Definition von Sinus und Cosinus

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1 Definition von Sinus und Cosinus Definition 3.16 Es sei P(x y) der Punkt auf dem Einheitskreis, für den der Winkel von der positiven reellen Halbachse aus (im Bogenmaß) gerade ϕ beträgt (Winkel math. positiv, also gegen den Uhrzeigersinn). Dann definieren wir: sin ϕ := y und cos ϕ := x. Dadurch sind sin ϕ und cos ϕ für Winkel ϕ [0, π) erklärt. Für andere Werte ϕ R definieren wir sin ϕ := sin(ϕ kπ) und cos ϕ := cos(ϕ kπ), wobei k Z so gewählt ist, dass ϕ kπ [0, π) gilt. Die Funktionen sin ϕ und cos ϕ entstehen also durch π-periodische Fortsetzung von [0, π) auf R.

2 Eigenschaften von sin x und cos x Mit dem Satz des Pythagoras folgt: Additionstheoreme: sin x + cos x = 1 für alle x R. π x sin x 0 cos x 1 3 π 4 π π Für alle x, y R gilt sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. Folgerungen: sin(x + π ) = cos x, cos(x sin(x + π) = sin x, sin x = sin x cos x, + π ) = sin x cos(x + π) = cos x cos x = cos x sin x Bemerkungen Ist α ein Winkel in Gradmaß (also 360 für den Vollkreis), so muss zur Berechnung von Sinus und Cosinus α erst ins Bogenmaß umgerechnet werden, d.h. x = α π 360 Beispiel 3.17 sin 60 = sin π 6 = 1 Die Funktion sin : R R ist beschränkt, ungerade und π-periodisch. Die Funktion cos : R R ist beschränkt, gerade und π-periodisch. Es gilt B sin = B cos = [ 1, 1].

3 Tangens und Cotangens Mittels Sinus und Cosinus definiert man tan x = sin x { π } für x R \ cos x + kπ : k Z cot x = cos x für x R \ {kπ : k Z}. sin x Die Tangensfunktion tan ist π-periodisch, ungerade und im Intervall ( π/, π/) streng monoton wachsend. Die Bildmenge ist R. Der Graph des Cotangens ergibt sich aus dem Zusammenhang cot x = cos x sin x = sin(x + π/) cos(x + π/) = tan(x + π/). Anwendung: Berechnung von Längen In rechtwinkligen Dreiecken gilt: sin α = a c = Gegenkathete Hypothenuse cos α = b c = Ankathete Hypothenuse tan α = a b = Gegenkathete Ankathete cot α = b a = Ankathete Gegenkathete In beliebigen Dreiecken gilt: Sinussatz: sin α = sin β = sin γ a b c Cosinussatz: c = a + b a b cos γ

4 Ein Anwendungsbeispiel Beispiel 3.18 Die Verbindung F existiert in zwei räumlich verschiedenen Formen (Isomeren): F F F F Cis- F Trans- F Bei beiden Isomeren beträgt der --Abstand 0.15 nm, der -F-Abstand nm und die F---Winkel 115. Welchen Abstand haben die Fluoratome jeweils? Die Arcus-Funktionen Der Arcussinus: Wir betrachten f (x) = sin(x) auf D f = [ π, π ]. Dann ist f injektiv mit B f = [ 1, 1]. Also existiert die Umkehrfunktion arcsin : B f D f. Der Arcuscosinus: Schränken wir f (x) = cos(x) auf D f = [0, π] ein, dann ist f injektiv mit B f = [ 1, 1]. Also existiert die Umkehrfunktion arccos : B f D f. Der Arcustangens: f (x) = tan(x) ist auf D f = ( π, π ) injektiv mit B f = R. Daher existiert die Umkehrfunktion arctan : B f D f. arcsin(x) arccos(x) arctan(x)

5 Anwendungsbeispiel Beispiel 3.19 Die räumliche Struktur gewisser Kristalle bzw Moleküle, z.b. Methan (CH 4 ), ist ein Tetraeder. Wir berechnen den Tetraederwinkel ϕ. Hyperbolische Funktionen Sinus hyperbolicus: Cosinus hyperbolicus: sinh x := ex e x für x R cosh x := ex + e x für x R

6 Eigenschaften Für alle t R gilt (cosh t) (sinh t) = 1. (Die Gleichung y x = 1 beschreibt eine Hyperbel.) sinh : R R ist ungerade und streng monoton wachsend, also injektiv. Außerdem ist sinh surjektiv, also B sinh = R. Die Umkehrfunktion ist der Areasinus hyperbolicus arsinh : R R. cosh : R R ist gerade, also insbesondere nicht injektiv. Es gilt B cosh = [1, ). Schränkt man cosh auf [0, ) ein, dann ist cosh : [0, ) [1, ) bijektiv. Die Umkehrfunktion ist der Areacosinus hyperbolicus arcosh : [1, ) [0, ).