Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)

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1 Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische Formeln Für zwei reelle Zahlen a und b gilt (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (. binomische Formel) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2, (2. binomische Formel) a 2 b 2 = (a + b)(a b) (3. binomische Formel) Binomischer Satz Für zwei reelle Zahlen a und b und eine natürliche Zahl n gilt (a + b) n = n a n b n n a n b a b n + n Partielle Summe arithmetische Reihe a 0,..., a n = a 0 + d n: S = a k = (n + ) a 0 + a n 2 Partielle Summe geometrische Reihe a 0,..., a n = a 0 q n : x /2 = b ± b 2 4ac 2a Binomialkoeffizient n über k für k und n nicht negative ganze Zahlen mit k n n n! = k k!(n k)! n a 0 b n = n n a n k b k k S = a k = a 0 q n+ q = a 0 q n+ q für q Potenzgesetze Logarithmengesetze Bemerkungen a b a c = a b+c log a (b c) = log a b + log a c log a a b = b, a log a b = b a b b a c = ab c log a = log c a b log a c a / 2 = a a x / y = y a x = ( y a) x a c = a c log a = log c a c (a ( b) c = a c b c a b) c = a b c Achtung:a bc := a (bc) (a b) c a c = b c log b a = 0 c lg a = e c ln a log a b c = c log a b log a c = log b c log b a = lg c lg a = ln c ln a Basiswechsel

2 Typische Funktionen in der Ökonomie Umsatz/Erlösfunktion U = x p(x) x Absatz/Produktionsmenge bzw. U = p x(p) p Preis je Mengeneinheit Produktionsfunktion x = x(r) r Menge eines Produktionsfaktors (Ressource) Kostenfunktion K = K(x) Stück-(=Durchschnitts)kosten k = k(x) = K(x)/x Gewinn G = G(x) = U(x) K(x) Differenzieren mit einer Variablen Funktion Ableitung f(x) = c, x R, c = const f (x) = 0, x R f(x) = x n, x R, n N \ {0} f (x) = nx n, x R f(x) = x k, x R \ {0}, k Z f (x) = kx k, x R \ {0} f(x) = x a, x (0, + ), a R f (x) = ax a, x (0, + ) f(x) = e x, x R f (x) = e x, x R f(x) = a x, x R, a > 0 und a f (x) = a x ln a, x R f(x) = ln x, x (0, + ) f (x) =, x (0, + ) x f(x) = log a x, x (0, + ), a > 0, und a f (x) = x ln a, x (0, + ) f(x) = sin x, x R f (x) = cos x, x R f(x) = cos x, x R f (x) = sin x, x R f(x) = tan x, x (2k + ) π 2, k Z f (x) = + tan 2 x Regel f(x) f (x) Konstanter Summand c 0 Konstanter Faktor a u(x) a u (x) Summenregel u(x) ± v(x) u (x) ± v (x) Produktregel u(x) v(x) u (x) v(x) + u(x) v (x) Quotientenregel u(x) u (x) v(x) u(x) v (x) v(x) [v(x)] 2 Kettenregel u(v(x)) bzw. y = u(z), z = v(x) u (z) v (x) Umkehrfunktion f, nur falls f (x) 0 für x I df dy (y) = f (x) mit x = f (y) Der Wert f (x) der Grenzfunktion gibt (näherungsweise) den Funktionszuwachs (bzw. Abnahme falls < 0) an, der durch die nächste Einheit der unabhängigen Variablen x hervorgerufen wird. Satz: L Hospital sche Regel Die Funktionen f und g seien in einer Umgebung des Punktes x definiert und differenzierbar ( x = auch f (x) zulässig), lim x x g (x) = K existiere (als endlicher oder unendlicher Wert), und es sei g ( x) 0. Ferner f(x) gelte lim f(x) = lim g(x) = 0 oder lim f(x) = lim g(x) =. Dann gilt auch lim x x x x x x x x x x g(x) = K. 2

