion mit Wert 1. funktionen12.pdf, Seite 28

29 Berechnung der Newton-Interpolation, Fortsetzung Im 2. Schritt wird ein Polynom p 1 (x) vom Grad 1 bestimmt mit p 1 (x 0 ) = p 0 (x 0 ) = y 0 und p 1 (x 1 ) = y 1. Dazu macht man den Ansatz p 1 (x) = p 0 (x) + c 1 (x x 0 ) und setzt x = x 1 ein: y 1 = c 0 + c 1 (x 1 x 0 ) c 1 = y 1 c 0 x 1 x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 = d 0,1. Im Beispiel mit (x 1 ; y 1 ) = (1; 0) erhält man 0 = y 1 = p 1 (1) = p 0 (1) + c 1 (1 x 0 ) = 1 + c 1 (1 0) = 1 + c 1 c 1 = 1, also p 1 (x) = p 0 (x) + c 1 (x 0) = 1 x. funktionen12.pdf, Seite 29

30 Berechnung der Newton-Interpolation, Schritt 3 Nun bestimmt man ein Polynom p 2 (x) vom Grad 2 mit p 2 (x 0 ) = p 1 (x 0 ), p 2 (x 1 ) = p 1 (x 1 ) und p 2 (x 2 ) = y 2 mit dem Ansatz p 2 (x) = p 1 (x) + c 2 (x x 0 ) (x x 1 ). Durch Einsetzen von x = x 2 erhält man eine Gleichung für c 2 : y 2 = c 0 + c 1 (x 2 x 0 ) + c 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) c 2 = d 1,2 d 0,1 x 2 x 0 = d 0,2 mit d 1,2 = y 2 y 1 x 2 x 1. Im Beispiel mit (x 2 ; y 2 ) = (2; 1) erhält man 1 = y 2 = p 1 (x 2 ) + c 2 (x 2 x 0 ) (x 2 x 1 ) = c 2 (2 0) (2 1) = 1 + 2c 2 2c 2 = 2 c 2 = 1, also p 2 (x) = 1 x + 1 (x 0) (x 1) = 1 x + x (x 1) funktionen12.pdf, Seite 30

31 Schritt n + 1 der NewtonInterpolation Im nten Schritt wurde p n 1 (x) bestimmt mit p n 1 (x i ) = y i für i = 0,..., n 1. Man macht den Ansatz p n (x) = p n 1 (x) + c n (x x 0 ) (x x 1 )... (x x n 1 ), setzt x = x n ein und löst die Gleichung nach c n auf. 4. Schritt im Beispiel Mit (x 3 ; y 3 ) = (3; 2) und dem Ansatz p 3 (x) = p 2 (x) + c 3 (x x 0 ) (x x 1 ) (x x 2 ) erhält man 2 = y 3 = p 3 (3) = p 2 (3) + c 3 (3 0) (3 1) (3 2) = (3 1) + 6c 3 = 4 + 6c 3 6c 3 = 2 c 3 = 1 3, also p 3 (x) = 1 x + x (x 1) 1 x (x 1) (x 2). 3 funktionen12.pdf, Seite 31

32 Abschluss der NewtonInterpolation Sind alle n + 1 Punkte abgearbeitet, ist das Interpolationspolynom p(x) = p n (x). Um eine Darstellung in der Standardform p(x) = a n x n +...a 1 x + a 0 zu erhalten, müssen die Klammern aufgelöst werden. Im Beispiel ist dann p(x) = p 3 (x) = 1 3 x 3 + 2x x + 1 Bemerkungen Die Reihenfolge, in der die Punkte (x i, y i ) abgearbeitet werden, spielt für das Endergebnis keine Rolle. Beim Hinzufügen eines neuen Punktes (x n+1, y n+1 ) muss nicht die gesamte Rechnung neu ausgeführt werden, sondern man kann das vorher berechnete Polynom p n (x) als Grundlage benutzen, um in einem zusätzlichen Schritt ein neues Polynom p n+1 (x) zu bestimmen. funktionen12.pdf, Seite 32

33 Das Schema der dividierten Dierenzen erlaubt eine übersichtliche Berechnung der NewtonInterpolation: x 0 d 0 = y 0 = c 0 x 1 d 1 = y 1 d 0,1 = y 1 y 0 x 1 x 0 = c 1 x 2 d 2 = y 2 d 1,2 = y 2 y 1 x 2 x 1 d 0,2 = d 1,2 d 0,1 x 2 x 0 = c 2 x 3 d 3 = y 3 d 2,3 = y 3 y 2 x 3 x 2 d 1,3 = d 2,3 d 1,2 x 3 x 1 d 0,3 = d 1,3 d 0,2 x 3 x 0 = c Erläuterung: Die dividierten Dierenzen d j,i wie folgt berechnet: werden rekursiv d i = y i, d i 1,i = y i y i 1 x i x i 1 und d j,i = d j+1,i d j,i 1 x i x j. Als Ergebnis erhält man c i = d 0,i für i = 0,..., n. funktionen12.pdf, Seite 33

34 Im Beispiel 0 1 = c ( = 1 0) 0 1 = c ( ) ) = (= 1 ( 1) ( ) ( ) = = = c 2 ( 1 3 = ) = c3 Es folgt p(x) = 1 1 (x 0)+1 (x 0) (x 1) 1 (x 0) (x 1) (x 2) 3 = 1 3 x 3 + 2x x + 1. funktionen12.pdf, Seite 34

