Wirtschafts- und Finanzmathematik

Transkript

1 Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2017/ Einführung, R, Grundlagen Grundlagen, Aussagen Aussagen Mengen, Folgen, Reihen Allerheiligen Reelle Funktionen einer Variablen, Stetigkeit Differentialrechnung Differentialrechnung Integration Finanzmathematik Matrizen, Vektoren, Lineare Gleichungssysteme Determinanten, Eigenwerte Weihnachten Weihnachten Puffer, Wiederholung Beginn der Prüfungszeit Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA

2 Organisation Termine, Personen, Räume

3 Eigenschaften von Funktionen Eine Funktion f : D W heißt: surjektiv, wenn zu jedem y W ein x D mit f(x) = y existiert, injektiv, wenn für alle x, x D gilt x x f(x) f( x), bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist. Beispiel Gegeben: A = {a 1, a 2, a 3 }, B = {b 1, b 2, b 3, b 4 } Funktionen f 1, f 2 : Funktionen f 3, f 4 : Beziehungen 3.3. Relationen a A a 1 a 2 a 3 f 1 (a) a 2 a 3 a 1 f 2 (a) b 1 b 2 b 3 b B b 1 b 2 b 3 b 4 f 3 (b) a 1 a 1 a 2 a 3 f 4 (b) b 3 b 4 b 1 b 2 f 1 : A A f 2 : A B f 3 : B A f 4 : B B a 1 a 1 a 1 b 1 b 1 a 1 b 1 b 1 a 2 a 2 a 2 b 2 b 2 a 2 b 2 b 2 b 3 b 3 b 3 b 3 a 3 a 3 a 3 b 4 b 4 a 3 b 4 b 4 Die Funktionen f 1, f 4 sind bijektiv, f 2 ist injektiv, f 3 ist surjektiv. 69

4 Komposition von Funktionen Komposition von Funktionen Voraussetzung: Funktionen f : D f W f und g : D g W g und f(d f ) D g Zusammengesetzte Funktion: g f : D f W f : Zuordnung des Werts (g f)(x) = g (f(x)) für alle x D f Beziehungen 3.3. Relationen A f B f(a) C g D Beispiel (Folie 69): Aus f 1, f 4 bijektiv, f 2 injektiv und f 3 surjektiv folgt f 1 f 1 : A A, f 4 f 4 : B B f 2 f 1 : A B, f 4 f 2 : A B f 1 f 3 : B A, f 3 f 4 : B A bijektiv injektiv surjektiv g f Komposition von f und g f 2 f 3 : B B, f 3 f 2 : A A weder surjektiv, noch injektiv Wegen A B sind alle weiteren Kompositionen f 1 f 2, f 1 f 4, f 2 f 2, f 2 f 4, f 3 f 1, f 3 f 3, f 4 f 1, f 4 f 3 nicht möglich. 70

5 Inverse Funktion Voraussetzung: bijektive Funktion f : D W mit D, W R Inverse Funktion oder Umkehrabbildung: f 1 : W D, y f 1 (y), wobei y für alle x D mit y = f(x) zugeordnet wird Für (bijektive) Kompositionen gilt: (g f) 1 = f 1 g 1 x A f f 1 y B Umkehrabbildung f 1 von f : A B Ferner existieren die Kompositionen f 1 f 2 und (f 2 f 1 ) sowie (f 1 f 2 ) 1 = f 1 2 f 1 1 und (f 2 f 1 ) 1 = f 1 1 f 1 2 mit b B b 1 b 2 b 3 b 4 ( ) f1 f 2 (b) b3 b 1 b 2 b Beziehungen 3.3. Relationen Beispiel (Folie 69): Wir erhalten die inversen Abbildungen f 1 1, f 2 1 : B B mit den Wertetabellen: ( f1 f 2 ) 1(b) b2 b 3 b 1 b 4 (f2 f 1 ) (b) b4 b 2 b 1 b 3 ( f2 f 1 ) 1(b) b3 b 2 b 4 b 1 b B b 1 b 2 b 3 b 4 f 1 1 (b) b 3 b 4 b 1 b 2 f 1 2 (b) b 1 b 4 b 2 b 3 71

6 Grundlagentest Mengen!

7 Testfrage: Mengen 1 Teilmengen Gegeben sind die Mengen X = { 1, 0, 1, 2}, Y 1 = {}, Y 2 = {0, 1}, Y 3 = {1, 0, 2} Welche Mengen sind Teilmengen von X? A Y 2 { 2} B Y 2 und Y 3 C {2} und Y 1 D Jedes Y i mit i = 1, 2, 3 E Ich habe kein oder ein anderes Ergebnis. Richtig: C

8 Testfrage: Mengen 2 Gegeben sind folgende Mengen: A = {2, 3, 4}, B = {4, 5, 6}, C = {4, 2} und D = {}. Welche Aussagen sind jeweils alle wahr? A 4 A, D C, A B = {4} B {4} A, D C, A B = 4 C 4 A, C D, A B = {4} D {4} A, D C, A B = {4} E Ich kann das nicht oder in jeder Variante stimmt was nicht. Richtig: A

9 Testfrage: Mengen 3 Wie viele Teilmengen der Buchstabenmenge M = {x, p, q, y} mit höchstens zwei Elementen gibt es? A 4 B 8 C 11 D 16 E was anderes Richtig: C

10 Testauswertung: Ihr Ergebnis: 3 Antworten richtig: Mengenmäßig ist alles in Ordnung! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! 1 Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie die Aufgaben aus dem Buch! Übungsmaterial S. 64ff., Aufgaben aus

