HM I Tutorium 8. Lucas Kunz. 12. Dezember 2018

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1 HM I Tutorium 8 Lucas Kunz. Dezember 08 Inhaltsverzeichnis Theorie. Stetigkeit und Grenzwerte Sinus und Cosinus Tangens und Cotangens Komplexe Zahlenebene Theorie über das Tutorium hinaus. Sinus und Cosinus Hyperbolicus Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen Vorausblick: Regel von l Hospital 5 Aufgaben 5. Aufgabe a Aufgabe b Aufgabe c Aufgabe d

2 Theorie. Stetigkeit und Grenzwerte Für nähere Informationen zum Thema Stetigkeit sowie zur Berechnung von Grenzwerten sei auf das Skript zu Tutorium 7 verwiesen.. Sinus und Cosinus Die trigonometrischen Grundfunktionen Sinus und Cosinus sind über Potenzreihen definiert als sinz = n z n+ n +! und cosz = n zn n!.. n=0 Über letzteren definiert man schließlich eine spezielle Zahl: ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Cosinus. Unter Verwendung dieser Zahl lassen sich einige Eigenschaften der beiden eben genannten Funktionen kompakt ausdrücken: cos0 =, sin0 = 0, cos =, sin = 0, cos =, sin = 0 sin x + = cosx, cos x + = sinx sinx+ = sinx, cosx+ = cosx, sinx+ = sinx, cosx+ = cosx cosx = 0 k Z : x = k + sinx = 0 k Z : x = k sin x = sinx, cos x = cosx sin x + = sin x, cos x + sin = cos = = sinx, cosx, sin, cos CR n=0 = cos x Natürlich lassen sich auch Sinus und Cosinus umkehren. Da sie allerdings nur auf einem eingeschränkten Intervall bijektiv sind muss dieses zunächst spezifiziert werden: Der Sinus ist auf [, ] streng monoton wachsend. Seine Umkehrfunktion ist definiert als arcsin := sin : [, ] [, ] und wird als Arcus sinus bezeichnet. Der Cosinus ist auf [0, ] streng monoton fallend. Seine Umkehrfunktion ist definiert als arccos := cos : [, ] [0, ] und wird als Arcus cosinus bezeichnet. Beide Umkehrfunktionen sind stetig und weisen dieselbe Art von strenger Monotonie auf wie die jeweils ursprüngliche Funktion.

3 .3 Tangens und Cotangens Es sei D := R \ {k + : k Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Cosinus, dann ist der Tangens definiert als Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften: tanx := sinx, x D.. cosx tanx ist stetig auf D und auf, streng monoton wachsend tan0 = 0, tan =, tanx = tan x, tanx + = tanx tanx + x, tanx x + Auch der Tangens lässt sich umkehren, wobei man das Intervall, zugrunde legt. Die Funktion arctan := tan : R, nennt man Arcus tangens. Für ihn gilt: arctan0 = 0, arctan = tanx x +, tanx x Der Arcus tangens ist auf ganz R stetig und streng monoton wachsend. Natürlich kann man den Quotienten aus Sinus und Cosinus aber auch anders herum definieren: cotx := cosx sinx, x D..3 nennt sich Cotangens, wobei in diesem Falle die Definitionsmenge D = R \ {k : k Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Sinus ist. Auch der cotx ist umkehrbar.. Komplexe Zahlenebene Aus Tutorium 6 ist bereits die Darstellung der komplexen Exponentialfunktion durch Sinus und Cosinus bekannt. Aus dieser heraus lässt sich eine vielfach nützliche Darstellung komplexer zahlen herleiten. Ist z C, dann gibt es genau ein r > 0 und genau ein ϕ, ], sodass z = r e iϕ = r cosϕ + i sinϕ.. Den Winkel ϕ bezeichnet man dabei als das Argument von z, anschaulich ist es der Winkel zwischen der reellen Achse und der Verbindungslinie von z mit dem Nullpunkt. Mit dieser neuen Schreibweise sind Multiplikationen komplexer Zahlen wesentlich einfacher auszuführen: z := r e iϕ, w := s e iψ z w = r s e iϕ+ψ..5 Bei der Multiplikation addiert man also die Argumente und multipliziert nur die Beträge. 3

