22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

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1 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens und Cotangens 22.8 Arcusfunktionen 22.9 Die Hyperbelfunktionen Die Areafunktionen 22.1 Sinus und Cosinus (i) Die Potenzreihen ( 1) n x2n+1 (ii) (iii) n=0 (2n+1)! bzw. ( 1) n x2n (2n)! haben den n=0 Konvergenzradius. Die durch diese Potenzreihen dargestellten Funktionen heißen Sinus, in Zeichen sin bzw. Cosinus, in Zeichen cos. Nach Definition in (i) ist also: sin(x) = ( 1) n x2n+1 (2n+1)! x x3 n=0 cos(x) = ( 1) n x2n (2n)! 1 x2 n=0 Es gilt: sin(0) = 0, cos(0) = 1; sin( x) = sin(x), 3! + x5 5! x7 2! + x4 4! x6 7! ! +... cos( x) = cos(x). Die auf R definierten Funktionen sind beliebig oft differenzierbar und es gilt für n N: a) sin (x) = cos(x), cos (x) = sin(x). b) sin (2n) (x) = ( 1) n sin(x), sin (2n 1) (x) = ( 1) n 1 cos(x). c) cos (2n) (x) = ( 1) n cos(x), cos (2n 1) (x) = ( 1) n sin(x). C 1 [22] 1

2 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Beweis. (i) Wir hatten im Anschluß an 21.7 gezeigt, daß gilt: lim n 1 n! = 0. Setzt man a 2n+1 := ( 1) n 1 (2n+1)! und a 2n := 0 für n N 0, so ist also erst recht lim n a n = 0. Wegen sin(x) = n=0 a nx n ist der Konvergenzradius der die Sinusfunktion darstellenden Potenzreihe (siehe 21.6(iii)). Entsprechend ist der Konvergenzradius der die Cosinusfunktion darstellenden Potenzreihe. (ii) Die Potenzreihendarstellung von sin und cos ist die Definition dieser Funktionen in (i). Die übrigen Behauptungen folgen unmittelbar aus dieser Potenzreihendarstellung. (iii) Die beliebig oftmalige Differenzierbarkeit von sin und cos folgt aus Da sich die Ableitung von sin(x) bzw. cos(x) durch gliedweises Differenzieren berechnet, ergibt sich: sin (x) = x + ( x3 3! ) + ( x5 5! ) + ( x7 7! ) +... = 1 x2 2! + x4 4! x6 6! +... = cos(x), cos (x) = (1) + ( x2 2! ) + ( x4 4! ) + ( x6 6! ) +... = x + x3 3! x5 5! + x7 7!... = sin(x). b) und c) folgen mit Induktion aus a) Additionstheoreme von Sinus und Cosinus (i) (ii) a) ( a, b R) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b); b) ( a, b R) cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b). Für jedes a R gilt: a) sin(2a) = 2sin(a)cos(a); b) cos(2a) = cos 2 (a) sin 2 (a); c) sin 2 (a) + cos 2 (a) = 1. Beweis. (i) Die Additionstheoreme a) und b) lassen sich durch Reihenmultiplikation ähnlich wie bei der Exponentialfunktion (in 10.12) beweisen. Der folgende Beweis von a) und b) benutzt Ergebnisse der Differentialrechnung und Setze hierzu für a, b R: f(x) := sin(a + b x)cos(x) + cos(a + b x)sin(x), g(x) := cos(a + b x)cos(x) sin(a + b x)sin(x). Dann gilt (benutze 22.1(iii), 18.2 und 18.6) f (x) = cos(a + b x)cos(x) sin(a + b x)sin(x) + sin(a + b x)sin(x) + cos(a + b x)cos(x) = 0 g (x) = sin(a + b x)cos(x) cos(a + b x)sin(x) + cos(a + b x)sin(x) sin(a + b x)cos(x) = 0. [22] 2 C 1

3 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen Nach 19.4(i) gilt daher f(0) = f(b) und g(0) = g(b). Wegen sin(0) = 0 und cos(0) = 1 folgen daher a) und b). (ii) a), b) Setze in (i) a) bzw. (i) b) die Zahl b := a. (ii) c) Setze in (i) b) für b := a und benutze cos(0) = 1, cos( a) = cos(a) sowie sin( a) = sin(a) (siehe 22.1(ii)). Aus 22.2(ii) c) folgt natürlich insbesondere sin(x) 1. Die im Beispiel 7.2 angegebene mögliche Definition von ist nicht gut handhabbar. Wir verwenden daher die auf Landau zurückgehende Einführung der Zahl Definition der Kreiszahl Es existiert genau eine reelle Zahl R +, genannt die Kreiszahl mit cos(/2) = 0 und cos(t) > 0 für t [0, /2[, d.h. /2 ist die kleinste positive Nullstelle von cos : R R. Es ist 2 < < 4. Beweis. Es reicht z.z. (1) cos [0, 2] ist streng monoton fallend. (2) cos(1) > 0, cos(2) < 0. Denn wegen cos(0) = 1 und cos(2) < 0 (siehe (2)) gibt es dann nach dem Zwischenwertsatz (siehe 15.2) ein c ]0, 2[ mit cos(c) = 0. Mit (1) folgt daher, daß c die einzige Nullstelle von cos im Intervall [0, 2] ist. Wegen cos(1) > 0 und (1) gilt daher /2 ]1, 2[, d.h. 2 < < 4. Zum Nachweis von (1) und (2) soll das Leibnizsche Konvergenzkriterium für alternierende Reihen (siehe 9.14) angewandt werden. Sei t ]0, 2] und setze a n := ( 1) n t2n (2n)!, n N, dann ist: cos(t) 1 = n=1 a n mit a n 0 (benutze 9.7). Wegen a n+1 a n = t2n+2 (2n)! t (2n+2)! = 2 t 2n (2n+1)(2n+2) < 1 ist a n monoton fallend. Also gibt es nach 9.14 ein θ [0, 1] mit Daher ist für jedes t ]0, 2] cos(t) 1 + t2 2! = n=2 a n = θ a 2 = θ t4 4!. (3) 1 t2 2 cos(t) 1 t2 2 + t4 24. Somit gilt cos(1) 1/2 > 0 und cos(2) < 0, also (2). C 1 [22] 3

