Funktionen untersuchen

Transkript

1 Funktionen untersuchen Mögliche Fragestellungen Definition: lokale und globale Extrema Monotonie und Extrema Notwendige Bedingung für Extrema Hinreichende Kriterien, Vergleich Krümmungsverhalten Neumann/Rodner 1

2 Mögliche Fragestellungen Welchen maximalen Definitionsbereich bzw. Wertebereich hat die Funktion? Existieren Definitionslücken? An welchen Stellen nimmt die Funktion lokal/global die größten/ die kleinsten Werte an? Wie verhalten sich die Funktionswerte, wenn x immer größer oder immer kleiner wird? An welchen Stellen/ in welchen Bereichen ist die Zunahme/ die Abnahme der Funktionswerte besonders groß/ am größten? Wo ist das Änderungsverhalten besonders stark? Welche Symmetrie besitzt der Graph? Wie kann der vorgegebene Graph möglichst gut durch einen Funktionsterm beschrieben werden? Neumann/Rodner 2

3 Beschreibung von Funktionsgraphen- Monotonie und Extrema Qualitative Betrachtung eines Funktionsgraphen (geeigneter Kontext) Veränderung der Funktionswerte in Abhängigkeit von x Formulierungen wie: fallen, Tal erreichen, wachsen, Gipfel erreichen Bedeutung der Begriffe wie monoton wachsen bzw. fallen oder Maximum bzw. Minimum wird vor diesem Hintergrund unmittelbar klar erreicht ein Maximum bzw. es existiert ein lokal maximaler Funktionswert an einer Maximumstelle Neumann/Rodner 3

4 Beispiele: An welchen Stellen existieren Extremstellen? Nennen Sie lokale und globale Maxima und Minima von f. Neumann/Rodner 4

5 Extrema Definition: Die Funktion f sei in D definiert mit. Die Stelle a heißt lokale Maximalstelle von f, wenn es eine Umgebung U(a) ]a ;a [ mit 0 gibt, sodass für alle x gilt f(x) f(a). globale Maximalstelle von f, wenn für alle x D gilt f(x) f(a). (analog für lokale und globale Minimalstellen) a D U (a) D Neumann/Rodner 5

6 Bemerkungen zur Definition: Definition von Extrema ist allgemein gehalten, d.h. es werden weder Stetigkeit noch Differenzierbarkeit noch ein Intervall als Definitionsmenge vorausgesetzt Forderung xu (a) unabdingbar Wieso? D ist Neumann/Rodner 6

7 Verwendung der Begriffe Neumann/Rodner 7

8 Notwendig - hinreichend Diese Begriffe sollten mit den Schülern unbedingt geklärt werden! A A B Aussage B folgt aus Aussage A, d.h. Aussage B ist notwendig für Aussage A und Aussage A ist hinreichend für Aussage B B Aussagen A und B heißen äquivalent, A gilt genau dann, wenn B gilt Neumann/Rodner 8

9 Hinreichendes Kriterium für strenge Monotonie: Monotoniekriterium als eigenständiger Ankerpunkt für die analytische Begründung von Kurvendiskussionen übliche Kriterien für lokale Extrema und Wendepunkte werden von dort aus begründet Satz: Die Funktion f sei im (echten) Intervall I differenzierbar. Wenn für alle Zahlen x aus I f (x) > 0 ist, so ist f streng monoton wachsend in I. f(x) 0 f ist strengmonotonwachsend (Analoges gilt für streng monotones Fallen.) Neumann/Rodner 9

10 Mithilfe der Ergebnisse über Monotonie kann man nach den Vorüberlegungen für differenzierbare Funktionen zunächst eine notwendige Bedingung für bestimmte Extremstellen angeben. Schüler können die folgenden Zusammenhänge selbst entdecken! Neumann/Rodner 10

11 f hat die Nullstellen bei x = -1 und x = 1 und für x<-1 ist f (x)>0, also ist f nach dem Monotoniekriterium in diesem Bereich streng monoton steigend. Für -1 < x < 1 ist f (x) < 0, f ist dort streng monoton fallend. Für x > 1 ist f (x) > 0, f also streng monoton steigend. An den Extremstellen x = 1 und x = -1 von f wechselt das Monotonieverhalten, diese Stellen sind die Nullstellen von f. Neumann/Rodner 11

