Folgen und Reihen. Mathematik-Repetitorium
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- Theodor Böhme
- vor 6 Jahren
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1 Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion 1.2 Zahlenfolgen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen 1.4 Konvergenzkriterien 1.5 Unendliche Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen 1.7 Rechnen mit konvergenten Reihen Folgen und Reihen 1
2 1. Folgen und Reihen Exkurs (1) Rechnen mit Beträgen Dreiecksungleichung Folgen und Reihen 2
3 1. Folgen und Reihen Exkurs (2) Rechnen mit Ungleichungen Folgen und Reihen 3
4 1. Folgen und Reihen 1.1 Vollständige Induktion Problem: Gilt eine Aussage für alle? Methode: 1) Induktionsbeginn: Man zeigt, dass gilt. ( : Startwert) 2) Induktionsannahme: Man nimmt an, dass gilt. 3) Induktionsschluss: Man zeigt, dass gilt. Folgen und Reihen 4
5 1. Folgen und Reihen Vollständige Induktion Beispiel 1.1: zu zeigen: I.-Beginn: I.-Schluss: zu zeigen: I.-Beginn: I.-Schluss: Folgen und Reihen 5
6 1. Folgen und Reihen 1.2 Zahlenfolgen Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Zuordnung, die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zuordnet. explizit, z.b.: implizit, z.b.: erstes Glied allgemeines Glied Index monoton wachsend: monoton fallend: beschränkt: Folgen und Reihen 6
7 1. Folgen und Reihen Zahlenfolgen Beispiel 1.2: A) B) C) arithmetisch: D) geometrisch: E) (Fibonacci) Folgen und Reihen 7
8 1. Folgen und Reihen Zahlenfolgen Begriff Konvergenz Definition 1.1: beschränkt monoton wachsend Bezeichnung: x Grenzwert, Limes; Konvergenz ist unabhängig von den ersten Gliedern! divergent Nullfolge Folgen und Reihen 8
9 1. Folgen und Reihen Begriff Konvergenz Beispiel 1.3: A) beschränkt monoton fallend Grenzwert: -2 B) (geometrisch) Nullfolge für konvergiert 0 Folgen und Reihen 9
10 1. Folgen und Reihen 1.3 Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen Grenzwert ist stets eindeutig konvergent beschränkt jede unendliche Teilfolge konvergiert zum gleichen Grenzwert z. B. (-1) n Rechenregeln: Regel 2.1: einfacher Sonderfall: Regel 2.2: Folgen und Reihen 10
11 1. Folgen und Reihen Eigenschaften konvergenter Zahlenfolgen Beispiel 1.4: Nullfolgen: Folgen und Reihen 11
12 1. Folgen und Reihen 1.4 Konvergenzkriterien bisher: ist Grenzwert von ist nicht Grenzwert von wichtiger: konvergiert? (x unbekannt oder kompliziert) Kriterium 1.1 (Monotoniekriterium): beschränkt, monoton konvergent Folgen und Reihen 12
13 1. Folgen und Reihen Konvergenzkriterien Kriterium 1.2 (Vergleichskriterium): Kriterium 1.3 (Cauchy-Kriterium): Der Abstand von Folgegliedern mit hinreichend großem Index muss beliebig klein werden. Folgen und Reihen 13
14 1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Folgen Folgen und Reihen 14
15 1. Folgen und Reihen häufig verwendete Folgen Bemerkung: von Interesse: Folgen und Reihen 15
16 1. Folgen und Reihen A) Beispiel 1.5: Nullfolgen konvergent, wegen Kriterium 1.1 B) konvergent, wegen Kriterium 1.2 Folgen und Reihen 16
17 1. Folgen und Reihen C) konvergent, wegen Kriterium 1.3 n ,25 5 2, , , ,69 x n n x n 100 2, , , , , Folgen und Reihen 17
18 1. Folgen und Reihen 1.5 Unendliche Reihen Summe der n Folgeglieder einer reellen Zahlenfolge neue Folge = Reihe : unendliche Reihe : Glieder : Teilsummen Summe Wert (Cauchy) Folgen und Reihen 18
19 1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen Beispiel 1.6: A) konvergent B) divergent Folgen und Reihen 19
20 1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen Bemerkung: Die Summe einer konvergenten Reihe ist keine Summe im gewöhnlichen Sinn! sondern: Die Rechenregeln für gewöhnliche Summen sind deshalb nicht ohne weiteres übertragbar: Aber: Folgen und Reihen 20
21 1. Folgen und Reihen Unendliche Reihen harmonische Reihe: Beweis von N. Oresme (1350) Computer mit 10 9 Additionen / sec rechnet Jahre Universum ist Jahre alt nur Primzahlen Folgen und Reihen 21
22 1. Folgen und Reihen 1.6 Eigenschaften unendlicher Reihen Kriterium 1.4 (Cauchykriterium): häufiger Sonderfall: Reihen mit positiven Gliedern Kriterium 1.5 (Monotoniekriterium) : leichter anzuwenden: Kriterium 1.6 (Vergleichskriterium): Folgen und Reihen 22
23 1. Folgen und Reihen Eigenschaften unendlicher Reihen Vergleich mit geometrischer Reihe: Kriterium 1.7 (Quotientenkriterium): Kriterium 1.8 (Wurzelkriterium): Folgen und Reihen 23
24 1. Folgen und Reihen 1.7 Rechnen mit konvergenten Reihen endliche Summe : Reihe : vgl. Klammern weglassen im Allgemeinen nicht erlaubt! Umordnen im Allgemeinen nicht erlaubt! Klammern setzen ist in konvergenten Reihen erlaubt Regel 1.3: gliedweise Addition Klammern weglassen hier erlaubt Regel 1.4: skalare Multiplikation Folgen und Reihen 24