4 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Zu (1): Da cos = sin ist, reicht es zu zeigen (siehe 19.4(v)) (4) sin(t) > 0 für t ]0, 2[. Der Nachweis wird wieder mit 9.14 geführt. Sei t ]0, 2[ und setze a n := ( 1) n t2n+1 (2n+1)! für n N. Dann ist sin(t) t = n=1 a n mit a n 0. Wegen a n+1 t a n = 2 (2n+2)(2n+3) < 1 ist a n monoton fallend. Also gibt es nach 9.14 ein θ [0, 1] mit sin(t) t = n=1 a n = θa 1 = θ t3 3!. Daher ist für jedes t ]0, 2[ (5) t t3 6 sin(t) t. Also ist für t ]0, 2[ (6) sin(t) t(1 t 2 /6) > t(1 4/6) > 0, d.h. es gilt (4) Periodizität von Sinus und Cosinus sowie Beziehungen zwischen beiden Funktionen (i) sin [ /2, /2] ist streng monoton wachsend mit sin([ /2, /2]) = [ 1, 1]. (ii) (iii) (iv) (v) Insbesondere ist sin( /2) = 1, sin(0) = 0, sin(/2) = 1. cos [0, ] ist streng monoton fallend mit cos([0, ]) = [ 1, 1]. Insbesondere ist cos(0) = 1, cos( 2 ) = 0, cos() = 1. sin(x) = cos(x /2) = sin(x + ). cos(x) = sin(x + /2) = cos(x + ). sin(/4) = cos(/4) = 1/ 2. sin(x) und cos(x) sind 2-periodisch, d.h.: sin(x + 2) = sin(x), cos(x + 2) = cos(x). Für die Nullstellen von Sinus bzw. Cosinus gilt: sin(t) = 0 t = k für ein k Z. cos(t) = 0 t = /2 + k für ein k Z. Beweis. (i) Wegen cos( x) = cos(x) ist nach 22.3: sin (t) = cos(t) > 0 für t ] 2, 2 [. Daher ist sin [ /2, /2] R streng monoton wachsend (siehe 19.4(iv)). Insbesondere ist also sin(/2) > sin(0) = 0. Nun gilt aber sin 2 (/2) = 22.2(ii) 1 cos2 (/2) = , also sin(/2) = 1. [22] 4 C 1

5 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen Folglich ist sin( /2) = 1 (benutze 22.1(ii)). Da wie schon gezeigt sin [ 2, 2 ] stetig und monoton wachsend ist, folgt nach dem Zwischenwertsatz (siehe 15.2), daß sin([ /2, /2]) = [ 1, 1] ist. (ii) Für jedes t ]0, /2[ gilt: cos (2t) = 2sin(2t) = 4sin(t)cos(t) < (iii) (i),22.3 Daher ist cos(2x) [0, /2] streng monoton fallend (siehe 19.4(v)), d.h. cos(x) [0, ] ist streng monoton fallend. Wegen cos(0) = 1 und cos() = cos(2 2 ) = 22.2(ii) cos2 (/2) sin 2 (/2) = 0 (1) 2 = 1 folgt daher wieder nach dem Zwischenwertsatz cos([0, ]) = [ 1, ]. (iii) Für t R gilt: (1) cos(t /2) = cos(t)cos( /2) sin(t)sin( /2) = 22.2(i) sin(t + ) = sin((t + /2) + /2) = cos(t + /2) (1) (2) = cos(t)cos(/2) sin(t)sin(/2) = sin(t); 22.2(i) (i),(ii) (3) sin(t + /2) = (1) cos((t + /2) /2) = cos(t); (4) cos(t + ) = 22.1(ii) = 22.1(ii) (i),(ii) sin(t); cos(( t /2) /2) = (1) sin( (t + /2)) sin(t + /2); sin(/4) = (1) cos( /4) = 22.1(ii) cos(/4). Somit ist 2cos2 (/4) = 1 (benutze 22.2(ii)c)). Also ist cos(/4) = 1/ 2 (benutze 22.3). (iv) Sei t R, dann gilt: sin(t + 2) = sin((t + ) + ) = (iii) sin(t + ) = (iii) sin(t); cos(t + 2) = cos((t + ) + ) = (iii) cos(t + ) = (iii) cos(t). (v) Wegen sin(0) = 0 (siehe (i)) und sin(t+) = (iii) sin(t) folgt sofort sin(k) = 0 für k Z. Sei umgekehrt sin(t) = 0. Dann gibt es ein k Z mit t + k [ /2, /2]. Dann gilt aber sin(t + k) = 0 nach (iii). Also gilt t + k = 0 nach (i), d.h. t = k mit k Z. Die Aussage über die Nullstellen der Cosinusfunktion folgt nun aus cos(t) = 0 sin(t + /2) = 0 t + /2 = k für ein k (iii) t = /2 + k für ein k Z t = /2 + k für ein k Z. Z C 1 [22] 5

