HM I Tutorium 9. Lucas Kunz. 22. Dezember 2017

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1 HM I Tutorium 9 Lucas Kunz. Dezember 017 Inhaltsverzeichnis 1 Theorie 1.1 Exponentialfunktion Sinus und Cosinus Tangens und Cotangens Komplexe Zahlenebene Sinus und Cosinus Hyperbolicus Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen Aufgaben 5 1

2 1 Theorie 1.1 Exponentialfunktion Man definiert eine spezielle Funktion über die Potenzreihe expz := k=0 z k k!. 1.1 Die so definierte Reihe konvergiert für alle z C und wird auch geschrieben als e z := expz falls z Q. Hierbei ist e := 1 k=0 die sogenannte euler sche Zahl, die als k! Basis der natürlichen Exponentialfunktion fungiert. Diese spezielle Funktion hat einige Eigenschaften, von denen viele durch die Potenzgesetze und die Darstellung expz = e z z Q offensichtlich sind. Für irrationale und komplexe Zahlen lassen sie sich direkt aus der Reihendarstellung herleiten und gelten daher ebenso: exp0 = 1 und exp1 = e. z, w C : expz + w = expz expw. expz 0 z C, weiterhin gilt exp z = 1 expz und n N : expnz = expzn. x R : expx > 0, x > 0 : expx > 1. Aus x, y R und x < y folgt stets expxy expy. sup{expx : x R} =, inf{expx : x R} = 0. expz = expz. x, y R : expx + iy = expx expiy und expiy = 1. x R n N : exp x n = n expx. z C : expz = exprz. Weiterhin werden durch die Exponentialfunktion zwei wichtige Ungleichungen erfüllt: z C : e z 1 z e z 1. z C : e z 1 1 z z e z. 1.3 e Aus letzterer folgt auch der bekannte Grenzwert lim z 1 = 1, weil die rechte Seite der Ungleichung in diesem Grenzfall als gegen 0 konvergierende Majorante dient. 1. Sinus und Cosinus Auf Basis der eben eingeführten Exponentialfunktion lassen sich zwei weitere sehr fundamentale Funktionen definieren: Der Sinus sinz := 1 i eiz e iz = zn+1 1n mit sin z = sinz. n+1! Der Cosinus cosz := 1 eiz + e iz = zn 1n mit cos z = cosz. n!

3 Aus diesen Definitionen folgen weitere Eigenschaften, darunter die Additionstheoreme: z C : e iz = cosz + i sinz. z C : sin z + cos z = 1 und daher e ix = 1 x R. sinz + w = sinz cosw + sinw cosz. cosz + w = cosz cosw sinz sinw. Weiterhin erfüllen auch diese beiden Funktionen spezielle Ungleichungen: x R : sinx 1, cosx 1. sinz z e z z C. sinz 1 z z e z und cosz 1 z z e z jeweils z C \ {0}. Auch hier folgt wie bei der Exponentialfunktion selbst aus einer der Ungleichungen der sinz wichtige Grenzwert lim = 1, weil erneut eine konvergente Majorante existiert. Aus cosz 1 demselben Grund kann auch lim = 0 gefolgert werden. Derartige Grenzwerte werden im weiteren Verlauf des Semesters eingeführt und definiert werden. Ihre Berechnung wird dann vor allem mit Hilfe der Regel von l Hospital stattfinden. Alternativ zur Darstellung über die komplexe Exponentialfunktion lassen sich Sinus und Cosinus definieren mit Hilfe der Reihen sinz = 1 n z n+1 n + 1! und cosz = 1 n zn n!. 1. Über letzteren definiert man schließlich eine spezielle Zahl: ist das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Cosinus. Unter Verwendung dieser Zahl lassen sich einige Eigenschaften der beiden eben genannten Funktionen kompakt ausdrücken: cos0 = 1, sin0 = 0, cos = 1, sin = 0, cos = 1, sin = 0 sin x + = cosx, cos x + = sinx sinx+ = sinx, cosx+ = cosx, sinx+ = sinx, cosx+ = cosx cosx = 0 k Z : x = k + 1 sinx = 0 k Z : x = k sin x = sinx, cos x = cosx sin x + = sin x, cos x + sin = cos = 1 = 1 sinx 1, cosx 1, sin, cos CR = cos x Natürlich lassen sich auch Sinus und Cosinus umkehren. Da sie allerdings nur auf einem eingeschränkten Intervall bijektiv sind muss dieses zunächst spezifiziert werden: 3