4 Theorie über das Tutorium hinaus. Sinus und Cosinus Hyperbolicus In starker Analogie zu Sinus und Cosinus siehe Kapitel. definiert man sinhx := e x e x und coshx := e x + e x. als Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Im Gegensatz zu ihren nicht hyperbolischen Entsprechungen sind sinh und cosh aber nicht im geringsten periodisch. Sie haben aber noch weitere von der Trigonometrie abweichende Eigenschaften: sinh und cosh sind Potenzreihen: coshx = x n n=0 und sinhx = x n+ n! n=0. n+! Diese Reihen entsprechen denen des normalen sin und cos bis auf den Faktor n. coshx + y = coshx coshy + sinhx sinhy sinhx + y = sinhx coshy + coshx sinhy cosh x sinh x =, cosh0 =, sinh0 = 0 ; sinh, cosh CR sinh und cosh sind nicht beschränkt, sondern besitzen im unendlichen die folgenden Grenzwerte: cosh x ±, sinh x, sinh x. sinh ist auf ganz R streng monoton wachsend. cosh ist auf, 0] streng monoton fallend, auf [0, streng monoton wachsend.. Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen Ebenso wie aus sin und cos lässt sich auch für Hyperbelfunktionen eine Umkehrfunktion bilden. Diese nennt man Area sinus hyperbolicus bzw. Area cosinus hyperbolicus: Arsinh := sinh : R R; Arcosh := cosh : R [0,.. Weiterhin bezeichnet man die Quotienten der beiden Funktionen analog zum trigonometrischen Fall auch als Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus. Bei letzterem ist dabei darauf zu achten, dass er an der Stelle x = 0 nicht definiert ist, weil der im Nenner stehende sinh0 zur Divergenz führt. Der tanh hat aber keine Einschränkungen des Definitionsbereichs und bildet daher von R in das offene Intervall, ab: tanhx := sinhx coshx ; cothx := coshx sinhx..3 Auch diese beiden Funktionen sind stetig außer coth im Nullpunkt und umkehrbar und man erhält somit Area tangens hyperbolicus bzw. Area cotangens hyperbolicus: Artanh := tanh :, R; Arcoth := coth : R \ [, ] R \ {0}..

5 3 Vorausblick: Regel von l Hospital Es seien a, b R {, }, a < b, sowie f, g : a, b R seien auf a, b differenzierbare Funktionen mit g x 0 x a, b. Weiterhin definieren wir L γ R {, } wie folgt: f x L γ := x γ g x, 3. wobei die Grenze γ entweder a oder b ist. Es gibt also zwei solche L γ, nämlich L a und L b. In zwei häufig auftretenden Fällen kann die Größe L γ helfen, Grenzwerte der Funktionen f und g bzw. deren Quotienten zu berechnen: fx Ist fx = gx = 0, dann gilt = L x γ x γ x γ gx γ. fx Ist gx = ±, so gilt ebenfalls = L x γ x γ gx γ. Dies gilt sowohl für γ = a als auch γ = b, wobei es innerhalb einer Rechnung natürlich fest gewählt werden muss und nicht mehr getauscht werden darf. Grob lässt sich also sagen: In den beschriebenen zwei Fällen stimmen der Grenzwert des Quotienten der Ableitungen und der Grenzwert des Quotienten der Funktionen selbst überein. Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben, 6 und 8 finden sich auf der Internetseite der Vorlesung unter Weiterhin sind in diesem Kapitel einige alternative Lösungsansätze zu Aufgabe aufgeführt, welche auf der bislang nicht in der Vorlesung eingeführten Regel von l Hospital beruhen.. Aufgabe a Zunächst müssen die Voraussetzungen der Regel von l Hospital überprüft werden: Es gilt ax = e x loga = 0 und x = 0, der Grenzwert von Zähler und Nenner ist also jeweils 0. Um den Grenzwert des Bruchs als Ganzes zu berechnen lässt sich also der Quotient aus den Ableitungen betrachten: a x x. Aufgabe b = e x loga x Ableitung = loga e x loga Die Voraussetzungen der Regel von l Hospital sind erfüllt: x logx = x = 0. x = loga. Entsprechend folgt logx x x Ableitung = x x = =. 5

6 .3 Aufgabe c Bevor der Grenzwert berechnet werden kann muss zunächst die selbe Umschreibung wie in der Musterlösung getätiget werden: x+ x + 3 x+3 x+ = e log x+. x + Anschließend wird der Grenzwert dieses Exponenten berechnet und selbiger schließlich wieder in die e-funktion eingesetzt. Um die Regel von l Hospital anwenden zu können mus zunächst der Exponent als Bruch umgeschrieben werden: x + log x + 3 x + = log x+3 x+. x+ Die Voraussetzungen sind erfüllt, da x + 3 log = log = 0 =. x + x + Entsprechend gilt mit der Quotienten- und Kettenregel, siehe nächste Tutorien log x+3 x+3 x+ Ableitung x+ x+ x+3 x+ x+ x+3 = = x+ = x+x+3 x+ x+ x + x + = x + 8x + 3 =. x + = x + x + 3 Eingesetzt in die Exponentialfunktion ergibt sich damit x+ x + 3 x+3 = log ex+ x+ = e = e. x +. Aufgabe d Wie in der Musterlösung wird zunächst der Exponent umgeschrieben als + arcsinx x = e x log+arcsinx. In diesem Exponenten steht ein Bruch, auf welchen l Hospital anwendbar ist: x = 0 = log = log + arcsinx. Unter Verwendung der Ableitung d dx arcsinx = x x+ x+ siehe Vorlesung ergibt sich log + arcsinx x Ableitung = +arcsinx x = + 0 = 0 und somit als Grenzwert des Exponenten + arcsinx x = e = e. 6