Spickzettel Mathe C1

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1 Spickzettel Mathe C1 1 Mengenlehre 1.1 Potenzmenge Die Potenzmenge P (Ω) einer Menge Ω ist die Menge aller Teilmengen von Ω. Dabei gilt: P (Ω) := {A A Ω} card P (Ω) = 2 card Ω P (Ω) 1.2 Mengenalgebra Eine Menge A P (Ω) heißt Mengenalgebra über Ω genau dann, wenn: Ω A A A A C A A, B A A B A 1.3 Begriffe Häufungspunkte Ein Punkt x 0 ist ein Häufungspunkt einer Menge M, wenn in jeder Kugel um x 0 unendlich viele Elemente aus M liegen. Randpunkte Ein Punkt x 0 ist ein Randpunkt einer Menge M, wenn in jeder Kugel um x 0 mindestens ein Element aus M und ein Element aus R\M liegt. Innere Punkte Ein Punkt x 0 heißt innerer Punkt einer Menge M, wenn eine Kugel um x 0 existiert, die Teilmenge von M ist. offen Eine Menge heißt offen, wenn alle ihre Elemente innere Punkte sind. abgeschlossen Eine Menge M heißt abgeschlossen, wenn alle ihre Häufungspunkte Elemente von M sind. 28. Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 1

2 1.4 Relationen Eigenschaften von Relationen: reflexiv Die Diagonale {(x, x) x M} ist enthalten: xrx symmetrisch xry yrx antisymmetrisch xry yrx x = y transitiv xry yrz xrz alternativ [(xry) (yrx)] x, y M Eine Relation heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Eine Relation heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Eine alternative Ordnungsrelation heißt vollständig. 1.5 Abbildungen & Funktionen Eine Korrespondez f M N heißt genau dann Abbildung bzw. Funktion in M nach N, wenn (x, y), (x, z) f x M, y, z N y = z d.h. x M! y : (x, y) f Begriffe f (A) := {y N : x A f(x) = y} mit A M heißt Bild von A unter f f 1 (B) := {x M : f(x) B} mit B N heißt Urbild von B unter f f heißt genau dann surjektiv, wenn f(m) = N, d.h. das Bild von M unter f ist identisch mit dem Wertebereich N. f heißt genau dann injektiv, wenn x 1, x 2 M gilt: f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 d.h. card f 1 ({y}) 1 mit y N f heißt genau dann bijektiv, wenn f sowohl injektiv, als auch surjektiv ist. f 1 := {(y, x) N M : y = f(x)} heißt Umkehrabbildung von f, falls f bijektiv ist. 2 Algebra 2.1 Vollständige Induktion 1. Nachweis der Behauptung für n = 1 (bzw. n = 0 z.b. bei n N 0 ) 2. Annahme der Behauptung für n (Induktionsvoraussetzung) 3. Nachweis der Behauptung für n = n + 1 unter Bezug auf die Induktionsvoraussetzung 28. Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 2

3 2.2 Dreiecksungleichung Für x, y R gilt: x + y x + y x y x y 2.3 Folgen & Reihen Beschränktheit & Monotonie Sei (a n ) eine Folge, dann heißt (a n ) 1. nach oben (bzw. unten) beschränkt, falls k > 0 : a n k (bzw. a n k) n n 0 2. monoton steigend (bzw. fallend), falls a n a n+1 (bzw. a n a n+1 ) n N. Gelten die Vergleiche auch ohne Gleichheit, heißt die Folge streng monoton steigend (bzw. fallend). Jede nach oben (bzw. unten) beschränkte und monoton steigende (bzw. fallende) Folge ist konvergent Konvergenz von Folgen Vergleichskriterium Sind (a n ), (b n ) konv. Folgen mit a n b n n n 0, dann gilt auch lim Auch für a n < b n n n 0 lässt sich nur auf lim n a n lim n b n schließen. ɛ-kriterium Ist (a n ) eine Folge, so heißt sie genau dann konvergent gegen a, wenn ɛ > 0 N = N(ɛ) : a n a < ɛ n N Häufungspunkte & Teilfolgen n a n lim n b n Ein Punkt h R heißt genau dann Häufungspunkt der Folge (a n ), wenn h a n < ɛ ɛ > 0 für unendlich viele Folgenglieder a n Ein Punkt ist immer genau dann ein Häufungspunkt einer Folge, wenn es eine gegen den Häufungspunkt konvergente Teilfolge (a nk ) gibt. Hat eine Folge genau einen Häufungspunkt, so ist sie konvergent. lim sup a n = lim s n = lim sup{a n, a n+1,...} ist der größte Häufungspunkt von (a n ) n n n lim inf a n = lim i n = lim inf{a n+1, a n,...} ist der kleinste Häufungspunkt von (a n ) n n n Cauchy-Folgen Eine Folge (a n ) heißt genau dann Cauchyfolge, wenn ɛ > 0 N N : a n a m < ɛ n, m N Jede Cauchyfolge ist beschränkt. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Jede Cauchyfolge reeller Zahlen ist konvergent. Eine Reihe ist die Summe aller Glieder einer Folge 28. Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 3