6 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Der Graph von cos(t) muß nun wegen 22.4(ii), cos( x) = cos(x) und 22.1(ii) cos(x + ) = cos(x) sowie der für t [0, 2] gültigen Beziehung (siehe (3) 22.4(iii) des Beweises von 22.3): 1 t 2 /2 cos(t) 1 t 2 /2 + t 4 /24 ungefähr folgendermaßen aussehen: x2 2 + x4 24 cos(x) x Beschreibung der Einheitskreislinie mit Hilfe von Cosinus und Sinus Sei S 1 := {(a 1, a 2 ) R 2 : a a2 2 = 1} die Einheitskreislinie im R2. Dann gibt es zu jedem (a 1, a 2 ) S 1 genau ein t [0, 2[ mit (cos(t), sin(t)) = (a 1, a 2 ). Daher liefert (cos(t), sin(t)) eine bijektive Abbildung von [0, 2[ auf S 1. Beweis. Zunächst gilt für jedes t( [0, 2[), daß (cos(t), sin(t)) S 1 (siehe 22.2(ii) c)). Sei nun (a 1, a 2 ) S 1. Wir beweisen als erstes die Existenz eines t [0, 2[ mit cos(t) = a 1, sin(t) = a 2. Wegen a 1 [ 1, 1] gibt es nach 22.4(ii) ein t 0 [0, ] mit cos(t 0 ) = a 1. Dann ist sin 2 (t 0 ) = 22.2(ii) 1 cos2 (t 0 ) = 1 a 2 1 = a2 2, also sin(t 0 ) = ±a 2. Ist sin(t 0 ) = a 2, so ist der Beweis beendet. Ist sin(t 0 ) a 2, so ist a 2 0 und daher t 0 0, d.h. 0 < t 0. Also gilt t := 2 t 0 [0, 2[ und cos(t) = cos(2 t 0 ) = 22.4(iv) sin(t) = sin(2 t 0 ) = 22.4(iv) cos( t 0 ) = 22.1(ii) sin( t 0 ) = 22.1(ii) cos(t 0 ) = a 1, sin(t 0 ) = a 2. Es bleibt die Eindeutigkeit von t [0, 2[ mit cos(t) = a 1, sin(t) = a 2 zu zeigen. [22] 6 C 1

7 Seien hierzu t, t [0, 2[ mit Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen cos(t) = cos(t ), sin(t) = sin(t ) und o.b.d.a. t t. Zu zeigen ist t = t. Zunächst sind cos(t t) = 22.2(i) cos(t )cos(t) + sin(t )sin(t) = cos 2 (t) + sin 2 (t) = 1, sin(t t) = sin(t )cos(t) cos(t )sin(t) = 0 mit 0 t t < 2. sin(t t) = 0 liefert daher t t {0, } (benutze 22.4(v)). Wegen cos(t t) = 1 muß t t, also wegen t t {0, }, gleich 0 sein. a 2 Q 1 t sin(t) 0 cos(t) a 1 P Geometrische Deutung des Sinus und Cosinus in der Zahlenebene: Nach 22.5 durchläuft (cos(t), sin(t)) für t [0, 2[ genau einmal die Einheitskreislinie der Ebene. Dabei läßt sich dann für einen Punkt Q = (cos(t), sin(t)) die Zahl t als die Länge des Kreisbogens P Q, das sogenannte Bogenmaß des Winkels Q0P interpretieren. Diese Interpretation ist schon deshalb noch nicht gedeckt, weil wir den Begriff der Länge eines Bogens noch nicht definiert haben. Diese Lücke werden wir im nächsten Semester schließen. In der Schule definiert man Sinus und Cosinus in dieser Form am Einheitskreis mit Hilfe der intuitiv gewonnenen Vorstellung der Bogenlänge und zeigt dann, daß sin(0) = 0, cos(0) = 1 sowie sin = cos und cos = sin gelten. Da auch unsere mit Hilfe der Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Cosinus den Bedingungen sin(0) = 0, cos(0) = 1 sowie sin = cos und cos = sin genügen, zeigt der folgende Satz schon, daß die in der Schule definierten Sinus- und Cosinusfunktionen mit den hier mittels Potenzreihen definierten Sinus- und Cosinusfunktionen übereinstimmen müssen. C 1 [22] 7