12 Notwendige Bedingung für Extrema: Satz: Die Funktion f sei im Intervall I differenzierbar und die Zahl a im Innern des Intervalls sei eine Extremstelle. Dann gilt f (a) = 0. kurz: a ist Extremstelle f (a) = 0 Die notwendige Bedingung für die Existenz einer Extremstelle a ist f (a) = 0. Aufgabe : Beweisen Sie diesen Satz. Neumann/Rodner 12

13 Beweis dieses Satzes (für Maximalstelle a): Nach Definition für Extrema gilt in einer Umgebung von a f ( x ) x f ( a ) a Für den Limes von x 0 0 für für a geht der Differenzenquotient in den Differenzialquotient über. Für x a und x > a folgt f (a) 0, für x a und x < a folgt f (a) 0. Also muss wie behauptet f (a) = 0 gelten. x x a a Neumann/Rodner 13

14 Dass dieser Satz nicht umkehrbar ist, sollte den Schülern sofort am Beispiel veranschaulicht werden. Beispiel: f(x) = x³; a = 0 f ( a ) 0 a ist Extremstelle von f Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist also kein hinreichendes Kriterium für das Vorliegen eines Extremums an dieser Stelle. Neumann/Rodner 14

15 Neumann/Rodner 15

16 Praktische Bedeutung des Satzes: Die Bestimmung der Nullstellen der ersten Ableitung ermöglicht es, potentielle Extremstellen für eine in einem Intervall I definierte und dort bis auf endlich viele Stellen differenzierbare Funktion zu identifizieren. Neumann/Rodner 16

17 Ermittlung aller Extremstellen Zur Ermittlung aller Extremstellen einer Funktion f in einem Intervall I untersucht man: 1. die Stellen, die sich als Lösung der Gleichung f (x) = 0 ergeben, 2. die Stellen, an denen f nicht differenzierbar ist, 3. das Verhalten des Graphen von f an den Randstellen des Intervalls I Weitere Extremstellen kann es nicht geben. Neumann/Rodner 17

18 Ein Blick auf den Funktionsgraphen bzw. die Anwendung hinreichender Kriterien kann klären, ob Neumann/Rodner 18

19 Hinreichendes Kriterium: Vorzeichenwechsel Welche anschauliche Überlegung führt zusammen mit der notwendigen Bedingung zu einem hinreichenden Kriterium? Wie heißt dieses Kriterium? Neumann/Rodner 19

20 Hinreichende Kriterien für Extrema 1. Vorzeichenwechselkriterium Satz: Es sei f in einer Umgebung von a differenzierbar und es gelte f (a) = 0. Wenn in dieser Umgebung f (x) > 0 für x < a und f (x) < 0 für x > a gilt (Vorzeichenwechsel der Ableitung von + nach -), dann ist a eine isolierte Maximumstelle von f. (analog mit VZW von nach + für Minimumstelle) Neumann/Rodner 20

21 Welcher Fall liegt vor, wenn f auf beiden Seiten von a dasselbe Vorzeichen hat? auf beiden Seiten von a stets den Wert 0 besitzt? Was ist noch möglich? Die Ableitung f nimmt in jeder Umgebung von a sowohl positive als auch negative Werte an. Neumann/Rodner 21

22 Hinreichendes Kriterium mit zweiter Ableitung Satz: Es sei f in einer Umgebung von a zweimal differenzierbar. Weiter seien f (a) = 0 und f (a) 0. Dann ist a eine Extremstelle, genauer a ist Maximumstelle für f (a) < 0 und Minimumstelle für f (a)> 0. Geben Sie eine anschauliche Begründung dafür. Die Tangentensteigung, und damit die Ableitungsfunktion, hat also einen VZW von + nach -. Die Ableitungsfunktion f fällt also beim Durchgang durch a. Dies ist der Fall, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle negativ ist. (für Maximalstelle) Neumann/Rodner 22

