SS 2016 Höhere Mathematik für s Studium der Physik 21. Juli Probeklausur. Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert.

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1 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Probeklausur Die Antworten zu den jeweiligen Fragen sind in blauer Farbe notiert. Fragen Sei (X, d) ein metrischer Raum. Beantworten Sie die nachfolgenden Fragen. (a) Wann heißt eine Folge (x n ) n N X Cauchyfolge, wann konvergent? Geben Sie die Definitionen an. (x n ) n N heißt Cauchyfolge, falls für beliebige ɛ > ein N = N ɛ N existiert, sodass d(x n, x m ) < ɛ n, m N. (x n ) heißt konvergent, falls es ein x X gibt, sodass für beliebige epsilon > ein N = N ɛ N existiert, sodass d(x n, x) < ɛ n N. (b) Ist jede konvergente Folge in einem metrischen Raum eine Cauchyfolge? Ist umgekehrt jede Cauchyfolge konvergent? Geben Sie jeweils einen kurzen Beweis, falls Ihre Antwort ja ist oder ein Gegenbeispiel, falls Ihre Antwort nein lautet. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge aufgrund der Dreiecksungleichung: d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x m, x). Im allgemeinen sind Cauchyfolgen nicht konvergent, zum Beispiel konvergiert die Folge (/n) n N (, ) wobei d(x, y) = x y, nicht. Konvergiert jede Cauchyfolge, so nennt man den metrischen Raum vollständig. Ein Beispiel eines vollständigen metrischen Raumes sind die reellen Zahlen (mit dem Betrag als Metrik). (c) Wann heißt eine Teilmenge A X folgenkompakt? Welches sind die folgenkompakten Teilmengen von X = R? A X heißt folgenkompakt, falls jede Folge in A eine in A konvergente Teilfolge besitzt. Die folgenkompakten Teilmengen von R sind gerade die abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen, d.h. endliche Vereinigungen von kompakten Intervallen (dies besagt der Satz von Heine-Borell). (d) Sei (Y, d ) ein weiterer metrischer Raum. Wann nennt man eine Funktion f : X Y stetig im Punkt x X? f : X Y heißt stetig in x X, falls für jede Folge (x n ) X mit x n x gilt, dass f(x n ) f(x) in Y konvergiert. Anders gesagt: ɛ > δ > : d(x, x ) < δ d ( f(x), f(x ) ) < ɛ. Probeklausur Punkte pro Aufgabe

2 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 (a) Was ist eine Reihe? Wann heißt eine Reihe konvergent, wann divergent? Geben Sie drei Beispiele für konvergente und divergente Reihen. Eine Reihe ist ein formaler Ausdruck der Form ν= a ν, wobei die a ν in einer Banachalgebra (bei uns meistens in R oder C) ( liegen. Man nennt die Reihe konvergent/divergent, n falls die Folge der Partialsummen ν= ν) a konvergiert/divergiert. Beispiele für konvergente Reihen sind ν= Beispiele für divergente Reihen sind ν, ν, ν= n N ν= n. ν, ν= ν, ν= ν= n. (b) Geben Sie drei Konvergenzkriterien für Reihen an. Majorantenkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium (c) Welche Reihen kann man umordnen? Definieren Sie die einschränkende Eigenschaft. Man kann die konvergente Reihe ν= a ν umordnen (ohne das Ergebnis zu verändern), falls die Reihe absolut konvergiert, d.h. falls auch die Reihe ν= a ν konvergiert. (d) Sei ν= a ν(z ξ) ν eine komplexe Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ξ. Wo konvergiert diese Reihe? Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Konvergenzradius. Ist die resultierende Funktion stetig oder sogar differenzierbar auf dem Konvergenzbereich? Die Potenzreihe konvergiert auf einer Scheibe B R (ξ) = {z C z ξ < R}, wobei R der Konvergenzradius genannt wird. Man kann diesen zum Beispiel mit der Formel von Hadamard berechnen: R = lim sup n n a n. Die resultierende Funktion ist holomorph, insbesondere beliebig oft stetig differenzierbar, auf Ihrem Konvergenzbereich. 3 Seien a < b R und f : (a, b) R stetig. (a) Was ist eine Stammfunktion von f? Eine differenzierbare Funktion F : (a, b) R heißt Stammfunktion von f, falls F (x) = f(x) x (a, b). (Bemerkung: Da f stetig ist, können wir auch F C ( (a, b) ) fordern.) (b) Seien F, F zwei Stammfunktionen von f. In welcher Beziehung stehen F und F zueinander? c R : F = F + c. Probeklausur Punkte pro Aufgabe