8 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Wegen der Deutung am Einheitskreis heißen Sinus und Cosinus (sowie die in 22.7 eingeführten Funktionen Tangens und Cotangens) Kreisfunktionen oder auch Winkelfunktionen. Wegen ihrer Anwendung in der Trigonometrie (= Dreiecksmessung) auch trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems Seien s, c : R R differenzierbare Funktionen mit ( s ) ( c = c ( s(0) ( c(0)) = 0 1), so ist s = sin und c = cos. s) und Beweis. Es ist f := (c cos) 2 + (s sin) 2 differenzierbar mit f = 2(c cos)(c + sin) + 2(s sin)(s cos) = 2(c cos)( s + sin) + 2(s sin)(c cos) = 0, f(0) = (c(0) cos(0)) 2 + (s(0) sin(0)) 2 = 0. Nach 21.12(ii) ist daher f = 0, d.h. c = cos und s = sin Tangens und Cotangens Die Funktion tan = sin cos bzw. cot = heißen Tangens bzw. Cotangens. cos sin (i) Der Tangens ist auf R \ {/2 + k : k Z}, der Cotangens auf R \ {k : k Z} definiert. (ii) (iii) Tangens und Cotangens sind differenzierbar. Für die Ableitungen gilt: tan = 1/cos 2 = 1 + tan 2, cot = 1/sin 2 = (1 + cot 2 ). a) tan( x) = tan(x), tan(x + ) = tan(x); b) cot( x) = cot(x), cot(x + ) = cot(x); c) tan(/2 x) = cot(x), cot(/2 x) = tan(x). (iv) a) tan(0) = 0, tan(/4) = 1, tan( /4) = 1; b) cot(/2) = 0, cot(/4) = 1, cot( /4) = 1. (v) a) lim t /2 tan(t) = lim t 0 cot(t) = ; (vi) b) lim t /2 tan(t) = lim t cot(t) =. Für jedes k Z gilt a) tan ] /2 + k, /2 + k[ ist streng monoton wachsend; b) cot ]k, k + [ ist streng monoton fallend. [22] 8 C 1

9 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen Beweis. (i) Der Tangens (Cotangens) ist für t R definiert mit cos(t) 0 (sin(t) 0), d.h. nach 22.4(v) für alle t {/2+k : k Z} (t {k : k Z}). (ii) Der Tangens (Cotangens) ist dort, wo er definiert ist, differenzierbar mit (benutze jeweils 18.2(v) und 22.1(iii)): tan = cos2 sin( sin) = cos 2 cos2 +sin 2 1 = ( oder = 1 + tan 2 ), cos (ii) cos 2 (cot = ( sin)sin cos cos = sin 2 sin2 cos 2 1 = ( oder = (1 + cot 2 )). sin (ii) sin 2 (iii) a) Wegen cos(t + ) 0 cos(t) 0 cos( t) 0 sind die 22.4(v) Definitionsbereiche von tan(x + ), tan( x) gleich dem Definitionsbereich von tan(x) und es gilt für t /2 + k tan( t) = sin( t) cos( t) = sin(t) cos(t) = tan(t); tan(t + ) = sin(t+) sin(t) cos(t+) = 22.4(iii) cos(t) = tan(t). b) Wegen sin(t + ) 0 sin(t) 0 sin( t) 0 sind die Definitionsbereiche von cot(x + ), cot( x) gleich dem Definitionsbereich von cot(x) und 22.4(v) es gilt für t k c) tan(/2 x) = cot( t) = cos( t) sin( t) = cos(t) sin(t) = cot(t); cot(t + ) = cos(t+) sin(t+) = 22.4(iii) = 22.4(iii) cot(/2 x) = (iv) tan(0) = sin(0) cos(0) = 0, sin(/2 x) cos(/2 x) = 22.4(iii) cos(x) sin(x) = cot(x); tan( /4) = (iii)a) tan(/4) = 1. cos(t) sin(t) = cot(t). cos( x) cos(/2 x) = cos(/2 x) sin(/2 x) = sin(x) cos(x) = tan(x). sin(/4) tan(/4) = cos(/4) = 1, 22.4(iii) cos(x) cos(x /2) (v) a) Es ist cos(t) > 0 für t [0, /2[ und cos(/2) = 0. Wegen lim t /2 sin(t) = 1 folgt daher lim t /2 tan(t) =. Es ist sin(t) > 0 für t ]0, /2] und sin(0) = 0. Wegen lim t 0 cos(t) = 1 folgt daher lim t 0 cot(t) =. b) Es ist = (v)a) lim t /2 ( tan(t)) = (iii)a) lim t /2 (tan( t)) = lim u /2 (tan(u)). C 1 [22] 9

10 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Es ist = lim t 0 ( cot(t)) = (v)a) (iii)b) = lim u 0 (cot(u)) = (iii)b) = lim t (cot(t)). lim t 0 (cot( t)) lim u 0 (cot(u + )) (vi) Nach (i) und (ii) ist tan auf ] /2 + k, /2 + k[ (cot auf ]k, k + [) differenzierbar mit positiver (negativer) Ableitung. Die Behauptung folgt daher aus 19.4(iv) (bzw. (v)). Als Graphen des Tangens bzw. Cotangens erhalten wir: tan tan tan cot cot cot [22] 10 C 1

