Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren

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1 Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2014/15 und dient als Grundlage für die Ferienkurse am 10. und 13. Februar Achtung: Manche Fragestellungen lassen verschiedene Interpretationen zu. Das ist durchaus so gewollt. Sie sollen sich also auch Gedanken darüber machen, ob die Fragen überhaupt präzise gestellt sind. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren Die Null ist eine natürliche Zahl. Die leere Menge ist beschränkt. Sei M eine Menge, P(M) ihre Potenzmenge. Es gilt P(M). Sei M eine Menge, P(M) ihre Potenzmenge. Es gilt P(M). Für alle n N gilt 2 n > n 2. n Für alle n N\{0} gilt k2 k = (n 1)2 n k=1 1

2 2 Die Reellen Zahlen In der Bernoulli-Ungleichung gilt Gleichheit nur für n = 0. Jede Teilmenge von R besitzt eine kleinste obere Schranke. Jede endliche Teilmenge von R besitzt eine kleinste obere Schranke. Eine Menge kann mehrere untere Schranken haben. In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele rationale Zahlen. In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele irrationale Zahlen. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es eine irrationale Zahl. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen stets -viele irrationale Zahlen. Es gibt irrationale Zahlen a,b derart, dass a b rational ist. Aus a,b Q folgt stets a b Q. 3 Funktionen Eine Folge reeller Zahlen ist eine Funktion N R. Die Funktion f : [0, ) R, f( := x, ist bijektiv. Es gibt eine surjektive Funktion f : {1,2,...,n} {1,2,...,n+1}. Es gibt eine injektive Funktion f : {1,2,...,n+1} {1,2,...,n}. Die Funktion f : {z C : Im(z) > 0} {z C : z < 1}, f(z) := z+i z i ist bijektiv. 2

3 4 Die komplexen Zahlen C ist mit gewöhnlicher Addition und Multiplikation ein kommutativer Körper. Jede beschränkte Teilmenge von C besitzt ein Supremum. Für alle z C gilt z z R. Zu jedem z C gibt es w C mit w 2 = z.es gilt i = 1. 5 Folgen Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert. Der Grenzwert einer Folge kann sich ändern, wenn man endlich viele Folgenglieder abändert. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Das N in der Definition der Konvergenz darf von ε abhängen. Es gibt Cauchy-Folgen, die nicht konvergent sind. Beschränkte Folgen in Q besitzen in Q konvergente Teilfolgen. Eine Folge ist konvergent genau dann, wenn jede Ihrer Teilfolgen gegen denselben Wert konvergiert. Es gibt Folgen, die unendlich viele Häufungspunkte besitzen. Jede Folge hat einen Häufungspunkt. Jede konvergente Folge hat höchstens einen Häufungspunkt. Jede konvergente Folge hat mindestens einen Häufungspunkt. Seien (a n ) n,(b n ) n zwei Folgen reeller Zahlen. Dann gilt lim(a n +b n ) = lim a n + lim b n. Aus lim a n = a folgt lim a n = a. Aus lim a n = a folgt lim a n = a. 3

4 6 Reihen Der Wert einer Reihe ändert sich nicht, wenn man endlich viele Summanden abändert. Wenn a n konvergiert, dann ist (a n ) n eine Cauchy-Folge. Wenn (a n ) n eine Cauchy-Folge ist, dann konvergiert a n. Wenn (a n ) n eine Nullfolge ist, dann konvergiert a n. Es gibt Reihen, die absolut konvergent, aber nicht konvergent sind. Es gibt Reihen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind. Mit dem Quotientenkriterium kann man beweisen, dass 1 n 2 konvergent ist. Für jedes s > 1 ist die Reihe Die Reihe n=2 1 nlnn ist konvergent. 1 n s konvergent. Die Reihe x n konvergiert genau dann, wenn x < 1 ist. n=0 4