11 Gliederung 1 Grundlegende Bausteine 2 Aussagenlogik 3 Mengen 4 Folgen und Reihen 5 Reelle Funktionen 6 Differentialrechnung 7 Integration 8 Finanzmathematik 9 Lineare Algebra 4 Folgen und Reihen Eigenschaften und Beispiele Konvergenz und Grenzwert Reihen Opitz u. a., (2017, Kapitel 8)

12 Folgen und Reihen Warum beschäftigen wir uns mit Folgen und Reihen? Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierung diskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.b. von Aktienkursen, Absatzmengen) Grundlage der Finanzmathematik (z.b. Zinseszinsrechnung, Tilgungsrechnung) wesentlich zum Verständnis der Konzepte der Stetigkeit und Differenzierbarkeit Wesentliche Lernziele: Verständnis der Begriffe Folgen und Reihen Fähigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren Kennenlernen typischer, insbesondere der Grenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen Fähigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen und nachzuweisen 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 78

13 Definition und Eigenschaften Definition Eine Folge ist eine Abbildung a : N 0 R Schreibweise für Folgenglieder: a(0), a(1),... oder a 0, a 1,... Schreibweise für Folge: (a n ) n N0 oder (a n ) Eigenschaften: Eine Folge heißt endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgenglieder endlich (unendlich) ist gesetzmäßig gebildet, falls Folgenglieder einem Bildungsgesetz folgen, zum Beispiel: a n = 1 n+1 Leonardo von Pisa (ca ) 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frühere Werte nötig sind Beispiel: a 0 = 0; a 1 = 1 und a n = a n 1 + a n 2 für n > 1 (Fibonacci-Folge) Spezielle Folgen Arithmetische Folge: (a n ) : a n+1 a n = d n N 0 mit d R Geometrische Folge: (a n ) : a n+1 a n = q n N 0 mit q R 79

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15 Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel Sissa ibn Dahir, der Erfinder des Schachspieles, darf sich vom indischen König Shihram eine Belohnung wünschen. Sein Wunsch: So viele Weizenkörner, wie man auf ein Schachbrett legen kann, wenn 1. Feld : a 0 = 1 Korn 2. Feld : a 1 = 2 Körner 3. Feld : a 2 = 4 Körner 4. Feld : a 3 = 8 Körner 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen. n. Feld : a n 1 = 2 a n 2 Körner 80

16 Konvergenz und Grenzwert Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einen kleinen Bereich um einen festen Wert? Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern? Definition: a R heißt Grenzwert oder Limes von (a n ) ϵ > 0 n(ϵ) mit a n a < ϵ n > n(ϵ) Schreibweise für Grenzwert: lim a n = a n Existiert dieser Grenzwert, heißt die Folge konvergent Ist der Grenzwert a = 0, heißt die Folge Nullfolge Existiert kein Grenzwert, heißt die Folge divergent 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 81

17 Beispiel zur Definition des Grenzwerts Gegeben: a n = n n+1 Vermutung: lim n a n = a = 1 Beweis: Wenn a = 1, dann folgt a n a = n n+1 1 < ϵ n n 1 n+1 = 1 n+1 < ϵ 1 ϵ < n a n n(ϵ) Folge (a n ) mit n(ϵ) = 9 für ϵ = 0.1. ϵ ϵ n 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 1 ϵ 1 < n Also: Für jedes ϵ findet man ein n(ϵ), so dass die Grenzwertbedingung stimmt Zum Beispiel: Wähle ϵ = 0.1 n > 1 ϵ 1 = = 10 1 = 9 82

18 Rechenregeln für Grenzwerte Gegeben: lim (a n) = a und lim (b n) = b n n kurz: (a n ) a und (b n ) b Dann gilt: 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen (a n + b n ) a + b (a n b n ) a b (a n b n ) a b ( an b n ) a b (b 0) (a c n ) ac (a n > 0, a > 0, c R) (c a n ) c a (c > 0) 83

19 n an sn

20 Definition der Reihe Gegeben: (a n ) unendliche Folge in R Dann heißt (s n ) mit s n = a 0 + a a n = n a i n N 0 i=0 eine unendliche Reihe. s n heißt n-te Partialsumme Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen Beispiel: (a n ) geometrische Folge (s n ) geometrische Reihe n a s n = a i ; mit n+1 = q a n i=0 Offensichtlich gilt: a n = a n 1 q = a n 2 q 2 =... = a 0 q n 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen s n = n a 0 q i = a 0 (1 + q + q q n 1 q n+1 ) = a 0 i=0 1 q 84

21 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 85

22 Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel Summe aller Körner auf Schachbrett: s n = 63 i=0 Das bedeutet: 1 q 64 a i = a 0 1 q = , Körner = 1 g Weizen 1, g 1, kg 1, t = 180 Mrd. t 1 Güterwagon = 50 t Weizen 3,6 Mrd. Güterwagons 36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen 100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond 85

23 Konvergenzkriterien für Reihen n Gegeben: a i Folge, s n = Divergenzkriterium i=1 a i Ist s n konvergent a i ist Nullfolge Also äquivalent dazu: a i ist keine Nullfolge s n divergent Quotientenkriterium lim k lim k a k+1 a k a k+1 a k < 1 s n konvergent > 1 s n divergent 4.1. Eigenschaften und Beispiele 4.2. Konvergenz und Grenzwert 4.3. Reihen Bemerkung: Für lim a k+1 k a k Spezialfall geometrische Reihe: = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage möglich a k+1 a k = q lim k a k+1 a k { q < 1 = q sn konvergent q 1 s n divergent 86