23 Beweis: Für den Differenzenquotienten von f gilt f ( x ) f ( a ) f ( x ), da f (a) = 0 ist. x a x a Es sei nun f (a) < 0. Wegen lim xa f ( x ) x a f ( a ) 0 muss folglich in der Umgebung von a gelten f (x) < 0 für x > a und f (x) > 0 für x < a, und f hat wie behauptet einen VZW. (analog bei f (a) > 0) Neumann/Rodner 23

24 Vergleich der beiden hinreichenden Kriterien Formulierung und Beweis des 2. Kriteriums deuten an, dass VZW-Kriterium mächtiger ist! Für das 2. Kriterium gilt: zweifache Differenzierbarkeit ist als Voraussetzung gefordert, es wurde aus dem VZW-Kriterium gefolgert VZW-Kriterium ermöglicht bei einfachen Fällen noch Entscheidungen, wenn das 2. Kriterium versagt (Beispiel?) und Wer will sich schon bei komplizierten Funktionstermen mit dem Bestimmen der 2. Ableitung quälen? Neumann/Rodner 24

25 Vorzüge des 2. Kriteriums: es bezieht sich nur auf eine Stelle, während VZW- Kriterium sich auf Umgebung von a bezieht einfache algebraische Anwendung, wenn f vorhanden kann durch dieses Kriterium keine Entscheidung getroffen werden, kann man auch anders untersuchen Mit diesen beiden Kriterien kommt man in der Schule fast immer aus! Neumann/Rodner 25

26 Beispiel: Funktion mit Extrempunkt, für die keines der beiden Kriterien greift f : f ( x ) 2 0 sin 1 x x 2 für für x x 0 0 Da der Sinusterm nur Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann, existiert im Punkt (0 0) ein globaler Tiefpunkt. Neumann/Rodner 26

27 Wenn x von rechts (bzw. links) gegen 0 geht, so geht der Minuend ebenfalls von rechts (bzw. links) gegen 0, während der Subtrahend zwischen 1 und -1 oszilliert. In jeder Umgebung von 0 ändert f unendlich oft das Vorzeichen. Also ist das Vorzeichenwechselkriterium nicht anwendbar! Da f an der Stelle 0 nicht stetig ist, also auch nicht differenzierbar, ist das andere Kriterium auch nicht anwendbar. f ( x ) 2x2 0 sin 1 x cos 1 x für für x 0 x 0 Neumann/Rodner 27

28 Zusammenfassung Neumann/Rodner 28

29 Die Krümmung beschreibt qualitativ die Abweichung vom Geradeausfahren Neumann/Rodner 29

30 Tiefpunkt Hochpunkt Sattelpunkt Neumann/Rodner 30

31 Aufgabe: Modifizierung einer klassisch gestellten Aufgabe zur Kurvendiskussion Danckwerts/Vogel: Analysis verständlich unterrichten Neumann/Rodner 31

32 Vorschlag, wie sich die Aufgabe modifizieren lässt: Gegeben sei die Graphen einer Funktion und ihrer Ableitungsfunktion der Funktionsschar f 4 a x 3a mit fa (x) x² ; x ; a 0; a. 2a 2 Welcher Graph gehört zur Ableitungsfunktion f a? Begründe. Nenne Eigenschaften, die alle Graphen der Funktion f a besitzen. Zu welchem Scharparameter a gehört der dargestellte Graph der Funktionsschar f a? Neumann/Rodner 32

33 Welche Funktion der Schar besitzt eine Nullstelle bei x = 0,5? Überprüfe, ob alle Hochpunkte der Schar auf der Kurve g:g(x) = 2x² liegen. In welchen Punkten der Graphen von f a besitzt die momentane Änderungsrate einen lokalen Extrempunkt? Für a = 16/3 stellt der Graph von f für 0 x 4 die Geschwindigkeit (y in m/s) eines Objektes in Abhängigkeit von der Zeit (x in s) dar. Zu Beginn (x = 0) hat das Objekt bereits einen Weg von 2m zurückgelegt. Welche Strecke wurde insgesamt nach 4s zurückgelegt? Neumann/Rodner 33