11 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.8 Arcusfunktionen Die Arcusfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot werden als lokale Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot eingeführt. (i) a) arcsin := (sin [ /2, /2]) 1 : [ 1, 1] [ /2, /2] heißt Arcussinus. Der Arcussinus ist stetig und in jedem Punkt t von ] 1, 1[ differenzierbar mit Ableitung (ii) (iii) arcsin (t) = 1/ 1 t 2 für t ] 1, 1[. b) arcsin(t) = t t t t für t [ 1, 1]. Insbesondere ist wegen arcsin(1) = 2 2 = a) arccos := (cos [0, ]) 1 : [ 1, 1] [0, ] heißt Arcuscosinus. Der Arcuscosinus ist stetig und in jedem Punkt von ] 1, 1[ differenzierbar mit Ableitung arccos (t) = 1 1 t 2 b) arcsin(x) + arccos(x) = /2. für t ] 1, 1[. a) arctan := (tan ] /2, /2[) 1 : R ] /2, /2[ heißt Arcustangens. Der Arcustangens ist differenzierbar mit Ableitung arctan (t) = 1 1+t 2 für t R. b) arctan(t) = t t3 3 + t5 5 t für t [ 1, 1]. Insbesondere ist wegen arctan(1) = 4 : 4 = 1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9.... (iv) a) arccot := (cot ]0, [) 1 : R ]0, [ heißt Arcuscotangens. Der Arcuscotangens ist differenzierbar mit Ableitung arccot (t) = 1 1+t 2 für t R. b) arctan(x) + arccot(x) = /2. Beweis. (i) a) Nach 22.4(i) bildet sin das Intervall [ /2, /2] streng monoton auf [ 1, 1] ab. Daher existiert die Umkehrfunktion arcsin als Abbildung von [ 1, 1] auf [ /2, /2]. Es ist sin [ /2, /2] stetig und in allen Punkten von ] /2, /2[ differenzierbar. Nach dem Satz über die Umkehrfunktionen stetiger Funktionen (siehe 15.6(ii)) ist daher arcsin stetig. Nach dem Satz über Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion (siehe 18.10) ist daher arcsin über sin(] /2, /2[) = ] 1, 1[ differenzierbar mit Ableitung in u 0 = sin(t 0 ) ] 1, 1[ arcsin (u 0 ) = 1 cos(t 0 ) = 1 = 1 ; 1 sin 2 (t 0 ) 1 u 2 0 hierbei ist cos(t) > 0 für t ] /2, /2[ benutzt worden. C 1 [22] 11

12 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen b) Wir wenden die Binomialreihe (siehe 21.14(i)) mit b = 1/2 und t 2 an Stelle von t an. Wir erhalten dann für t ] 1, 1[: arcsin (t) = 1 = (1 a) 1 t 2 t2 ) 1/2 ) = ( 1) k t 2k 21.14(i) k=0 ( 1/2 k Aufgabe 9(i) t t t Der Konvergenzradius der rechts stehenden Potenzreihe muß (da die Reihe für t ] 1, 1[ konvergiert) mindestens 1 sein, daher muß nach 21.9 auch der Konvergenzradius von (1) t t t t mindestens 1 sein. Bezeichnet man die durch (1) dargestellte Funktion mit g, so gilt für t ] 1, 1[: g (t) = (i) t t t = arcsin (t). Wegen g(0) = 0 = arcsin(0) folgt daher (2) g(t) = arcsin(t) für t ] 1, 1[ (benutze 21.12(ii)). Also haben wir die gesuchte Potenzreihenentwicklung von arcsin(t) über ] 1, 1[ gefunden. Wegen arcsin( 1) = arcsin(1) reicht es, die Darstellung noch für t = 1 zu beweisen. Wir zeigen später: (3) Die Reihe in (1) ist noch für t = 1 konvergent. Dann folgt die Darstellung von arcsin(1) mit Hilfe der Stetigkeit der Arcussinus-Funktion und der Stetigkeit (auch in den Randpunkten des Konvergenzintervalls, siehe 21.8) der durch Potenzreihen definierten Funktion aus: arcsin(1) = lim t 1 arcsin(t) = (2) lim t 1 g(t) = 21.8 g(1). Zu (3): Es bezeichne s n (t) die n-te Partialsumme der Reihe in (1). Dann gilt für 0 < t < 1 s n (t) arcsin(t) arcsin(1). (2) Also folgt wegen der Stetigkeit von s n in 1 auch s n (1) arcsin(1). Nach dem Monotoniekriterium (siehe 9.5) ist daher die Reihe in (1) auch noch für t = 1 konvergent. (ii) Nach 22.4(ii) bildet cos das Intervall [0, ] streng monoton auf [ 1, 1] ab. Daher existiert die Umkehrfunktion arccos als Abbildung von [ 1, 1] auf [0, ]. Es reicht nun, (ii)b) zu beweisen, da (ii)a) dann aus (i)a) folgt. (ii) b) Sei t [ 1, 1] und setze u := arccos(t)( [0, ]). Dann gilt: t = cos(u) = cos( u) = sin( u + /2). 22.4(iii) Wegen u + /2 [ /2, /2] folgt nach Definition des Arcussinus arcsin(t) = u + /2 = arccos(t) + /2. [22] 12 C 1

