4. Reihen. Im Folgenden sei K = R oder K = C und (x k ), (y k ),... Folgen in K Definition. Wir schreiben. x k = s. und sagen, die Reihe

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1 9 4. Reihen Im Folgenden sei K R oder K C und (x k ), (y k ),... Folgen in K. 4.. Definition. Wir schreiben x k s und sagen, die Reihe x k konvergiere, falls die sogenannte Partialsummen-Folge s n x k n, 2,... in K gegen s konvergiert. Oft startet man die Folge/Reihe auch bei k 0.Für Konvergenzfragen spielt der Startpunkt keine Rolle wohl aber für den Reihenwert Satz. Es seien x k x und y k y konvergent. Dann folgt (x k + y k ) x + y und (cx k ) cx für c K. Die konvergenten Reihen bilden also einen Vektorraum. Beweis. Folgtsofortaus Cauchy-Kriterium. In K ist eine Folge genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist. Daher gilt x k konvergiert Def. 3.3 Partialsummenfolge konvergiert Partialsummenfolge ist Cauchy-Folge; mit anderen Worten: M ε >0 n 0 : x k <ε N,M n 0. kn 4.4. Satz. Die Glieder einer konvergenten Reihe bilden eine Nullfolge: Ist n x k konvergent, so gilt x k 0. DieUmkehrunggiltübrigens nicht; siehe 4.8. Beweis. DiePartialsummenfolge(s n )isteinecauchy-folgenach3.2.zuε>0existiertalsoein n 0 mit s n s m <εfür n, m n 0.Insbesondereistdann x n s n s n <εfür n n Definition. Eine Reihe x k heißt absolut konvergent, falls x k konvergiert Satz. Absolut konvergente Reihen sind konvergent. Aber: konvergent absolut konvergent ( alternierende harmonische Reihe, 4.)! M M Beweis. WendeCauchy-Kriterium4.3an: x k. kn kn

2 Bemerkung. Für Fragen der Konvergenz/absoluten Konvergenz spielen Veränderungen, die an lediglich endlich vielen Gliedern vorgenommen werden keinerolle(für den Wert schon). Wenn man endlich viele Glieder einer konvergenten Reihe umordnet, ändert sich der Wert der Reihe nicht. Ist die Reihe absolut konvergent, so kann man sie sogar beliebig umordnen, ohne dass sich der Reihenwert ändert. Für nicht absolut konvergente Reihen gilt das nicht Beispiele. ( )k ist nicht konvergent, da (( ) k )keinenullfolgeist. (Harmonische Reihe) k ist nicht konvergent, obwohl ( k )einenullfolgeist!wir betrachten die Partialsummen s s s > > 4 s > Mit Induktion: s 2 k + k 2,alsonichtkonvergent. (Geometrische Reihe) Es sei z C, z <. Dann ist z k z, weil nach 3.6 z k.23 zn+ z n z. (d) k(k+),denn k(k+) k k+.alsoist k(k +) n(n +) n n + n Satz (Cauchy-Produkt). Es seien x k und y k absolut konvergent. Dann ist (mit absoluter Konvergenz) ( x k ) j0 y j k x k j y j. j0

3 Veranschaulichung: Erst werden die Werte entlang der Diagonalen multipliziert und addiert; dann werden diese aufaddiert. Beweis. Konvergenzkriterien. x 0 y 0 + x y 0 + x 0 y + x 2 y 0 + x y + x 0 y 2 k Satz (Leibniz-Kriterium). Es sei (x k ) eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann ist ( )k x k konvergent. Wichtig ist hier, dass die Folge monoton fallend ist. Beweis. Setzes n n ( )k x k.danngilt s 2n+2 s 2n x 2n+ + x 2n+2 0 s 2n+3 s 2n+ +x 2n+2 x 2n+3 0. Man sieht: () (s 2n )monotonfallendundnachuntenbeschränkt, da s 2n s für alle n, hatalsoeinen Grenzwert s nach 3.9. (2) (s 2n+ )monotonwachsendundnachobenbeschränkt: s 2n+ s 2n s 2 ;hatalsoeinen Grenzwert s. Man sieht nun leicht, dass s s ist, und ist fertig. konvergiert nach dem Leib- 4.. Beispiel. Die alternierende harmonische Reihe nizkriterium. ( )k k Satz (Vergleichskriterium/Majorantenkriterium). Es seien r k 0und r k konvergent. Gilt r k für alle k, soist x k absolut konvergent. Beweis. MitdemCauchy-Kriterium4.3:Für K, L k 0 ist L kk L r k. kk 4.3. Beispiel. Die Reihe k 2 konvergiert, weil k(k+) konvergiert und k 2 2 k(k+) Satz (Quotientenkriterium). Existieren ein c<undeink 0 derart, dass () x k+ c< für alle k k 0, so ist x k absolut konvergent. Äquivalent zu () ist, dass lim sup k x k+ <. 2 2 Der limes superior einer Folge (ak )inr, istdergrößte Wert A gegen den eine Teilfolge von (a k )konvergiert. Man schreibt: lim sup a k A.