35 Andere Klassen reeller Funktionen (Gebrochen-)rationale Funktionen haben die Form f (x) = p(x), wobei p(x) ein Polynom vom Grad n und q(x) q(x) ein Polynom vom Grad m ist. f (x) ist dann deniert für alle x mit q(x) 0. Der Defnitionsbereich besteht somit aus R mit Ausnahme endlich vieler Punkte und ist eine Vereinigung von oenen Intervallen. Beispiel: f (x) = 2x 2 x+1 ist deniert auf x 2 1 R \ { 1, 1} = ( ; 1) ( 1; 1) (1; ) Algebraische Funktionen unterscheiden sich von rationalen Funktionen dadurch, dass sie Wurzelausdrücke enthalten. Sie treten typischerweise als Umkehrfunktionen von Polynomen oder rationalen Funktionen auf. Beispiele: f (x) = 3 x, x 2 x + 2, 1+x 4 x+1 2x 3 x+1+ 5 x 2 +2 x funktionen12.pdf, Seite 35

36 Beispiel Die Funktion p(x) = x 2 4x + 5 bildet das Intervall [2, ) bijektiv auf [1, ) ab. Die Umkehrfunktion f 1 : [1, ) [2, ) ist eine algebraische Funktion, deren Abbildungsvorschrift man durch Auösung Funktionsgleichung nach y erhält: y = x 2 4x + 5 x 2 4x + 5 y = 0 x = 2 ± 4 (5 y) = 2 ± y 1. Für x [2, ) muss der positive Zweig der Wurzel gewählt werden, also ist f 1 (y) = 2 + y 1 Transzendente Funktionen sind weder rational noch algebraisch. Wichtige transzendente Funktionen sind Exponential- und LogarithmusFunktionen sowie trigonometrische (Winkel)Funktionen. funktionen12.pdf, Seite 36

37 Exponentialfunktionen f (x) = a x mit einer Konstanten (der Basis) a > 0 sind deniert für x R. speziell: f (x) = e x = exp(x) Exponentialfunktion zur Basis e = 2, Die Umkehrfunktion von x e x ist der natürliche Logarithmus ln x, deniert für x (0, ). Allgemeiner: log a x ist die Umkehrfunktion von x a x, d. h. es gilt y = a x x = log a y, speziell y = e x x = ln y. Beispiel: log 2 8 = 3, da 8 = 2 3, funktionen12.pdf, Seite 37

38 Exponentialfunktion und Logarithmus funktionen12.pdf, Seite 38

39 Rechenregeln für Exponentialfunktion a 0 = 1, a 1 = a, a n = a } a {{... a}, n mal a 1/n = n a, a n/m = m a n = ( m a ) n, a x+y = a x a y, (a x ) y = a x y, a x b x = (a b) x, a x = 1 = ( 1 x a a), x a x = e x ln a, log a 1 = 0, log a (x y) = log a x+log a y, log a x y = log a x log a y, log a x b = b log a x, log a x = ln x ln a, funktionen12.pdf, Seite 39

40 Trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus können geometrisch am Einheitskreis deniert werden. Dabei kann das Argument (der Winkel) θ in Grad oder im Bogenmaÿ angegeben werden. Bei der Umrechnung gilt π = 180 o. Beispiel: θ = 60 o entspricht im Bogenmaÿ 60 o π = 1 π 1, o 3 funktionen12.pdf, Seite 40

41 Graphen von Sinuns und Cosinus funktionen12.pdf, Seite 41

42 Eigenschaften von Sinuns und Cosinus im Bogenmaÿ (rad), dabei gilt π = 180 o : sin und cos sind periodisch mit Periode 2π, d. h. sin(x + k 2π) = sin x und cos(x + k 2π) = cos x für alle x R und k Z. cos x = sin ( x + π 2 ), sin( x) = sin x und cos( x) = cos x, sin x, cos x [ 1, 1] für alle x R, sin kπ = cos ( kπ + π 2 ) = 0 für k Z, sin 2 x + cos 2 x = 1 funktionen12.pdf, Seite 42

43 Umkehrfunktionen Auf dem Intervall [ π, ] π 2 2 ist sin x streng monoton wachsend. cos x ist auf [0, π] streng monoton fallend. Daher sind [ sin : π 2, π ] [ 1, 1] und cos : [0, π] [ 1, 1] 2 bijektiv. Die Umkehrfunktionen [ arcsin : [ 1, 1] π 2, π ] und arccos : [ 1, 1] [0, π] 2 werden als Arcussinus und Arcuscosinuns bezeichnet. funktionen12.pdf, Seite 43

44 Arcussinus und Arcuscosinus funktionen12.pdf, Seite 44

45 Tangens und Cotangens sind deniert als tan x = sin x cos x sowie cot x = cos x sin x = 1 tan x Beide Funktionen sind periodisch mit Periode π (nicht 2π!), tan x ist nicht deniert für x = kπ + π 2 mit k Z, cot x ist nicht deniert für x = kπ mit k Z. Der Wertebreich ist jeweils ganz R. Damit sind auch auf ganz R die Umkehrungsfunktionen deniert: ( arctan: R π 2, π ) und arccotan : R (0, π) 2 funktionen12.pdf, Seite 45