Kapitel 5 Reihen 196

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1 Kapitel 5 Reihen 96

2 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97

3 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel 4 Definition 5. (Reihen) Ist (a n ) eine Folge von Zahlen, so heißt der formale Ausdruck a l = a 0 + a + a eine Reihe; die einzelnen a l sind die Glieder dieser Reihe. Definition 5.2 (Partialsummen) Die endlichen Summe der Form n s n := a l = a 0 + a +...+a n heißen Partialsummen. 98

4 Definition 5.3 (Konvergenz von Reihen) Konvergiert die Folge der Partialsummen (s n ), so heisst die obige Reihe konvergent und man nennt a l := lim n s n die Summe der Reihe. Divergiert (s n ), so heisst die Reihe divergent. Bemerkung Beachte die Doppelbedeutung des Symbols a l einerseits als Bezeichnung für die Reihe und andererseits für die Summe (falls diese existiert). 99

5 Beispiel 5.4 Wir haben bereits gesehen, dass die geometrische Reihe ql = +q+ q die Partialsummen s n = +q+ q q n = qn+ q hat. Für q < gilt lim n q n = 0. Folglich konvergiert die geometrische Reihe in diesem Fall und hat die Summe q l = q. Im Falle q ist die geometrische Reihe divergent, da sie die nachfolgende Konvergenzbedingung verletzt. 200

6 Satz 5.5 Ist die Reihe a l konvergent, so gilt lim a l= 0. l Diese Bedingung ist für Konvergenz notwendig, aber nicht hinreichend. Damit die Reihe a l konvergiert, müssen die Glieder a l genügend schnell gegen Null konvergieren. Dazu folgendes Beispiel. 20

7 Beispiel 5.6 Wir untersuchen die harmonische Reihe l = Man nennt die Partialsumme H n := n Zahl. Es gilt: Satz 5.7 H =, H 2 =.5, H 3.83, H Die harmonische Reihe ist divergent. Das heisst lim H n=. n l die n-te harmonische 202

8 Bei den bisher betrachteten Reihen waren alle Glieder positiv. Da jede monotone beschränkte Folge konvergiert, erhalten wir allgemein: Satz 5.8 Eine Reihe a l mit reellen nichtnegativen Gliedern a l 0 ist genau dann konvergent, wenn ihre Folge der Partialsummen beschränkt ist. Beispiel 5.9 Betrachte die Reihe Wir zeigen, dass s n := l 2. n l 2 2. Daraus folgt mit dem Satz, dass die Reihe konvergiert. Euler zeigte genauer, dass die Summe dieser Reihe gleich π 2 /6 ist! 203

9 Beispiel 5.0 n Betrachte l (l+). Es gilt l (l+) = l l+, also n n ( l (l+) = l ) n n = l+ l l+ Es folgt: l (l+) = lim = n 2 3 n n+ = n+. n n l (l+) = lim n ( ) =. n+ 204

10 Aus den Rechenregeln für Grenzwerte erhalten wir sofort die folgenden Regeln für das Rechnen mit Reihen. Satz 5. (Rechenregeln für konvergente Reihen) Sind a l und b l konvergente Reihen und λ C, so sind auch die Reihen (a l + b l ) und λa l konvergent und es gilt: (a l + b l ) = λa l a l + b l, = λ a l. 205

11 Kapitel 5.2 Konvergenzkriterien 206

12 Das Cauchy-Kriterium für Reihen ist die Grundlage für die meisten Konvergenzkriterien, die wir im folgenden besprechen werden. Satz 5.2 (Cauchy-Kriterium für Reihen) Eine Reihe a l ist genau dann konvergent, wenn es zu jedem ε>0 eine Schwelle n ε gibt, mit m>n n ε m a l < ε. l=n+ Die sogenannt absolut konvergenten Reihen sind besonders einfach zu analysieren und zu handhaben. Definition 5.3 (absolute Konvergenz von Reihen) Eine Reihe a l heisst absolut konvergent, wenn die zugehörige Betragsreihe a l konvergiert. 207

13 Satz 5.4 Jede absolut konvergente Reihen ist konvergent. Beispiel 5.5 Zum Beispiel ist die geometrische Reihe q l absolut konvergent für q <, andernfalls divergent. Bemerkung 2 Die Umkehrung des Satzes ist falsch: Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, dass die alternierende harmonische Reihe ( ) l+ l = konvergiert. Weil die Reihe der Absolutbeträge divergiert (harmonische Reihe) ist diese alternierende Reihe nicht absolut konvergent. 208