13 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen (iii) a) Nach 22.7(vi) a) ist tan ] 2, 2 [ eine streng monoton wachsende Abbildung mit lim t /2 tan(t) = und lim t /2 tan(t) = nach 22.7(v). Nach dem Zwischenwertsatz (siehe 15.2) bildet daher tan ] /2, /2[ bijektiv auf R ab. Also existiert arctan und ist eine Abbildung von R auf ] /2, /2[. Sie ist differenzierbar (benutze und hierzu 22.7(ii)) mit Ableitung in u 0 = tan(t 0 ) R arctan 1 1 (u 0 ) = tan (t 0 ) = 22.7(ii) 1+tan 2 (t 0 ) = 1. 1+u 2 0 Der Beweis von (iii)b) verläuft analog zu (i)b): Wir wenden die Binomialreihe (siehe 21.14(i)) mit b = 1 und t 2 an Stelle von t an. Wir erhalten dann für t ] 1, 1[ : arctan 1 ( (t) = = 1 ) a) 1+t 2 k t 2k 21.14(i) k=0 1 t 2 + t 4 t Der Konvergenzradius der rechts stehenden Potenzreihe muß mindestens 1 sein, daher muß nach 21.9 auch der Konvergenzradius von (4) t t3 3 + t5 5 t mindestens 1 sein. Bezeichnet man die durch (4) dargestellte Funktion mit g, so gilt für t ] 1, 1[: g (t) = 1 t 2 + t 4 t = arctan (t). Wegen g(0) = 0 = arctan(0) folgt daher (5) g(t) = arctan(t) für t ] 1, 1[ (benutze 21.12(ii)). Also haben wir die gesuchte Potenzreihenentwicklung von arctan(t) über ] 1, 1[ gefunden. Es reicht zu zeigen (siehe (i)b): (6) die Reihe in (4) ist noch in 1 und 1 konvergent. Dies folgt aus dem Leibnizschen Kriterium (iv) a) Wie in (iii)a) zeigt man, daß cot eine bijektive Abbildung von ]0, [ auf R ist. Also existiert arccot und ist eine Abbildung von R auf ]0, [. Es reicht nun, (iv)b) zu beweisen, da (iv)a) dann aus (iii)a) folgt. (iv) b) Sei t R und setze u := arctan(t) ( ] /2, /2[). Dann gilt: t = tan(u) = cot(/2 u). 22.7(iii)c) Wegen /2 u ]0, [ folgt nach Definition des Arcuscotangens arccot(t) = /2 u = /2 arctan(t). C 1 [22] 13

14 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Der Name Arcus (= Bogen) erklärt sich aus der geometrischen Deutung des Sinus und Cosinus. Ist (sin(t), cos(t)) ein Punkt des Kreises mit t [0, 2[, so gilt: Die Länge des Bogens ist t mit t = arccos(u), d.h. t ist der Bogen dessen cos gleich u ist. Q t cos(t) = u 0 1 P 2 4 arctan [22] 14 C 1

15 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen arccos arcsin Die Hyperbelfunktionen (i) Die Funktionen (ii) sinh(x) := 1 2 (exp(x) exp( x)) = k=0 x2k+1 (2k+1)! ; cosh(x) := 1 2 (exp(x) + exp( x)) = k=0 x2k (2k)! heißen hyperbolischer Sinus bzw. hyperbolischer Cosinus. Es ist sinh(0) = 0, cosh(0) = 1, sinh( x) = sinh(x) cosh(x) = cosh( x). Die auf R definierten Funktionen sinh, cosh sind beliebig oft differenzierbar. Es gilt: sinh = cosh, cosh = sinh. (iii) ( a, b R) sinh(a + b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b); ( a, b R) cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b); ( a R) cosh 2 (a) sinh 2 (a) = 1; sinh bildet R streng monoton wachsend auf R ab; cosh [0, [ bildet [0, [ streng monoton wachsend auf [1, [ ab. C 1 [22] 15

