2 Stetigkeit und Differenzierbarkeit

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1 2.1) Sei D R. a) x 0 R heißt Häufungspunkt von D, wenn eine Folge x n ) n N existiert mit x n D,x n x 0 und lim n x n = x 0. D sei die Menge der Häufungspunkte von D. b) x 0 D heißt innerer Punkt von D, wenn ein ε > 0 existiert mit ]x 0 ε,x 0 + ε[ D. D 0 sei die Menge der inneren Punkte von D. c) D heißt offen, wenn D = D 0 ist. d) D heißt abgeschlossen, wenn R \ D offen ist. e) D = D D heißt Abschluss von D. f) D heißt beschränkt, falls C > 0 existiert mit D [ C,C]. g) E D heißt offen in E, wenn zu jedem x 0 E ein ε > 0 existiert mit ]x 0 ε,x 0 + ε[ D E. 2.2) Sei D R und f : D R eine Funktion. a) Wenn zu x 0 D ein y 0 R existiert, so dass für jede Folge x n ) n N mit x n D, x n x 0 und lim x n = x 0 die Folge f x n )) n N konvergiert mit lim f x n ) = y 0, dann heißt f x) n n konvergent für x x 0 gegen den Grenzwert y 0. Schreibweise: lim f x) = y 0. x x0 b) Einseitige Grenzwerte: lim 0 x x 0 für alle monoton steigenden Folgen x n ) aus D \ {x 0 } mit Grenzwert x 0 gilt lim f x n ) = y 0 n lim 0 x x 0 + für alle monoton fallenden Folgen x n ) aus D \ {x 0 } mit Grenzwert x 0 gilt lim f x n ) = y 0. n C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 5

2 2.3) Sei D R und f : D R eine Funktion. a) f heißt stetig ergänzbar in x 0 D, wenn lim x x0 f x) R existiert. b) f heißt stetig in x 0 D D, falls lim x x0 f x) = f x 0 ) ist. c) f heißt stetig, falls f stetig in allen Punkten x 0 D D ist. ) 2.4) lim f x) = f x 0 ) x x0 ε > 0 δ > 0 x D : x x 0 < δ = f x) f x 0 ) < ε. 2.5) f : [a,b] R sei stetig, und es gelte f a) < y < f b). Dann existiert x 0 ]a,b[ mit f x 0 ) = y. 2.6) f : D R heißt streng monoton wachsend, wenn für x,y D gilt: x < y = f x) < f y). Entsprechend: monoton wachsend x < y = f x) f y) monoton fallend x < y = f x) f x). 2.7) Sei f : [a, b] R streng monoton wachsend. Dann gilt: a) f 1 : [f a),f b)] R ist wohldefiniert und streng monoton wachsend. b) Wenn f stetig ist, dann ist auch f 1 stetig. 2.8) Sei f : [a,b] R stetig. Dann ist f [a,b]) beschränkt, und es existieren x 1,x 2 [a,b] mit f x 1 ) = min x [a,b] f x) f x 2) = max x [a,b] f x). C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 6

3 2.9) D R heißt kompakt, wenn D abgeschlossen und beschränkt ist. 2.10) f : D R heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: ) ε > 0 δ > 0 x,x 0 D : x x 0 < δ = f x) f x 0 ) < ε. 2.11) Sei D R kompakt und f : D R stetig. Dann ist f gleichmäßig stetig. 2.12) Sei D R und f : D R. Zu x 0 D D heißt f x) f x 0) Differenzenquotient. x x 0 f x) f x f heißt differenzierbar im Punkt x 0, wenn der Grenzwert lim 0 ) existiert. x x0 x x ) Sei f : D R differenzierbar im Punkt x 0. Dann ist f stetig in x ) Sei ϕ : D R, 0 D D, k N {0}. a) ϕh) = oh k ) lim h 0 ϕh) h k = 0 b) b) ϕh) = Oh k ) C > 0,h 0 > 0 mit ϕh) Ch k für h < h 0,h D Es gilt f x) f x 0 ) f x 0 )x x 0 ) = ox x 0 ). C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 7