3 Satz (Monotonie). f : D W differenzierbar im offenen Intervall I D. Wenn für x I f (x) > 0 gilt, dann ist f streng monoton wachsend in I. Wenn für x I f (x) < 0 gilt, dann ist f streng monoton fallend in I. Wenn für x I f (x) 0 gilt, dann ist f monoton wachsend in I. Wenn für x I f (x) 0 gilt, dann ist f monoton fallend in I. Satz (notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle). Sei f : D W, differenzierbar in einem offenen Intervall I D mit x 0 I. Falls f in x 0 einen lokalen Extremwert besitzt, dann ist f (x 0 ) = 0. Satz (hinreichende Bedingung für eine lokale Extremstelle) Für eine Funktion f : D R und x 0 I ein offenes Intervall D, mit f (x 0 ) = 0 gilt. wenn f (x 0 ) < 0, oder f hat einen Vorzeichenwechsel von + zu, dann ist x 0 Maximalstelle 2. wenn f (x 0 ) > 0, oder f hat einen Vorzeichenwechsel von zu +, dann ist x 0 Minimalstelle. Voraussetzung: f zweimal differenzierbar und f stetig in I, bzw. differenzierbar in I. Satz (Krümmungsverhalten). f : D W zwei mal differenzierbar im offenen Intervall I D. Wenn f (x) > 0 für alle x I, dann ist f streng konvex in I. Wenn f (x) < 0 für alle x I, dann ist f streng konkav in I. Wenn f (x) 0 für alle x I, dann ist f konvex in I. Wenn f (x) 0 für alle x I, dann ist f konkav in I. Satz (notwendige Bedingung Wendepunkt). Sei f eine in einer Umgebung von x 0 zweimal differenzierbare Funktion. Falls f in x 0 einen Wendepunkt besitzt, dann gilt f (x 0 ) = 0. Satz (hinreichende Bedingung Wendepunkt). Gegeben sei eine Funktion f mit f (x 0 ) = 0. Dann hat f in x 0 einen Wendepunkt, falls zusätzlich gilt. f (x 0 ) 0, oder 2. f hat einen Vorzeichenwechsel von + zu, oder 3. f hat einen Vorzeichenwechsel von zu +. Voraussetzung: f dreimal differenzierbar und f stetig (für.) bzw. f zweimal differenzierbar (für 2. oder 3.) in einem Punkt x 0 im Inneren des Definitionsbereichs 3

4 Differenzieren mit mehreren Variablen Satz. (Verallgemeinerung der Kettenregel) Sei f(x, y) eine Funktion, deren Variablen x und y von einem Parameter t abhängig sind: x = x(t) und y = y(t) für t R. Die Funktion f(x, y) entspricht einer Funktion g(t) = f(x(t), y(t)). Es gilt dg dt = f dx (x, y) x dt + f dy (x, y) y dt Satz. (Implizite Differenziation) Die Funktion zweier Variablen F (x, y) sei stetig in R 2, ihre partiellen Ableitung F x und F y mögen existieren und stetig sein. Weiterhin gelte für einen Punkt (x 0, y 0 ): F (x 0, y 0 ) = 0 und F y (x 0, y 0 ) 0. Dann gibt es in einer (kleinen) Umgebung U von (x 0, y 0 ) eine Funktion f, sodass y = f(x) für alle (x, y) mit F (x, y) = 0, wobei y 0 = f(x 0 ). Die Funktion f ist stetig und besitzt eine stetige Ableitung: F f (x) = dy (x, y) dx = x F x (x, y) = F y (x, y) F y (x, y) Satz. Der vollständige (oder totale) Differenzial df = df(x,..., x n ) der differenzierbaren Funktion f an der Stelle (x,..., x n ), df := f dx f dx n x x n gibt näherungsweise an, um wieviele Einheiten sich f ändert, wenn sich gleichzeitig jede der unabhängigen Variablen x... x n jeweils dx... dx n ändert. Satz. (Extrema: notwendige Bedingung) Notwendig für das Vorliegen eines relativen Extremums der differenzierbaren Funktion f(x... x n ) an der Stelle P (x... x n ) ist das Verschwinden aller partiellen Ableitungen erster Ordnung in P, d.h. (gradf) P = 0 Satz. (Extrema: hinreichende Bedingung, zwei Variablen) Es sei f(x, y) eine differenzierbare Funktion zweier Variablen und P (x 0, y 0 ) eine stationäre Stelle von f (i.e. (gradf) P = 0). Dann gilt:. f besitzt in P ein relatives Extremum, falls zusätzlich in P f xx f yy > (f xy ) 2 (d.h. det(h(p )) > 0) vom Typ relatives Maximum, wenn f xx (P ) < 0 (und dann auch f yy (P ) < 0) vom Typ relatives Minimum, wenn f xx (P ) > 0 (und dann auch f yy (P ) > 0) 2. f besitzt in P einen Sattelpunkt, falls zusätzlich in P f xx f yy < (f xy ) 2 (d.h. det(h(p )) < 0) 4