3 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 (c) Wie definiert man das Integral d c f(x) dx für a < c < d < b? d c f(s) ds := lim n n k= d c n f( c + k n (d c)). (d) Wie kann man mit Hilfe des Integrals eine Stammfunktion von f definieren? Für jedes t (a, b) definiert F (t) := eine Stammfunktion F : (a, b) R von f. Konvergenz und Stetigkeit t t f(s) ds 4 Entscheiden Sie, welche der unten stehenden Folgen konvergiert und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert: (a) a n := n ( + n ). Wir verwenden die dritte binomische Formel: a n = n ( + n ) = n ( + n ) + n + = + n +. Da die Wurzelfunktion stetig ist und n, gilt nach den Grenzwertsätzen: a n. (b) ( x ) n, (b) b n := x R + x Für x = gilt: ( x ) n = n + x =. Für x ist x > und es gilt: x < + x und damit konvergiert die geometrische Folge ( x + x ) n. 3 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

4 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 (c) Nach den Grenzwertsätzen gilt: (c) c n := 3n5 n n 5 +. c n = 3 n 3 + n 5 n 3. 5 (a) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz: (i) k= (Zusatz: Falls diese Reihe konvergiert, was ist der Grenzwert?), k Geometrische Reihe! k= k = k= k = =. (ii) k= k, Diese Reihe divergiert nach dem Cauchykriterium: N N gilt: (iii) (k!) k= (k)!, N k= N k k = k= N k=n+ k N N =. Wir verwenden das Quotientenkriterium mit a k = (k!) (k)! : a k+ a k = Damit konvergiert die Reihe. (iv) k= k+sin(k) k. (k + ) (k + )(k + ) = ( + k ) ( + k )( + k ) GWS 4 <. Wir verwenden das Minorantenkriterium, um zu zeigen, dass die Reihe divergiert: Die Reihe über k+ k + sin(k) k k k = k +. divergiert und damit auch die gegebene Reihe. (b) Sei (a n ) n N [, ) eine Folge, sodass die Reihe k= a k konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe konvergiert. k= Da die Reihe k= a k konvergiert, ist (a k ) k N eine Nullfolge. Insbesondere gibt es ein K N, sodass a k = a k < k K. Also gilt k K, dass a k < a k. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert also auch k= a k. a k 4 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

5 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 6 Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen: (i) k= k Xk a k := k. Damit gilt: a k+ a k = k k + und damit ist der Konvergenzradius. (ii) Das ist die Reihe der Exponentialfunktion. Sie hat Konvergenzradius : k= X k k! k! = (k + )! k +. (iii) a k X k, a k := k= { ( ) l k!, k = l +, l N., sonst Dies ist die Sinus-Reihe. Man kann den Konvergenzradius durch abchschätzen der Reihe durch die Exponentialreihe und anwenden des Majorantenkriteriums berechnen: k N : a k k!. Das bedeutet, dass der Konvergenzradius der Reihe in jedem Fall größer ist, als der Konvergenzradius der Reihe k= Xk k!, welcher laut (iii) unendlich ist. Damit ist der Konvergenzradius der Sinus-Reihe automatisch auch. 7 Sei f : R R stetig und beschränkt, d.h. a, b R : a f(x) b x R. Zeigen Sie, dass f einen Fixpunkt x R hat. Wir betrachten die Funktion g : [a, b] R, g(x) := f(x) x. Dann gilt nach Voraussetzung: g(a) = f(a) a a a = sowie g(b) = f(b) b b b =. Ist g(a) = a oder g(b) = b, so haben wir den Fixpunkt schon gefunden. Anderenfalls gibt es laut dem Zwischenwertsatz ein c (a, b), sodass g(c) = f(c) = c. 5 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

6 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 8 Seien (X, d), (Y, d ) metrische Räume und f : X Y eine stetige Funktion. Sei K X folgenkompakt. Beweisen Sie, dass dann auch f(k) Y folgenkompakt ist. Sei ( y n = f(x n ) ) n N f(k) eine Folge. Da K folgenkompakt ist, hat die Folge (x n) n N K eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N, x nk k x K. Aufgrund der Stetigkeit gilt dann: y nk =f(x nk ) k f(x) und damit hat (y n ) n N eine (in f(k)) konvergente Teilfolge und f(k) ist folgenkompakt. Differentiation und Integration 9 Zeigen Sie, dass folgende Funktionen differenzierbar sind und berechnen Sie die Ableitungen. a) f : (, ) R, f(x) := x /3 ( x) /3 ( + x) /, f ist differenzierbar nach der Produktregel. Mit deren Hilfe berechnet man die Ableitung: f (x) = + x ( 3 ( x )/3 ( x ) /3 3 x( x) /3 ) +. 3 x ( + x) b) g : R R, g(x) := (x), g ist differenzierbar als Verknüpfung differenzierbarer Funktionen. g(x) = e ln() x. g (x) = ln() x x = ln()x x +. Da x + x R, gilt g (x) = x =. Dies ist der einzige kritische Punkt von g. Für die zweite Ableitung gilt: g (x) = ln() x + + x ln() x + und damit g () = ln() >. Also hat g bei x = ein Minimum und sonst keine Extrema. Da x > x, ist das Minimum global. c) h : R R mit h(x) := { x 3 sin x für x >, für x. Auf R {} folgt die Differenzierbarkeit von h aus Produkt- und Kettenregel und man berechnet: { h 3x sin (x) = x x cos x, x >, x <. In x = berechnen wir den Differenzenquotienten: h(x) h() = h(x) x3 sin x = x sin x x x x x x. Also ist h in x = differenzierbar mit h () =. 6 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