25 1. Folgen und Reihen Rechnen mit konvergenten Reihen Im folgenden Beschränkung auf absolut konvergente Reihen, d.h. konvergiert ( konvergiert) Regel 1.5: Absolut konvergente Reihen darf man beliebig umordnen Regel 1.6:, beide absolut konvergent Produkt absolut konvergenter Reihen Folgen und Reihen 25
26 1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Reihen Folgen und Reihen 26
27 1. Folgen und Reihen Einige häufig verwendete Reihen Folgen und Reihen 27
28 1. Folgen und Reihen N. H. Abel (1828): Die divergenten Reihen sind eine Erfindung des Teufels, und es ist eine Schande, sie überhaupt für Beweise heranzuziehen. sie sind für eine ganze Reihe von Irrtümern und Paradoxien verantwortlich vgl. Folgen und Reihen 28
29 Aufgaben im Tutorium Buch: A 1.2 A 1.6 A 1.7 A 1.9 A 1.14 a) und b) A 1.15 b) und c) A 1.16 Folgen und Reihen 29
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Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen
3.3 Konvergenzkriterien für reelle Folgen Satz: Eine monoton wachsende, nach oben beschränkte reelle Folge a n ) n N ist konvergent mit Grenzwert lim a n = sup{a n n N} Beweis: Sei a n ) n N nach oben
4. Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen [Kö 5]
![4. Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen [Kö 5]](/thumbs/80/81508267.jpg "4. Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen [Kö 5]")
20 4. Folgen von (reellen und komplexen) Zahlen [Kö 5] 4.1 Grundbegriffe Definition 1. a) Eine Folge (reeller bzw. komplexer) Zahlen ist eine Abbildung a: Z k C mit einem k Z. Schreibweise: a(n) = a n
Folgen und Reihen. Christoph Laabs, n s k und ist Grenzwert dieser Reihe.
Folgen und Reihen Christoph Laabs, christoph.laabs@tu-dresden.de Grundlagen Eine Reihe ist darstellbar durch z. B. = a 0 + a + a 2 + a + a 4 +... Ausgesprochen wird das als Summe von von k bis Unendlich.
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
Folgen und Reihen Folgen
Folgen und Reihen 30307 Folgen Einstieg: Wir beginnen mit einigen Beispielen für reelle Folgen: (i),, 4, 8, 6, (ii) 4,, 6, 3, 7, (iii) 0,,,, 3,, (iv), 3, 7,,, Aufgabe : Setzt die Zahlenfolgen logisch fort
a 0, a 1, a 2, a 3,... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter.
7 Folgen 30 7 Folgen Wir betrachten nun (unendliche) Folgen von Zahlen a 0, a, a 2, a 3,.... Dabei stehen die drei Pünktchen für unendlich oft so weiter. Bezeichnung Wir bezeichnen mit N die Menge der
1 k = = Sie ist also gerade der Grenzwert der zur Folge (r k 10 k ) k N0 gehörenden Reihe( n
Die zur Folge ( k ) k N gehörende Reihe ( n k ) n N ist divergent, genauer k =. 2. Dezimalzahlen: Eine Zahl r = r 0,r r 2 r 3 mit r 0 N 0 und r n {0,...,9} für n hat den Wert r = r 0 +r 0 +r 2 00 +...
c < 1, (1) c k x k0 c k = x k0
4.14 Satz (Quotientenkriterium). Es sei (x k ) Folge in K. Falls ein k 0 existiert, so dass für k k 0 gilt x k 0 und x k+1 x k c < 1, (1) so ist x k absolut konvergent. Beweis. Aus (1) folgt mit vollständiger
Seite 1. Folgen. Folgen. Klaus Messner,
Seite 1 Klaus Messner, klaus_messner@web.de Seite 2 Begriffe Die Schreibweise stellt eine Folge dar. Die a i nennt man glieder und i ist der Index bzw. die Nummer eines speziellen glieds. In den Lehrbüchern
$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
6 - Unendliche Reihen
Kapitel 2 Folgen und Reihen Seite 1 6 Unendliche Reihen Definition 6.1 (Unendliche Reihen) Sei eine Folge aus C. Unter der unendlichen Reihe mit den Gliedern versteht man das Symbol oder Die Zahl heißt
2 - Konvergenz und Limes
Kapitel 2 - Folgen Reihen Seite 1 2 - Konvergenz Limes Definition 2.1 (Folgenkonvergenz) Eine Folge komplexer Zahlen heißt konvergent gegen, wenn es zu jeder positiven Zahl ein gibt, so dass gilt: Die
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Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung 5.03.20 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition.................................... 3.2 Konvergenzkriterien für Reihen........................
ist streng monoton fallend.
Beispiel 3.5 Betrachte die Folgen aus Beispiel 3.1 Die Folgen a und d mit a n = n 2 und d n = 2 n sowie die Fibonacci-Folge sind streng monoton wachsend. Die Folge b mit b n = 1 n ist streng monoton fallend.
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1 Folgen und Stetigkeit 1.1 Folgen Eine Folge ist eine durchnummerierte Zusammenfassung von reellen Zahlen. Sie wird geschrieben als (a 1, a 2, a 3,...) = (a n ) n N. Es ist also a n R. Der Index n gibt
Konvergenz von Folgen
6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5