4 Der Sinus ist auf [, ] streng monoton wachsend. Seine Umkehrfunktion ist definiert als arcsin := sin 1 : [ 1, 1] [, ] und wird als Arcus sinus bezeichnet. Der Cosinus ist auf [0, ] streng monoton fallend. Seine Umkehrfunktion ist definiert als arccos := cos 1 : [ 1, 1] [0, ] und wird als Arcus cosinus bezeichnet. Beide Umkehrfunktionen sind stetig und weisen wegen der letzten Aussage in Kapitel?? dieselbe Art von strenger Monotonie auf wie die jeweils ursprüngliche Funktion. 1.3 Tangens und Cotangens Es sei D := R \ {k + 1 : k Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Cosinus, dann ist der Tangens definiert als Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften: tanx := sinx, x D. 1.5 cosx tanx ist stetig auf D und auf, streng monoton wachsend tan0 = 0, tan = 1, tanx = tan x, tanx + = tanx tanx + x, tanx x + Auch der Tangens lässt sich umkehren, wobei man das Intervall, zugrunde legt. Die Funktion arctan := tan 1 : R, nennt man Arcus tangens. Für ihn gilt: arctan0 = 0, arctan1 = tanx x +, tanx x Der Arcus tangens ist auf ganz R stetig und streng monoton wachsend. Natürlich kann man den Quotienten aus Sinus und Cosinus aber auch anders herum definieren: cotx := cosx sinx, x D. 1.6 nennt sich Cotangens, wobei in diesem Falle die Definitionsmenge D = R \ {k : k Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Sinus ist. Auch der cotx ist umkehrbar. 1. Komplexe Zahlenebene Aus Kapitel 1. ist bereits die Darstellung der komplexen Exponentialfunktion durch Sinus und Cosinus bekannt. Aus dieser heraus lässt sich eine vielfach nützliche Darstellung komplexer zahlen herleiten. Ist z C, dann gibt es genau ein r > 0 und genau ein ϕ, ], sodass z = r e iϕ = r cosϕ + i sinϕ. 1.7 Den Winkel ϕ bezeichnet man dabei als das Argument von z, anschaulich ist es der Winkel zwischen der reellen Achse und der Verbindungslinie von z mit dem Nullpunkt. Mit dieser neuen Schreibweise sind Multiplikationen komplexer Zahlen wesentlich einfacher auszuführen: z := r e iϕ, w := s e iψ z w = r s e iϕ+ψ. 1.8 Bei der Multiplikation addiert man also die Argumente und multipliziert nur die Beträge.

5 1.5 Sinus und Cosinus Hyperbolicus In starker Analogie zu Sinus und Cosinus siehe Kapitel 1. definiert man sinhx := 1 e x e x und coshx := 1 e x + e x 1.9 als Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Im Gegensatz zu ihren nicht hyperbolischen Entsprechungen sind sinh und cosh aber nicht im geringsten periodisch. Sie haben aber noch weitere von der Trigonometrie abweichende Eigenschaften: sinh und cosh sind Potenzreihen: coshx = x n und sinhx = x n+1 n!. n+1! Diese Reihen entsprechen denen des normalen sin und cos bis auf den Faktor 1 n. coshx + y = coshx coshy + sinhx sinhy sinhx + y = sinhx coshy + coshx sinhy cosh x sinh x = 1, cosh0 = 1, sinh0 = 0 ; sinh, cosh CR sinh und cosh sind nicht beschränkt, sondern besitzen im unendlichen die folgenden Grenzwerte: cosh x ±, sinh x, sinh x. sinh ist auf ganz R streng monoton wachsend. cosh ist auf, 0] streng monoton fallend, auf [0, streng monoton wachsend. 1.6 Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen Ebenso wie aus sin und cos lässt sich auch für Hyperbelfunktionen eine Umkehrfunktion bilden. Diese nennt man Area sinus hyperbolicus bzw. Area cosinus hyperbolicus: Arsinh := sinh 1 : R R; Arcosh := cosh 1 : R [0, Weiterhin bezeichnet man die Quotienten der beiden Funktionen analog zum trigonometrischen Fall auch als Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus. Bei letzterem ist dabei darauf zu achten, dass er an der Stelle x = 0 nicht definiert ist, weil der im Nenner stehende sinh0 zur Divergenz führt. Der tanh hat aber keine Einschränkungen des Definitionsbereichs und bildet daher von R in das offene Intervall 1, 1 ab: tanhx := sinhx coshx ; cothx := coshx sinhx Auch diese beiden Funktionen sind stetig außer coth im Nullpunkt und umkehrbar und man erhält somit Area tangens hyperbolicus bzw. Area cotangens hyperbolicus: Artanh := tanh 1 : 1, 1 R; Arcoth := coth 1 : R \ [ 1, 1] R \ {0}. 1.1 Aufgaben Die Musterlösungen der Tutoriumsaufgaben 53 und 5 finden sich auf der Internetseite der Vorlesung unter 5