1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen

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1 1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09 und dient als Grundlage für die Ferienkurse am 31. Januar und 7. Februar Reelle Zahlen Jede Teilmenge von R besitzt eine kleinste obere Schranke. Jede endliche Teilmenge von R besitzt eine kleinste obere Schranke. Eine Menge kann mehrere untere Schranken haben. Die leere Menge ist beschränkt. In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele rationale Zahlen. In jedem offenen Intervall liegen unendlich viele irrationale Zahlen. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen gibt es eine irrationale Zahl. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen stets -viele irrationale Zahlen. Es gibt irrationale Zahlen a, b derart, dass a b rational ist. Aus a, b Q folgt stets a b Q. 3 Konvergenz von Folgen Jede konvergente Folge hat einen Grenzwert. Der Grenzwert einer Folge kann sich ändern, wenn man endlich viele Folgenglieder abändert. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Das N in der Definition der Konvergenz darf von ε abhängen. 1

2 Es gibt Cauchy-Folgen, die nicht konvergent sind. Es gibt Cauchy-Folgen in R, die nicht konvergent sind. Beschränkte Folgen in Q besitzen in Q konvergente Teilfolgen. Eine Folge ist konvergent genau dann, wenn jede Ihrer Teilfolgen gegen denselben Wert konvergiert. Es gibt Folgen, die unendlich viele Häufungspunkte besitzen. Jede Folge hat einen Häufungspunkt. Jede konvergente Folge hat höchstens einen Häufungspunkt. Jede konvergente Folge hat mindestens einen Häufungspunkt. Seien (a n ) n, (b n ) n zwei Folgen reeller Zahlen. Dann gilt lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n. n 4 Reihen Der Wert einer Reihe ändert sich nicht, wenn man endlich viele Summanden abändert. Wenn a n konvergiert, dann ist (a n ) n eine Cauchy-Folge. Wenn (a n ) n eine Cauchy-Folge ist, dann konvergiert a n. Wenn (a n ) n eine Nullfolge ist, dann konvergiert a n. Es gibt Reihen, die absolut konvergent, aber nicht konvergent sind. Es gibt Reihen, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind. Mit dem Quotientenkriterium kann man beweisen, dass 1 n 2 konvergent ist. 2

3 5 Stetigkeit Das δ in der Definition der Stetigkeit darf von x abhängen. Die Funktion f : R R, f( := 0 für x Q und f( := 1 sonst, ist in keinem Punkt stetig. Es gibt eine Funktion f : R R, die in allen x R \ Q stetig und in allen x Q nicht stetig ist. Die Funktion f : R R, f(0) := 0 und f( := sin ( 1 ist stetig. Die Funktion f : R R, f(0) := 0 und f( := x sin ( 1 ist stetig. Wenn es zwei Folgen (a n ) n und (b n ) n gibt mit lim a n = lim b n und lim n) lim f(b n ), dann ist f nicht stetig. Wenn es zwei Folgen (a n ) n und (b n ) n gibt mit lim a n = lim b n und lim n) = lim f(b n ), dann ist f nicht stetig. Ist f stetig und g nicht stetig, dann ist f g nicht stetig. Der Zwischenwertsatz gilt auch für Funktionen f : Q Q. Jede stetige Funktion f : [0, 1] R, die mindestens eine Nullstelle hat, besitzt eine kleinste Nullstelle. Unbeschränkte Funktionen sind nicht gleichmäßig stetig. Beschränkte stetige Funktionen nehmen ein Maximum und Minimum an. Jede stetige monoton wachsende Funktion besitzt eine Umkehrfunktion. Es gibt eine stetige Funktion f, die in jedem Intervall [ε, 1] gleichmäßig stetig ist, und in [0, 1] stetig aber nicht gleichmäßig stetig ist. Sei f : R R eine Funktion derart, dass ein c > 0 existiert mit f(x 1 ) f(x 2 ) c x 1 x 2 für alle x 1, x 2 R, dann ist f gleichmäßig stetig. 3

4 6 Differentiation Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Jede streng monotone differenzierbare Funktion besitzt eine differenzierbare Umkehrfunktion. Wenn f : R R streng monoton wachsend und differenzierbar ist, dann gilt f ( > 0 für alle x R. Sei I ein Intervall und f : I R differenzierbar. Wenn f an der Stelle x ein Minimum annimmt, dann gilt f ( = 0. Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := sin ( 1 Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := x sin ( 1 Die Funktion f : R R, f(0) := 0, f( := x 2 sin ( 1 Jede differenzierbare Funktion besitzt eine Taylor-Reihe. ja nein 7 Integralrechnung Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion. Es gibt eine Funktion, die nur eine einzige Stammfunktion besitzt. Jede Polynomfunktion besitzt eine Stammfunktion und diese ist wiederum ein Polynom. Jede rationale Funktion besitzt eine Stammfunktion und diese ist wiederum eine rationale Funktion. Die Funktion f( := 1 besitzt in (, 0) keine Stammfunktion, x da der Logarithmus für negative x nicht definiert ist. 4

5 8 Potenzreihen und komplexe Zahlen Jede in R konvergente Folge konvergiert auch in C. Es gibt kein z C mit exp(z) = 0. Jede beschränkte Teilmenge von C besitzt ein Supremum. Für alle z C gilt z z R. Es gibt eine Potenzreihe mit Konvergenzradius 0. Die Reihe Die Reihe Die Reihe konvergiert für alle z C mit z < 1. konvergiert genau dann, wenn z < 1 ist. konvergiert für alle z C mit z 1. Die Taylorpolynome an der Stelle x = 0 einer Potenzreihe sind die Partialsummen dieser Reihe. 9 Differentialgleichungen Die Differentialgleichung y = x(y 2 + 1) besitzt genau eine Lösung mit dem Anfangswert y(0) = 2. Die einzige Lösung von y = y mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0, y (0) = 1 lautet y( = sin x. 5