7 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 Wo liegen die Maxima/Minima der Funktion g? Sei I R ein offenes Intervall, n N und für jedes i {,..., n} sei f i C (I) mit f i (x) > x I. Zeigen Sie, dass für die differenzierbare Funktion F : I R, F (x) := ln ( f (x)... f n (x) ) gilt: F = n i= Nach Produkt- und Kettenregel ist F differenzierbar, da alle f i und damit auch deren Produkt positiv sind. Sei g : I R, g(x) := f (x)... f n (x). f i f i. Dann folgt aus der Produktregel (induktiv angewendet): g (x) = n f (x)...f i (x) f i(x)f i+ (x)...f n (x). i= Da ln (x) = x gilt damit: F (x) = g (x) g(x) = n i= f (x)...f i (x) f i (x)f i+(x)...f n (x) f (x)... f n (x) = n i= f i (x) f i (x). (a) Wie lautet der Satz von der Umkehrfunktion einer stetig differenzierbaren Funktion F : U R n, wobei U R n offen? (Dies ist Theorem. im Skript) Sei U R n offen und F : U R n stetig differenzierbar. Ist für x U die Ableitung DF (x ) nicht entartet (d.h. die Jacobimatrix ist invertrierbar bzw. hat vollen Rang), dann gibt es eine offene Menge V R n mit F (x ) V, eine offene Menge U U mit x U sowie eine stetig differenzierbare Abbildung G : V U, sodass F G = id V und G F U = id U, d.h. G ist lokal eine Umkehrfunktion von F. (b) Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Funktion f : R R, f(x, y) = (y 3, x) lokal umkehrbar ist. Wir bestimmen die Jacobimatrix J f (x, y) = ( j f i (x, y) ) i,j : ( ) 3y J f (x, y) =. Für welche (x, y) R hat diese Matrix vollen Rang (= Rang )? Die Antwort ist sehr einfach: Für y. Ist y =, so hat die Matrix lediglich Rang. Also ist f in allen Punkten (x, y) {(x, y) R y } lokal umkehrbar. Geben Sie für nachfolgende stetige Funktionen eine Stammfunktion an. 7 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

8 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 (a) f : R R, f(x) := 8x sin(x ). F (x) := 4 cos x definiert eine Stammfunktion (aufgrund der Kettenregel). (b) g : R R, g(x) := cos(x)e x. Hier müssen wir uns etwas mehr anstrengen. G(x) := cos(t)et dt definiert eine Stammfunktion. Wir wollen dieses Integral mit Hilfe partieller Integration als geschlossenen Term (ohne Integral) schreiben. cos(t) }{{} =:u(t) e t }{{} =:v (t) dt = [cos(t)e t ] x + sin(t)e t dt = [cos(t)e t ] t + [sin(t)e t ] x cos(t)e t dt. Also ist cos(t)e t dt = ( cos(x)e x + sin(x)e x). (c) h : (, ) R, h(x) := x ln(x). Wieder verwenden wir partielle Integration: t ln(t) dt = [ t ln(t)] x t dt = x ln(x) [ 4 t ] x = x ln(x) 4 (x ). 3 Berechnen Sie das Integral sin (x) dx. Wir verwenden wieder partielle Integration als Hilfsmittel: sin (x) dx = [ sin(x) cos(x)] π }{{ } = + cos (x) dx = Also ergibt sich durch Addition des Terms / sin (x) dx: sin (x) dx = dx = π 4. ( sin (x) ) dx. 4 (a) Es sei X R offen und es seien f, g : X R stetig differenzierbare Funktionen. Wie lautet die Kettenregel? Ist x X sodass f(x) X, dann ist g f : X R in x X differenzierbar mit (g f) (x) = g ( f(x) ) f (x). 8 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