4 2.15) Seien f,g : D R differenzierbar in x 0 D D. Dann gilt: a) Die Ableitung ist linear: αf + βg) x 0 ) = αf x 0 ) + βg x 0 ) b) f g ist differenzierbar in x 0 mit f g) x 0 ) = f x 0 )gx 0 ) + f x 0 )g x 0 ) Produktregel) c) Sei gx 0 ) 0. Dann ist f f ) x0 g differenzierbar in x 0 mit ) = f x 0 )gx 0 ) f x 0 )g x 0 ) g gx0 ) ) 2 Quotientenregel) 2.16) Seien f : D R,g : E R, x 0 D D mit y 0 = f x 0 ) E E. Sei f differenzierbar in x 0 und g differenzierbar in y 0. Dann gilt: a) g f : D R ist in x 0 differenzierbar in x 0 mit g f ) x 0 ) = g y 0 )f x 0 ). b) Sei zusätzlich f injektiv und f x 0 ) 0. Dann ist die Umkehrfunktion in y 0 differenzierbar mit f 1 ) y 0 ) = 1 f x 0 ). C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 8

5 2.17) Sei f : D R, D R, x 0 D. a) x 0 ist ein globales Maximum von f in D, wenn f x) f x 0 ) für x D. b) x 0 ist ein strenges globales Maximum von f in D, wenn f x) < f x 0 ) für x D \ {x 0 }. c) x 0 ist ein lokales Maximum von f, wenn ein δ > 0 existiert mit f x) f x 0 ) für x D ]x 0 δ,x 0 + δ[. d) x 0 ist ein strenges lokales Maximum von f, wenn ein δ > 0 existiert mit f x) < f x 0 ) für x D ]x 0 δ,x 0 + δ[, x x 0. Analog werden Minimima definiert. Ein Extremum ist ein Minimum oder ein Maximum. 2.18) Sei f : [a,b] R, und sei x 0 ]a,b[ ein lokales Extremum. Dann gilt: Wenn f in x 0 differenzierbar ist, dann ist f x 0 ) = 0 notwendige Bedingung). 2.19) Sei f : [a, b] R stetig und differenzierbar in ]a, b[. a) Falls f a) = f b), dann existiert x 0 ]a,b[ mit f x 0 ) = 0 Satz von Rolle). b) Es existiert x 0 ]a,b[ mit f x 0 ) = f b) f a) b a Mittelwertsatz). 2.20) Sei f : [a,b] R zweimal stetig differenzierbar. Wenn für eine kritische Stelle x 0 ]a,b[ mit f x 0 ) = 0 zusätzlich f x 0 ) > 0 gilt, dann ist x 0 ein strenges lokales Minimum. C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 9

6 2.21) Seien f,g : ]a,b[ R differenzierbar, und für x 0 ]a,b[ gelte f x 0 ) = gx 0 ) = 0 und g x) 0 für x x 0. Dann gilt die Regel von l Hospital: f x) f x) Wenn der Grenzwert lim x x0 g existiert, dann ist lim x) x x 0 gx) = lim f x) x x 0 g x). 2.22) Sei f : [a, b] R eine Funktion. a) f heißt konvex, wenn für a x 1 < x x 2 b gilt f x) f x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 f x2 ) f x) ). b) f heißt konkav, wenn f konvex ist. c) f heißt streng konvex, wenn für x 1 < x < x 2 gilt f x) < f x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 f x2 ) f x 1 ) ). d) f heißt streng konkav, falls f streng konvex ist. 2.23) Sei f : [a,b] R eine konvexe Funktion, und sei x 0 [a,b] ein lokales Minimum. Dann ist x 0 ein globales Minimum. 2.24) Sei f : [a, b] R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt: a) f x) > 0 für x ]a,b[ = f x) streng konvex. b) f x) < 0 für x ]a,b[ = f x) streng konkav. 2.25) Sei f : [a,b] R eine Funktion und x 0 ]a,b[. Wenn ein ε > 0 existiert mit f konvex in ]x 0 ε,x 0 [ und f konkav in ]x 0,x 0 + ε[ oder umgekehrt), dann heißt x 0 Wendepunkt von f. 2.26) Sei f : [a, b] R zweimal stetig differenzierbar. Dann gilt: a) Wenn x 0 ]a,b[ ein Wendepunkt ist, dann gilt f x 0 ) = 0 notwendige Bedingung). b) Wenn zusätzlich f dreimal stetig differenzierbar ist, und wenn f x 0 ) 0 ist, dann ist x 0 ein Wendepunkt hinreichende Bedingung). C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 10

