Vorlesung: Analysis I für Ingenieure

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1 Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen

2 Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der Grenzwert existiert und endlich ist, heißt die Reihe konvergent. Ist dies nicht der Fall, nennt man die Reihe divergent. Ist der Grenzwert oder, dann nennt man die Reihe bestimmt divergent. Die Summen a k heißen Partialsummen der Reihe.

3 Geometrische Reihe Sei x C. Wenn x < dann Im k=0 x k = lim n k=0 x k = ( ) x n+ lim n x = x Konvergenz Wenn x dann 0 Re x k = (bestimmte Divergenz) bestimmte Divergenz k=0 Für alle anderen Werte von x ist die geometrische Reihe k=0 xk (unbestimmt) divergent. Zur Divergenz für x = : n k=0 ( )k = +...+( ) n = { 0 wenn n gerade wenn n ungerade Zur Divergenz für x = : n k=0 k = n = n +. Beweis von (*): ( x)( + x x n ) = + x +... x n + x n (x + x x n + x n+ ) = x n+.

4 Das einfachste (notwendige) Konvergenzkriterium Satz: Wenn a k konvergiert, dann folgt dass lim k a k = 0. Anders formuliert: Wenn die Folge der Summanden a k nicht gegen 0 konvergiert, dann konvergiert die Reihe a k nicht. Beweis: Sei s n = n a k. Angenommen, der Grenzwert s = lim n s n existiert. Sei ǫ > 0. Dann gibt es ein N, so dass s n s < ǫ für alle n N. Also auch s n+ s < ǫ für n N. Mit der Dreicksungleichung folgt für alle n N, a n+ = s n+ s n = (s n+ s) (s n s) s n+ s + s n s < 2ǫ. Dies bedeutet aber, dass die Folge a n gegen 0 konvergiert. Anwendungsbeispiele: Die Reihen k 2, k k +, e kπ konvergieren nicht, da die jeweiligen Folgen der Summanden nicht gegen 0 konvergieren. Warnung: Der obige Satz ist nicht umkehrbar. D.h. aus der Tatsache, dass lim k a k = 0 folgt nicht, dass die Reihe a k konvergiert. Ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe (siehe nächste Seite).

5 Die harmonische Reihe divergiert. k = Beweis: k = + ( ) 4 }{{} >2 4 = 2 ( ) 8 }{{} >4 8 = 2 +(......) +... }{{} >8 6 = 2 > Die Divergenz ist aber sehr langsam. Z.B. ist 0000 k = 9,78, k = 4,39.

6 Die alternierende harmonische Reihe konvergiert. ( ) k+ k = Dies folgt aus dem Leibniz-Kriterium. Siehe nächste Seite. Man kann zeigen, dass ( ) k+ k = ln2.

7 Das Leibniz-Kriterium Satz: Sei a k eine monoton fallende Folge mit lim k a k = 0. Dann konvergiert die Reihe ( ) k+ a k = a a 2 + a 3 a 4 + a 5 a Beweisskizze: Seien s n = n ( )k+ a k die Partialsummen. Da die Folge a k monoton fallend ist, gilt für ungerades n: s n+2 = s n a n+ + a n+2 s n, für gerades n: s n+2 = s n + a n+ a n+2 s n. Die Teilfolge s, s 3, s 5,... ist also monoton fallend. Die Teilfolge s 2, s 4, s 6,... ist monoton wachsend. Beide Teilfolgen laufen aufeinander zu und die Differenzen der Folgenglieder werden beliebig gering, denn für gerades n ist s n+ s n = a n+ 0. Anwendungsbeispiele: Die Reihen konvergieren. ( ) k+ ln k, ( ) ( ) k+ sin k

8 Das Majoranten- und das Minoranten-Kriterium Grundidee: Um die Konvergenz/Divergenz einer gegebene Reihe festzustellen, vergleiche diese mit mit einer anderen Reihe, deren Konvergenz/Divergenz bereits bekannt ist. Sei a k C, b k [0, ). Minoranten-Kriterium für Divergenz: ( ) b k divergent, und b k a k für k k 0 a k divergent Majoranten-Kriterium für Konvergenz: ( ) b k konvergent, und a k b k für k k 0 a k konvergent Anwendungsbeispiel: Es ist k k und k ist divergent. Also ist k divergent.

9 Ein weiteres Beispiel Es ist k=2 k(k ) = ( k=2 k k ) = ( n ) ( n + n ) = n. Also k=2 k(k ) = lim n k=2 ( k(k ) = lim ) n n =. Anwendung des Majorantenkriteriums: Wie eben festgestellt wurde, ist k=2 k(k ) konvergent. Es ist <. Daher ist auch k 2 k(k ) k 2 konvergent. Man kann übrigens zeigen, dass k 2 = π2 6.

10 Beispiel Dezimaldarstellung Für eine beliebige Folge z k {0,,...,9} konvergiert die Reihe z k 0 k. Beweis durch Anwendung des Majorantenkriteriums: Wir haben z k 0 9 k 0 k und (siehe Folie über die geometrische Reihe) 9 0 k = 9 ( ) ( k = ) = 9 9 =. Konvergenz von z k 0 k nach Majorantenkriterium.

11 Das Quotientenkriterium Das Quotientenkriterium bekommt man, indem man im Majoranten- bzw. Minorantenkriterium die geometrische Reihe k=0 qk, q 0, als Vergleichsreihe nimmt. Quotientenkriterium für Konvergenz: Sei 0 < q <. Grund: a k+ a q für k k o k a k konvergent. a k0 + a q a k 0 + q a k0, k0 a k0 +2 q a k 0 +2 q a k0 + q 2 a k0. a k0 + Allgemein: a k0 +j a k0 q j. Also für n = k 0 + l, a k k 0 a k + a k0 Quotientenkriterium für Divergenz: a k+ a für k k o k l j= q j }{{} q q Grund: a k ist dann keine Nullfolge, weil a k+ a k. beschränkt. a k divergent.

12 Limes-Variante des Quotientenkriteriums. lim k a k+ a k < die Reihe > die Reihe a k konvergiert. a k divergiert. Bemerkung: Falls der Grenzwert lim k a k+ a k nicht existiert, oder existiert und = ist, gibt das Quotiententkriterium keine Auskunft über das Konvergenzverhalten der Reihe.

13 Zu den Themen Vergleich von Reihen mit Integralen Absolute Konvergenz Potenzreihen schaue ins Skript.