5 7 Stetige Funktionen, Zwischenwertsatz Die Funktion f : R R, f( := 0 für x Q und f( := 1 sonst, ist in keinem Punkt stetig. Es gibt eine Funktion f : R R, die in allen x R\Q stetig und in allen x Q nicht stetig ist. Die Funktion f : R R, f(0) := 0 und f( := sin ( 1 ist stetig. Die Funktion f : R R, f(0) := 0 und f( := x sin ( 1 ist stetig. Wenn es zwei Folgen (a n ) n und (b n ) n gibt mit lim a n = lim b n = a und lim n) lim f(b n ), dann ist f nicht stetig in a. Wenn es zwei Folgen (a n ) n und (b n ) n gibt mit lim a n = lim b n = a und lim n) = lim f(b n ), dann ist f stetig in a. Ist f stetig und g nicht stetig, dann ist f g nicht stetig. Der Zwischenwertsatz gilt auch für Funktionen f : Q Q. Jede stetige Funktion f : [0,1] R, die mindestens eine Nullstelle hat, besitzt eine kleinste Nullstelle. Beschränkte stetige Funktionen nehmen ein Maximum und Minimum an. Jede stetige monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. Es gibt eine Funktion f : R R, die an allen Punkten a R\Q stetig und an allen a Q nicht stetig ist. 5

6 8 Exponentialfunktion, Trigonometrische Funktionen, Logarithmus Es gibt kein z C mit exp(z) = 0. Die Exponentialfunktion ist in ganz C stetig. Die Exponentialfunktion ist injektiv. Für alle z C gilt e z = e Rez. Für alle x R gilt cosx = 1 (sin 2. sinx Der Grenzwert lim x 0 x existiert. 9 Differenzierbarkeit Die leere Menge ist offen. Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Es gibt eine Funktion f : R R, die auf ganz R stetig aber nirgends differenzierbar ist. Jede streng monotone differenzierbare Funktion besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion. Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := sin ( 1 ist an der Stelle x = 0 differenzierbar. Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := x sin ( 1 ist an der Stelle x = 0 differenzierbar. Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := x 2 sin ( 1 ist an der Stelle x = 0 differenzierbar. 6

7 10 Eigenschaften stetiger und differenzierbarer Funktionen Seien I ein offenes Intervall und f : I R differenzierbar. Wenn f an der Stelle x ein Minimum annimmt, dann gilt f ( = 0. Wenn f : R R streng monoton wachsend und differenzierbar ist, dann gilt f ( > 0 für alle x R. Jede gleichmäßig konvergente Folge von Funktionen konvergiert auch punktweise. Seien I ein offenes Intervall und (f n ) n eine Folge differenzierbarer Funktionen f n : I R, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann gilt limf n ( = f (. 11 Das Integral Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Es gibt eine Funktion, die nur eine einzige Stammfunktion besitzt. Jede Polynomfunktion besitzt eine Stammfunktion und diese ist wiederum ein Polynom. Jede rationale (d.h Quotient aus zwei Polynomen) Funktion besitzt eine Stammfunktion und diese ist wiederum eine rationale Funktion. Die Funktion f( := 1 besitzt in (,0) keine Stammfunktion, x da der Logarithmus für negative x nicht definiert ist. 1 Das uneigentliche Integral 1+x dx existiert. 2 Das uneigentliche Integral Es gilt lim nπ nπ sinx dx = 0. sin x dx existiert. 7

8 12 Potenzreihen, Taylorreihen Es gibt eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 0. Man kann den Konvergenzradius einer Potenzreihe mithilfe des Quotientenkriteriums bestimmen. Die Reihe Die Reihe Die Reihe z n n z n n z n n konvergiert für alle z C mit z < 1. konvergiert genau dann, wenn z < 1 ist. konvergiert für alle z C mit z 1. Die Taylorpolynome einer Potenzreihe sind die Partialsummen dieser Reihe. Jede differenzierbare Funktion besitzt eine Taylorreihe. Seien f( := c n x n und g( := d n x n zwei Potenzreihen. n=0 n=0 Wenn δ > 0 existiert mit f( = g( für alle x ( δ,δ), so gilt c n = d n für alle n N. 8