7 2.29) Sei f : [a,b] R n-mal stetig differenzierbar, und sei x 0 ]a,b[. Dann existiert eine Darstellung f x) = T n x;x 0 ) + R n x;x 0 ) n mit dem Taylor-Polynom n-ten Grades T n x;x 0 ) = f k) x 0 ) k! 1 d k k! dx k f x 0)x x 0 ) k Restglied R n x;x 0 ) = o x x 0 ) n). Wenn f n + 1)-mal stetig differenzierbar ist, dann existiert zu jedem x [a,b] eine Zwischenstelle ξ = x 0 + θx x 0 ) mit 0 < θ < 1 und und dem 1 d k+1 R n x;x 0 ) = k + 1)! dx k+1 f ξ )x x 0) n ) cosx hat genau eine kleinste Nullstelle x 0 ]0, 6[. Wir definieren π = 2x ) Sei f : [a,b] R zweimal stetig differenzierbar, und sei x ]a,b[ eine Nullstelle von f mit f x ) 0. Dann konvergiert das Newton-Verfahren x n+1 = x n f x n )/f x n ) in der Nähe von x quadratisch, d.h. falls x 0 x klein genug, gilt x n+1 x < C x n x 2. C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 11

8 2.32) Zu a k ) k N {0} und x 0 sei f x) = a k x x 0 ) k die Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x 0 mit den Koeffizienten a 0,a 1,a 2, ) Für eine Potenzreihe f x) = a k x x 0 ) k ist der Konvergenzradius r definiert durch: a) r = 0, falls die Reihe nur für x = x 0 konvergiert; b) r =, falls die Reihe für alle x konvergiert; c) falls die Reihe für ein x 1 absolut konvergiert und für ein x 2 divergiert, dann existiert r = sup{ρ > 0: die Reihe konvergiert absolut für alle x mit x x 0 < ρ}. 2.34) Für die Potenzreihe a) Wenn c = lim k a k+1 a k x x 0 ) k gilt: existiert, dann ist der Konvergenzradius r = a k k b) Wenn d = lim a k existiert, dann ist der Konvergenzradius r = k 0 c = 1 c c 0 c = 0 0 d = 1 d d 0 d = 0 C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 12

9 2.35) Sei D R und sei f n ) n N eine Funktionenfolge mit f n : D R. a) Wenn für alle x D der Grenzwert lim f n x) existiert, dann ist die Grenzfunktion n f x) = lim f n x) punktweise definiert punktweise Konvergenz). n b) Sei f = sup f x). Wenn zusätzlich lim f n f = 0 gilt, dann ist die Konvergenz x D n gleichmäßig auf D gleichmäßige Konvergenz). 2.36) Sei D R, f n : D R stetig für n N, und sei f x) = lim f n x) wohldefiniert. n Wenn f n f gleichmäßig konvergiert, dann ist f stetig. 2.37) Seien f k : D R stetig, D R, k N {0}) und sei s n x) = konvergent gegen f k x) für x D. Dann ist f k x) stetig. n f k x) gleichmäßig 2.38) Sei f x) = a k x x 0 ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Dann ist f stetig für x x 0 r,x 0 + r), die abgeleitete Potenzreihe gx) = ka k x x 0 ) k 1 k=1 hat ebenfalls den Konvergenzradius r, und f ist differenzierbar mit f x) = gx). C. Wieners: Mathematik 2 für Studierende der Fachrichtung Informationswirtschaft 13