16 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen (iv) Die Funktionen (v) tanh := sinh cosh : R R, cosh coth := sinh : R \ {0} R heißen hyperbolischer Tangens bzw. hyperbolischer Cotangens. tanh bildet R streng monoton wachsend auf ] 1, 1[ ab; coth R + bildet R + streng monoton fallend auf ]1, [ ab. Es ist tanh(x) = ex e x e x +e x, coth(x) = ex +e x e x e x. tanh und coth sind beliebig oft differenzierbar mit tanh = 1 cosh 2 = 1 tanh 2, coth = 1 sinh 2 = 1 coth 2. Beweis. (i) 1 2 (exp(x) exp( x)) = (exp(x) + exp( x)) = 1 2 k=0 ( xk k! ( x)k k! ) = k=0 x2k+1 (2k+1)!, k=0 ( xk k! + ( x)k k! ) = k=0 x2k (2k)!. (ii) Die Exponentialfunktion ist beliebig oft differenzierbar und somit auch der hyperbolische Sinus und der hyperbolische Cosinus. Es gilt: sinh (x) = 2 1 (exp(x) ( exp( x))) = cosh(x), cosh (x) = 1 2 (exp(x) exp( x)) = sinh(x). (iii) 4(sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b)) = (exp(a) exp( a))(exp(b)+exp( b))+(exp(a)+exp( a))(exp(b) exp( b)) = exp(a)exp(b) + exp(a)exp( b) exp( a)exp(b) exp( a)exp( b) + exp(a)exp(b) exp(a)exp( b) + exp( a)exp(b) exp( a)exp( b) = 2(exp(a)exp(b) exp( a)exp( b)) = 2(exp(a + b) exp( (a + b))) = 4sinh(a + b), 4(cosh(a)cosh(h) + sinh(a)sinh(b)) = (exp(a)+exp( a))(exp(b)+exp( b))+(exp(a) exp( a))(exp(b) exp( b)) = exp(a)exp(b) + exp(a)exp( b) + exp( a)exp(b) + exp( a)exp( b) + exp(a)exp(b) exp(a)exp( b) exp( a)exp(b) + exp( a)exp( b) = 2(exp(a)exp(b) + exp( a)exp( b)) = 2(exp(a + b) + exp( (a + b))) = 4cosh(a + b). Setzt man in der Formel für cosh(a + b) für b := a, so erhält man cosh(0) = cosh(a)cosh( a) + sinh(a)sinh( a). Wegen cosh(0) = 1, cosh( a) = cosh(a), sinh( a) = sinh(a) folgt 1 = cosh 2 (a) sinh 2 (a). Wegen sinh (t) = (ii) cosh(t) > 0 für alle t R folgt, daß sinh streng monoton wachsend ist (siehe 19.4(iv)). Wegen exp(t) für t sowie exp( t) 0 für t und exp(t) 0 für t sowie exp( t) für t, folgt sinh(t) (bzw. ) für t (bzw. t ). Also folgt nach dem Zwischenwertsatz (siehe 15.2), daß sinh(r) = R ist. [22] 16 C 1

17 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen Da sinh(t) > 0 für t > 0 ist, ist cosh [0, [ streng monoton wachsend (siehe 19.4(iv)). Wegen cosh(0) = 1 und cosh(t) für t (siehe 16.4(ii)) folgt nach dem Zwischenwertsatz, daß cosh die Menge [0, [ bijektiv auf [1, [ abbildet. (iv),(v) Da cosh(t) 0 und sinh(t) = 0 genau für t = 0 ist, sind tanh auf R und coth auf R \ {0} definiert. Die Darstellung des tanh bzw. coth folgt unmittelbar aus (i). Wegen exp(t) > 0 folgt sinh(t) < cosh(t), also ist tanh : R ] 1, 1[. Wegen tanh(t) 1 (bzw. 1) für t (bzw. t ) folgt daher nach dem Zwischenwertsatz, daß tanh(r) = ] 1, 1[ ist, denn wegen tanh = cosh2 sinh 2 = 1 (= 1 tanh 2 ) cosh 2 cosh 2 ist tanh streng monoton wachsend. Wegen cosh(t) > sinh(t) > 0 für t R + ist coth : R + ]1, [. Wegen cosh(t) (bzw. 1) für t 0 (bzw. t ) folgt daher nach dem Zwischenwertsatz, daß coth(r + ) = ]1, [ ist, denn wegen coth = sinh2 cosh 2 = 1 (= 1 coth 2 ) sinh 2 sinh 2 ist coth streng monoton fallend. Die beliebig oftmalige Differenzierbarkeit von tanh und coth folgt aus der beliebig oftmaligen Differenzierbarkeit der Exponentialfunktion. Zum Namen Hyperbelfunktionen Nach 22.9(iii) liegt jeder Punkt (x, y) = (cosh(t), sinh(t)) für t R auf dem rechten Ast (x 1) der Hyperbel x2 y 2 = 1. y x 2 y 2 = 1 x Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt x 2 0 y2 0 = 1 zunächst genau ein t 0 R mit y 0 = sinh(t 0 ). Liegt (x 0, y 0 ) nun auf dem rechten Ast der Hyperbel x 2 y 2 = 1, d.h. ist x 0 1 und x 2 0 y2 0 = 1, so ist cosh(t 0) = 1 + sinh 2 (t 0 ) = 1 + y0 2 = x 0. Also ist (x 0, y 0 ) = (cosh(t 0 ), sinh(t 0 )). Insgesamt liefert also die Abbildung R t (cosh(t), sinh(t)) R 2 eine bijektive Abbildung von R auf den rechten Hyperbelast. C 1 [22] 17

