Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik

Transkript

1 Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Stefan Etschberger Hochschule Augsburg

2 Vorlesungsbegleitende Unterlagen Arbeitsmaterial: Foliensatz Aufgabenskript Mitschrift auf Wunsch Bücher: Luderer, B. (2003): Einstieg in die Wirtschaftsmathematik, Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 5. Auflage. Opitz, O. (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg, München, 9. Auflage. Schäfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.; Otto, C. (2009): Mathematik-Vorkurs: Übungs- und Arbeitsbuch für Studienanfänger, Studium, Teubner, Wiesbaden, 6. Auflage. Sydsaeter, K.; Hammond, P. (2008): Essential Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, 3. Auflage. Teschl, G.; Teschl, S. (2007a): Mathematik für Informatiker, Band 1, Springer, Berlin, Heidelberg. Teschl, G.; Teschl, S. (2007b): Mathematik für Informatiker, Band 2, Springer, Berlin, Heidelberg.

3 Prüfung Klausur: Klausur am Ende des Semesters Bearbeitungszeit: 60 Minuten Erreichbare Punktzahl: 50 Hilfsmittel: Schreibzeug, Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann, ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mit handgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke),

4 Veranstaltungskonzept Mitschrift! Folien sind nur ergänzendes Material zur Mitschrift Aufteilung in Vorlesung und Rechnen von Beispielen und Übungsaufgaben Viele Aufgaben als Hausaufgabe, Besprechung in Übungsgruppen (Frau Dr. Zerbe) Ohne (selbständiges) Rechnen aller (!) Übungsaufgaben ist Nutzen der Veranstaltung sehr gering Fragenstellen ist jederzeit erwünscht Bei Fragen oder Problemen: Informations-Backbone für Unterlagen und mehr: Homepage

5 Zitate Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben. Archimedes Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet. - M. W. Lomonossow Physics is the study of the world, while mathematics is the study of all possible worlds. Clifford Taubes In mathematics you don t understand things. You just get used to them. John von Neumann, Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk. Leopold Kronecker Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat. Jules Verne Es ist schon alles gesagt worden, aber noch nicht von allen. Karl Valentin

6 Probleme,......die Sie nach dem Kurs lösen können: Sich widersprechende Politiker entlarven, Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen, die Käuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten im Zeitablauf analysieren, die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisänderungen bestimmen Ihre Rente ausrechnen Große Kisten in kleine Ecken quetschen Möglichst viel Gewinn bei möglichst wenig Ressourcenverbrauch machen

7 Schon bekannt? Begriff Nie gehört Gehört Kann ich erklären Nenner Reelle Zahlen Assoziativgesetz Logarithmus Diskriminante Fundamentalsatz der Algebra Konjunktion Kartesisches Produkt Geometrische Reihe Regel von Cramer Simplex

8 Mathematik 2: Gliederung 1 Folgen und Reihen 2 Komplexe Zahlen 3 Reelle Funktionen 4 Differenzieren 1 5 Differenzieren 2 6 Integration 7 Zinsen 8 Renten und Tilgung 1 Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen 9 Kursrechnung 10 Lineare Algebra 11 Lineare Programme

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13 Folgen und Reihen Mathematik 2 Stefan Etschberger Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.b. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.b. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wesentliche Lernziele: Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 9

14 Definition und Eigenschaften Mathematik 2 Stefan Etschberger Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... oder a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n) n N0 oder (a n) Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist Leonardo von Pisa (ca ) 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (a n) : a n+1 a n = d n N 0 mit d R a Geometrische Folge: (a n) : n+1 = q n N a n 0 mit q R 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 10

15 Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Mathematik 2 Stefan Etschberger Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 11

16 Konvergenz und Grenzwert Mathematik 2 Stefan Etschberger Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ɛ > 0 n(ɛ) mit a n a < ɛ n > n(ɛ) Schreibweise für Grenzwert: lim a n = a n Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 12

17 Beispiel zur Definition des Grenzwerts Mathematik 2 Stefan Etschberger Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim a n = a = 1 n Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ɛ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ɛ 1 ɛ < n ɛ 1 < n Also: Für jedes ɛ findet man ein n(ɛ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ɛ = 0,01 n > 1 ɛ 1 = 1 0,01 1 = = Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 13

18 Rechenregeln für Grenzwerte Mathematik 2 Stefan Etschberger Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n) a c (a n > 0, a > 0, c R) (c an ) c a (c > 0) 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 14

19 Definition der Reihe Mathematik 2 Stefan Etschberger Gegeben: (a n) unendliche Folge in R Dann heißt (s n) mit Beispiel: eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme s n = a 0 + a a n = Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen n a i n N 0 i=0 (a n) geometrische Folge (s n) geometrische Reihe n a n+1 s n = a i ; mit = q a i=0 n Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 15

20 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Mathematik 2 Stefan Etschberger Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 16

21 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Mathematik 2 Stefan Etschberger Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 Das bedeutet: 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 16

22 Konvergenzkriterien für Reihen Mathematik 2 Stefan Etschberger Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium n a i i=1 Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: Quotientenkriterium lim k lim k a i ist keine Nullfolge s n divergent a k+1 a k a k+1 a k < 1 sn konvergent > 1 sn divergent Bemerkung: Für lim a k+1 k a = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich k Spezialfall geometrische Reihe: a k+1 = q lim a k k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 1. Folgen und Reihen 1.1. Eigenschaften und Beispiele 1.2. Konvergenz und Grenzwert 1.3. Reihen 2. Komplexe Zahlen 3. Reelle Funktionen 4. Differenzieren 1 5. Differenzieren 2 6. Integration 7. Zinsen 8. Renten und Tilgung 9. Kursrechnung 10. Lineare Algebra 11. Lineare Programme 17