5 Lineare Algebra Definition. Multiplikation Für zwei Matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) ist die Multiplikation A B definiert, wenn A soviel Spalten hat wie B Zeilen, d.h. A ist vom Typ (m, n) und B vom Typ (n, p). Die Matrix A B ist vom Typ (m, p) mit den Elementen c ik = a ij b jk, i =,..., m, k =,..., p, j= d. h., c ik ist das Skalarprodukt zweier Vektoren des i-ten (transponierten) Zeilenvektors der Matrix A und des j-ten Spaltenvektors der Matrix B. Es gelten die Regeln A (B + C) = AB + AC A (B C) = (A B) C (B + C) A = B A + C A (A B) T = B T A T Definition. Für n = und A = ( (a ) wird det(a) ) = a gesetzt. a a Für n = 2 und A = 2 ist a 2 a 22 det A = a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2. Allgemein für n > : sei A eine quadratische (n, n)-matrix mit den Untermatrizen A ik. Die Determinante det(a) von A ist eine reelle Zahl, die durch det A = ( ) i+k a ik det A ik k= (Entwicklung nach der i-ten Zeile) Schachbrettregel für Vorzeichen: n n..... rekursiv erklärt ist. Die Entwicklung nach der i-ten Spalte liefert auch det(a). Invertierbarkeit von Matrizen die Inverse (wenn existent) erfüllt: AA = A A = E Eine quadratische Matrix A ist genau dann regulär/invertierbar, wenn ihre Determinante det(a) nicht Null ist. Zusatz für 2x2 ( Matrizen: ) a a Wenn A = 2 invertierbar ist (also det(a) 0), dann gilt a 2 a 22 A a22 a = 2 mit det(a) = a det(a) a 2 a a 22 a 2 a 2 Ist die Matrix A invertierbar so gilt Ax = b x = A b Wenn die Matrizen A und B invertierbar sind, dann gilt (AB) = B A. 5

6 Finanzmathematik K 0 und K t : Anfangs- und Endkapital, t: Laufzeit in Jahren, i = p/00: Zinssatz Einfache Verzinsung: K t = K 0 ( + t i) Zinseszins: K t = K 0 ( + i) t Unterjährige Verzinsung: K t = K 0 ( + i m )m t (m Zeiträume: etwa 2 Monate, 4 Quartale) Stetige Verzinsung: K t = K 0 e i t Faustregel: Bei einem Zinsfuß p verdoppelt sich ein Guthaben bei Zinseszins in ca. 70/p Jahren. Berechnung der Zinstage und der Basistage (= Jahreslänge in Tagen). Bei der Berechnungsmethode A (Methode 30 E/360) wird unabhängig von der tatsächlichen Länge der Monat immer mit 30 Tagen und das Jahr mit 360 Tagen angesetzt. Bei Monaten mit 3 Tagen ist der 3. kein Zinstag. Ist {x k }, k = 0,, 2,... n eine Zahlungsfolge, wobei x k jeweils die Zahlung nach k Jahren darstellt, so ist der Gegenwartswert oder Barwert die Summe der diskontierten (abgezinsten) Zahlungen: BW = x k ( + i) k Abzinsungsfaktor für ein Jahr v = ( + i), für n Jahre vn. Aufzinsungsfaktor für ein Jahr q = + i, für n Jahre q n. 6