4 22 Beweis. Aus() folgt mit vollständiger Induktion, dass (2) x k0 +k c k x k0, k, 2,... Damit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium, denn die Reihe x k0 c k x k0 c k kk 0 kk 0 ist ein Vielfaches der geometrischen Reihe und somit konvergent Satz (Wurzelkriterium). Existieren ein c<undeink 0 derart, dass k () xk c<, für alle k k 0. so ist x k absolut konvergent. Äquivalent zu () ist, dass lim sup k k <. Beweis.Wegen c k folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe Bemerkung. Das Wurzelkriterium bzw. das Quotientenkriterium sind insbesondere erfüllt, wenn x k+ k lim < bzw. lim xk <. k k Existiert ein k 0 mit x k+ oder k für alle k k 0,soistdieReihedivergent, denn dann bilden die Glieder keine Nullfolge. Dies ist insbesondere der Fall wenn die obigen Grenzwerte > sind.(sinddiegrenzwerte,soistkeineaussagemöglich.) Ist das Quotientenkriterium erfüllt, so ist auch das Wurzelkriterium erfüllt, s. 4.4(2) Die Exponentialfunktion. Sinus. Cosinus. Die Reihe zk k! : ez (auch exp z) konvergiertnachdemquotientenkriterium,da z k+ (k +)! zk k! z k + 0 für alle z C. Mansetzte : e. ( )k (2k)! z2k cosz konvergiert für alle z C nach dem Wurzelkriterium. ( )k (2k z2k+ sinz konvergiert für alle z C nach dem Wurzelkriterium. +)! 4.8. Satz. e(0) e z e w e z+w.insbesondere:e z 0 z C, dae z e z e 0. e iz cosz + i sin z,z C (Eulersche Formel). Speziell: x R: cos x Re(e ix ), sin x Im(e ix ). (d) cos( z) cosz,sin( z) sin z,z C (e) cos z eiz + e iz, sin z eiz e iz, z C. 2 2i (f) e ix für x R, insbesondere cos x, sin x für x R (auf C sind beide Funktionen unbeschränkt).

5 23 (g) (h) e z e z cos(w + z) cosw cos z sin w sin z sin(w + z) sinw cos z +coswsin z, w, z C. Beweis. (d) (e) klar e z e w Cauchy-Produkt Bin.Formel e iz 4.2 k j0 (iz) k k! z j j! w k j (k j)! k! (z + w)k e z+w. 4.2 l0 (iz) 2l (2l)! + k j0 l0 k! (iz) 2l+ (2l +)! ( ) l z 2l (2l)! + i ( ) l z 2l+ (2l +)! l0 cosz + i sin z l0 Speziell für x R gilt: cos x R, sinx R, also Einsetzen in 4.7,(d) folgt aus. cos x Re(e ix ) und sinx Im(e ix ). (f) e ix cosx i sin x cos( x)+i sin( x) e ix (g) e ix 2 e ix e ix e 0. Da e ix 2 cos 2 x +sin 2 x folgt Aussage über sin, cos. Schreibe z x + iy, ( ) k z j w k j j e z e x iy e x (cos( y)+i sin( y)) e x (cos y i sin y) e x (cos y + i sin y) e z. (h) Einsetzen von (e) und.