14 Allgemeiner nennt man konvergente, aber nicht absolut konvergente Reihen bedingt konvergent. Die Eigenschaften solcher Reihen werden im nächsten Abschnitt diskutiert. Die absolute Konvergenz einer Reihe lässt sich z.b. nachweisen durch Vergleich mit einer bekannten Reihe. Satz 5.6 (Majorantenkriterium) Gilt a l b l für alle l l 0 und ist die Reihe b l konvergent, so ist die Reihe a l absolut konvergent. Man nennt die Reihe b l eine konvergente Majorante von a l. 209

15 Beispiel 5.7 Die Reihe l+( ) l l (2l ) 3 ist absolut konvergent mit konvergenter Majorante Satz 5.8 (Minorantenkriterium). l 2 Gilt 0 b l a l für alle l l 0 und ist die Reihe b l divergent, so ist auch die Reihe a l divergent. Die Reihe b l heisst divergente Minorante von a l. 20

16 Beispiel 5.9 Die Reihe l+ l divergiert mit divergenter Minorante 2l. Besonders nützlich ist oftmals der Vergleich mit der geometrischen Reihe in Form folgender Kriterien. Satz 5.20 (Quotientenkriterium) Für die Reihe a l existiere der Grenzwert α= lim l a l+ a l. Gilt α<, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen α>, so ist die Reihe divergent. 2

17 Bemerkung 3 a Im Fall lim l+ = l a l kann keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. Beide Reihen l 2 und erfüllen nämlich diese Bedingung, aber die linke Reihe ist konvergent und die rechte divergent. Ein weiteres nützliches Kriterium ist das Wurzelkriterium. Satz 5.2 (Wurzelkriterium) Für die Reihe a l existiere der Grenzwert α := lim l l a l. l Gilt α<, so ist die Reihe absolut konvergent. Gilt hingegen α>, so ist die Reihe divergent. 22

18 Bemerkung 4 Die Beispiele von vorher, und l 2 l, zeigen, dass wiederum im Fall lim l l a l = keine allgemeine Aussage gemacht werden kann. Beispiel 5.22 Die Exponentialreihe konvergiert für jedes x R absolut. Die Reihe lq l ist für q < absolut konvergent. Für q ist die Reihe lq l divergent. x l l! 23

19 Kapitel 5.3 Bedingte Konvergenz 24

20 Definition 5.23 (alternierende Reihen) Eine Reihe ( )l a l, bei der die Glieder a l eine strikt monoton fallende Nullfolge bilden, d.h. mit a l > a l+ > 0 und lim a l = 0, l heisst alternierend. Satz 5.24 (Leibnizsches Konvergenzkriterium) Eine alternierende Reihe ( )l a l ist konvergent. Ausserdem ist der Abbruchfehler stets kleiner gleich dem ersten vernachlässigten Glied, d.h. l=n+ ( )l a l a n+. Beispiel 5.25 Die Reihe ( ) l+ /l ist alternierend und heisst alternierende harmonische Reihe. Sie konvergiert nach Satz

21 Bemerkung 5 Beim Rechnen mit bedingt konvergenten Reihen ist Vorsicht geboten, wie folgendes Beispiel zeigt. s = s 2 = 2 4 s+ 2 s = 3s 2 = Die untenstehende Reihe besteht aus den gleichen Gliedern, wie die alternierende harmonische, nur erscheinen die Glieder in anderer Reihenfolge. Offenbar hat sich der Wert dieser Reihe durch Umordnen der Glieder um den Faktor 3 2 vergrössert! 26

22 Ohne Beweis geben bemerken wir noch die folgenden Resultate: Satz 5.26 (Riemannscher Umordnungssatz) Durch Umordnen der Glieder kann jede reelle, bedingt konvergente Reihe jede reelle Summe annehmen oder sogar divergent gemacht werden. Zum Glück ist dies nicht der Fall bei absolut konvergenten Reihen, die sich in vielerlei Hinsicht ähnlich wie endliche Summen verhalten. Satz 5.27 (Umordnung absolut konvergenter Reihen) Es sei a l eine absolut konvergente Reihe mit Summe s. Dann können die Summanden der Reihe beliebig umgeordnet werden ohne dass sich sich das Konvergenzverhalten der Reihe ändert. 27