4 2.3.5 Besondere Reihen harmonische Reihe a n = 1 n 1 n = Konvergenz von Reihen Die Reihe a n ist genau dann konvergent, wenn n+j ɛ > 0 N N : a i < ɛ n N, j N 0 i=n+1 Notwendig für die Konvergenz der Reihe ist, dass ihre Folge gegen 0 konvergiert. Konvergiert die Reihe i=1 a i (absolute Konvergenz), so konvergiert auch i=1 a i Konvergenzkriterien von Reihen Leibniz-Kriterium Ist (a n ) eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen, dann konvergiert die Reihe falls lim n a n = 0 ( 1) n a n, Majorantenkriterium Eine Reihe a n ist absolut konvergent, falls eine andere konvergente Reihe b n mit nichtnegativen reellen Gliedern existiert und a n b n n n 0 Minorantenkriterium Eine Reihe a n mit nichtnegativen reellen Gliedern ist divergent, falls eine andere divergente Reihe bn mit nichtnegativen reellen Gliedern existiert und a n b n n n 0 Wurzelkriterium Ist s = lim n sup n a n < 1, so konvergiert die Reihe a n absolut. Für s > 1 divergiert die Reihe. Für s = 1 ist keine Aussage möglich. Quotientenkriterium Sei (a n ) R, a n 0 n n 0. Ist s = lim sup a n+1 n a n < 1 konvergiert die Reihe a n absolut. N n 0 : a n+1 a n 1 n N divergiert die Reihe. 2.4 Potenzreihen Potenzreihen sind unendliche Reihen der Form a n (x x 0 ) n. x 0 heißt Entwicklungsstelle der Potenzreihe. Es gibt drei mögliche Fälle hinsichtlich der Konvergenz: nur für x = x Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 4

5 auf einer Kreisscheibe (bzw. einem Intervall im reellen Bereich) mit Mittelpunkt x 0, dem sog. Konvergenzkreis auf ganz R bzw. C. Konvergenzradius von Potenzreihen 1 r = n lim sup an n oder einfacher, falls der Grenzwert existiert: r = lim a n n a n+1 Der Konvergenzradius trifft folgende Aussage zur Reihe: x x 0 < r Die Potenzreihe ist absolut konvergent. x x 0 > r Die Potenzreihe ist divergent. x x 0 = r Keine allgemeine Aussage, Untersuchung für jedes x separat. Multiplikation von Potenzreihen ( ) ( ) a n (x x 0 ) n b n (x x 0 ) n = ( n ) a i b n i (x x 0 ) n vgl. Cauchy-Produkt i= Die geometrische Reihe n Eine Summe der Form a 0 q k bezeichnet man als geometrische Reihe. Deren Partialsummen lassen sich auch direkt berechnen: k=0 q n+1 1 S n = a 0 q 1 und für q = 1 S n = a 0 (n + 1) = a 0 1 q n+1 1 q für q 1 Die unendliche geometrische Reihe konvergiert, wenn q < 1 gegen a 0 q k = a 0 1 q k=0 3 Komplexe Zahlen Verknüpfungen in C Addition (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) Multiplikation (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 28. Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 5

6 Wurzeln Die n-te Wurzel einer komplexen Zahl ist definiert als: n ( z = n r exp i ϕ + 2kπ ) mit k = 0, 1,..., n 1 n Umrechnungen z = a + ib = r cos ϕ + i r sin ϕ = r e ϕi z = a + ib = z exp(iϕ) = a 2 + b 2 exp 4 Lineare Algebra ( ( )) b i arctan a Unterraum Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U V heißt Unterraum von V, falls gilt: λ 1, λ 2 R, x 1, x 2 U λ 1 x 1 + λ 2 x 2 U d.h. wenn jede Linearkombination zweier Vektoren aus U wieder einen Vektor in U ergibt. Seien U 1, U 2 V zwei Unterräume von V. Dann ist auch U 1 U 2 Unterraum von V. Lineare Hülle L spanm := λ j x j : λ j K, x j M, j = 1,..., L, L N j=1 heißt Lineare Hülle von M, also die Menge aller endlichen Linearkombinationen. Summe zweier Unterräume Für zwei Unterräume U 1, U 2 V heißt U 1 + U 2 := {u 1 + u 2 : u i U i (i = 1, 2)} Sei V ein K-Vektorraum. Die Vektoren u 1,..., u k V (k N) heißen linear un- Lineare Unabhängigkeit abhängig, falls gilt: k λ j u j = 0 λ 1 =... = λ k = 0 j=1 Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante ihrer Matrix nicht null ist. 28. Januar 2009 blatt13.tex Revision 42 6