9 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 (b) Es sei f : (a, b) R eine stetige Funktion mit Stammfunktion F und φ : (, ) (a, b) eine stetig differenzierbare Funktion. Was ist die Stammfunktion von (f φ) φ? Eine Stammfunktion ist (laut Kettenregel) gegeben durch F φ, wobei F : (a, b) R eine Stammfunktion von f ist. Zeigen Sie: f φ(t) φ (t) dt = φ() φ() f(t) dt. Dies ist nun eine einfache Anwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung: f φ(t) φ (t) dt = [ (F φ)(t) ] = F ( φ() ) F ( φ() ) = φ() φ() f(t) dt. (c) Es sei f : R R stetig. Zeigen Sie: b a f(t + c) dt = b+c a+c f(t) dt. Definiere φ : R R, φ(t) = t + c. Die obige Aussage gilt natürlich ganz analog für andere Integrationsgrenzen als,. Dann gilt: φ(a) = a + c, φ(b) = b + c und damit nach Teilaufgabe (b): b+c a+c f(t) dt = φ(b) φ(a) f(t) dt = b a f ( φ(t) ) dt = b a f(t + c) dt. ( ) u 5 Sei f = : R v R ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Cauchy Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt, d.h. es gilt u = v und u = v. Sei Φ : R R, Φ(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) die Polarkoordinatenabbildung. Zeigen Sie, dass dann folgende Gleichungen gelten: sowie r (u Φ) = (u Φ) = r (v Φ) = r ϕ(v Φ) ϕ (u Φ) = (u Φ) = r (v Φ) = r r (v Φ). Nach der Kettenregel gilt: D(f Φ)(r, ϕ) = Df ( Φ(r, ϕ) ) DΦ(r, ϕ). Für die partiellen Ableitungen von u Φ und v Φ gilt also insbesondere: (u Φ)(r, ϕ) = ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ + ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ, (u Φ)(r, ϕ) = ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) r sin ϕ + ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) r cos ϕ, 9 Probeklausur Punkte pro Aufgabe

10 SS 6 Höhere Mathematik für s Studium der Physik. Juli 6 und (v Φ)(r, ϕ) = ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) cos ϕ + ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) sin ϕ (v Φ)(r, ϕ) = ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) r sin ϕ + ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) r cos ϕ. Also gilt unter Verwendung der Cauchy Riemann DGLen: r (u Φ)(r, ϕ) = r cos ϕ ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) r sin ϕ ( v)(r cos ϕ, r sin ϕ) = (v Φ)(r, ϕ) und r (v Φ)(r, ϕ) = r cos ϕ ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) + r sin ϕ ( u)(r cos ϕ, r sin ϕ) = (u Φ)(r, ϕ). 6 (a) Sei ξ C und seien f(z) = ν= a ν(z ξ) ν, g(z) = ν= b ν(z ξ) ν zwei Potenzreihen, die auf B R (ξ) konvergieren, wobei R >. Zeigen Sie: Gibt es eine Folge (z n ) n N B R (ξ), sodass z n ξ und f(z n ) = g(z n ) n N, dann gilt a ν = b ν ν. Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ξ und positivem Konvergenzradius r entweder Null ist oder auf einer Menge der Form B s (ξ) {ξ}, < s < r, nirgends verschwindet. Wir definieren und betrachten die Potenzreihe h(z) := (b ν a ν )(z ξ) ν. ν= Diese Potenzreihe konvergiert auf B R (ξ). Angenommen, es gibt ein ν N : b ν a ν. Dann gibt es nach der Aussage im Hinweis ein s (, R) sodass h(z) z B s (ξ). Da z n ξ konvergiert, gibt es ein N N, sodass z n ξ < s n N, d.h. z n B s (ξ) n N. Das bedeutet, dass n N gilt: h(z n ) = g(z n ) f(z n ) =, wobei die letzte Gleichheit aufgrund der Voraussetzungen gilt. Wir haben damit die Annahme zum Widerspruch geführt. Dies impliziert die Aussage der Aufgabe. (b) Zeigen Sie, dass es keine analytische Funktion f : C C geben kann, für die gilt: ( ) ( ) n N : f = f n n + = n. Angenommen, es gibt eine solche analytische Funktion. Definiere durch z n = n eine komplexe Nullfolge (z n ) C. Es gilt: f(z n ) = z n = id(z n ) n N. Da die id eine (sehr einfache) Potenzreihe ist, gilt nach der ersten Teilaufgabe f(z) = id(z) = z z B r () für ein geeignetes r >. Dann gilt aber für n großgenug: n = f( ) n+ = n+. Dies ist ein Widerspruch und damit kann es keine solche analytische Funktion f geben. Probeklausur Punkte pro Aufgabe