18 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Die Areafunktionen Die Areafunktionen Arsinh, Arcosh, Artanh und Arcoth werden als Umkehrfunktionen (teilweise als lokale) der Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh und coth eingeführt. (i) Arsinh := sinh 1 : R R heißt Areasinus; diese Funktion ist differenzierbar und es gilt: Arsinh (t) = 1 1+t 2 für t R. (ii) Arcosh := (cosh [0, [) 1 : [1, [ [0, [ heißt Areacosinus; diese Funktion ist stetig und in jedem Punkt t von ]1, [ differenzierbar mit Arcosh (t) = 1 für t ]1, [. t 2 1 (iii) Artanh := tanh 1 :] 1, 1[ R heißt Areatangens; diese Funktion ist differenzierbar und es gilt: Artanh (t) = 1 1 t 2 für t ] 1, 1[. (iv) Arcoth := (coth R + ) 1 :]1, [ R + heißt Areacotangens; diese Funktion ist differenzierbar und es gilt: Arcoth (t) = 1 1 t 2 (v) Arsinh(t) = ln(t + t 2 + 1) für t R; Arcosh(t) = ln(t + t 2 1) für t 1; Artanh(t) = 1 2 Arcoth(t) = t ln( 1 t ) für t ] 1, 1[; t+1 ln( t 1 ) für t > 1. für t ]1, [. Beweis. (i) Nach 22.9(iii) existiert sinh 1. Wegen sinh (t) = cosh(t) > 0 existiert Arsinh und es ist für u 0 = sinh(t 0 ) (siehe 18.10): Arsinh 1 (u 0 ) = cosh(t 0 ) = 1 1 =. 1+u sinh 2 (t 0 ) (ii) Nach 22.9(iii) existiert (cosh [0, )) 1 als Abbildung von [1, [ in [0, [. Nach 15.6 ist daher Areacosinus stetig und nach in jedem Punkt u 0 (= cosh(t 0 )) ]1, [ differenzierbar wegen cosh (t) = sinh(t 0 ) > 0 (beachte t 0 > 0). Es ist daher Arcosh 1 (u 0 ) = sinh(t 0 ) = 1 = 1. cosh 2 (t 0 ) 1 u (iii),(iv) Nach 22.9(iv) existieren die beiden Umkehrfunktionen tanh 1 und (coth R + ) 1. Es ist Areatangens differenzierbar nach in jedem Punkt u 0 (= tanh(t 0 )) ] 1, 1[ mit Artanh 1 (u 0 ) = tanh (t 0 ) = 1 1 tanh 2 (t 0 ) = 1. 1 u 2 0 Es ist Areacotangens in jedem Punkt u 0 (= coth(t 0 )) ]1, [ differenzierbar mit Arcoth 1 (u 0 ) = coth (t 0 ) = 1 1 coth 2 (t 0 ) = 1. 1 u 2 0 [22] 18 C 1

19 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen (v) Es ist Arsinh(0) = 0 = ln( ) und es gilt: (ln(x + x 2 + 1)) = 1 x+ x 2 +1 (1 + x x 2 +1 ) = 1 1+x 2 = Arsinh (x). Also gilt Arsinh(x) = ln(x + x 2 + 1) auf R nach Nach demselben Muster verläuft der Beweis der nächsten beiden Gleichungen: Arcosh(1) = 0 = ln( ); es gilt für t > 1 : Arcosh (t) = 1 t 2 1 = 1 t+ t 2 1 (1 + t t 2 1 ) = d dx ln(x + x 2 1) t. Also gilt Arcosh(t) = ln(t + t 2 1) für t [1, [ nach Artanh(0) = 0 = ln( 1 0 ); es gilt für t ] 1, 1[: Artanh (t) = 1 = 1 1 t 2 2 ( 1+t t 1 ) = dx d 1 1+x 2 ln( 1 x ) t. Also gilt Artanh(t) = t ln( 1 t ) für t ] 1, 1[ nach Es gilt für t > 1: Arcoth (t) = 1 = 1 1 t 2 2 ( 1+t t 1 ) = dx d ( 2 1 x+1 ln( x 1 )) t. t+1 ln( t 1 ) + c für t > 1 (siehe 21.12). Es ist c = 0 wegen Also gilt Arcoth(t) = 2 1 lim t Arcoth(t) = inf{arcoth(t) : t > 1} = 0 = lim t (ii) Zum Namen Areafunktion (Area = Fläche) ln( t+1 t 1 ). (cosh(t), sinh(t)) cosh(t) = u Mit Hilfe der Integralrechnung läßt sich zeigen, daß die Fläche des schraffierten Bereichs durch t = Arcosh(u) gegeben ist, wobei cosh(t) = u ist. C 1 [22] 19

20 Kapitel V Mehrfach und unendlich oft differenzierbare Funktionen, Potenzreihen Beispiel (i) (ii) Setze { 0 für t = 0, f(t) := t 2 sin(1/t) für t R \ {0}. Es ist f differenzierbar. Die Ableitung ist im Nullpunkt unstetig. Setze f n (x) := sin(n2 x), n N. n Dann ist (f n ) n N eine Folge von differenzierbaren Funktionen, die gleichmäßig gegen die differenzierbare Funktion 0 konvergiert. Die Folge der Ableitungen (f n) n N konvergiert nicht gleichmäßig, nicht einmal punktweise. Beweis. (i) Es ist für t 0: (1) f (t) = 2t sin(1/t) + t 2 cos(1/t) ( 1/t 2 ) = 2t sin(1/t) cos(1/t). Ferner ist (2) f (0) = lim t 0 t 2 sin(1/t) t = 0. Es gilt für jedes n N nach (1) f (1/2n) = 1. Nun konvergiert 1/2n 0 für n, aber f (1/2n) = (1) 1, also ist f für 0 nicht stetig wegen (2). (ii) Es ist f n(x) = n cos(n 2 x). Also ist f n(0) = n, insbesondere ist (f n(0)) n N nicht konvergent. [22] 20 C 1