wenn f ( x 0 ) der größte Funktionswert für alle x aus einer Umgebung Dieser größte Funktionswert f ( x 0 ) heißt relatives (lokales) Maximum

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1 R. Brinkmann Seite Etrempunkte ganzrationaler Funktionen Vorbetrachtungen und Begriffserklärungen Beim zeichnen eines Funktionsgraphen war es bislang unbefriedigend, den Hochpunkt und den Tiefpunkt nicht zu kennen. Mit Hilfe der Differentialrechnung wollen wir nun versuchen, dieses Problem zu lösen. Definition: Ein Punkt H( 0 f ( 0) ) auf dem Graphen von f ( ) heißt Hochpunkt, wenn f ( 0 ) der größte Funktionswert für alle aus einer Umgebung von 0 ist. Dieser größte Funktionswert f ( 0 ) heißt relatives (lokales) Maimum an der Stelle. 0 ( ( ) ) Ein Punkt T f auf dem Graphen von f heißt Tiefpunkt, wenn f der kleinste Funktionswert für alle aus einer Umgebung von ist. Dieser kleinste Funktionswert f ( ) heißt relatives (lokales) Minimum an der Stelle. Hochpunkte bzw. Tiefpunkte nennt man Etrempunkte des Graphen von f(). Der Wert eines Etrempunktes heißt Etremstelle, der Funktionswert einer Etremstelle heißt Etremwert. Bemerkung: Statt relatives Maimum schreiben wir rel. Ma. Statt relatives Minimum schreiben wir rel. Min. Statt H ( 0 f( 0 ) ) schreiben wir P Ma ( 0 f( 0 ) ) Statt T ( 0 f( 0 ) ) schreiben wir P Min ( 0 f( 0 ) ) Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

2 R. Brinkmann Seite f ():= Etremwert f( 0 ) H (Hochpunkt) Etremstelle f( ) Etremstelle Etremwert f( ) T (Tiefpunkt) Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

3 R. Brinkmann Seite Wie findet man nun die Etrempunkte des Graphen einer Funktion f()? Eine Tangente, die an einem Etrempunkt einer dort differenzierbaren Funktion angelegt wird, ist immer waagerecht, sie hat die Steigung Null. Da die Tangentensteigung in einem bestimmten Punkt auch immer die Steigung des Funktionsgraphen in diesem Punkt beschreibt, folgern wir daraus, dass die Steigung des Funktionsgraphen in einem Etrempunkt auch immer gleich Null ist. Wir erinnern uns daran, dass man aus der Ableitung einer Funktion die Ableitungsfunktion erhält. Diese beschreibt die Steigung der Funktion an jedem Punkt. Eine notwendige Bedingung für einen Etremwert ist also, dass die erste Ableitung an diesem Punkt Null ist. Notwendige Bedingung für ( lokale ) Etremstellen: f '( ) = 0 f ():= Etremwert f( 0 ) H (Hochpunkt) waagerechte Tangente Etremstelle f( ) Etremwert 0 5 f( ) 0 Etremstelle waagerechte Tangente T (Tiefpunkt) Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

4 R. Brinkmann Seite ' f() = D = f () = + 9 f f( ) f ( ) 0 5 An der Grafik sehen wir, dass an den Etremstellen das Vorzeichen der Steigung wechselt. Links vom Hochpunkt (relatives Maimum) ist die Steigung positiv und rechts vom relativen Maimum (rel. Ma.) ist die Steigung negativ. Links vom Tiefpunkt (rel. Min.) ist die Steigung negativ und rechts vom rel. Min ist die Steigung positiv. In einer Umgebung vom rel. Ma. bedeutet das für die Ableitungsfunktion, das deren Steigung negativ sein muss. In einer Umgebung vom rel. Min. bedeutet das für die Ableitungsfunktion, das deren Steigung positiv sein muss. Der Nachweis ob ein Etrempunkt Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, lässt sich auf zwei Arten führen. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

5 R. Brinkmann Seite Nachweis für Etrempunkte über Vorzeichenwechsel von f (). = ( )( ) f = f' = + 9 Notwendige Bedingung für Etrempunkte: f' = 0 + 9= 0 Stellen mit waagerechter Tangente sind = ; = Nachweis für Etrempunkte: f < < < > f' + + Bei = Vorzeichenwechsel von + nach rel. Ma. Bei = Vorzeichenwechsel von nach + rel. Min. Einsetzen der Werte in f ( ): f H rel. Ma. f T rel. Min. () = = ( ) f( ) f ( ) f ():= f () := wachsend fallend wachsend f' ( ) > 0 f' ( ) < 0 f' ( ) > 0 f' () = 0 f' ( ) = 0 Bemerkung: Die Bedingung für eine waagerechte Tangente f () = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Etrempunktes, ist dafür aber nicht hinreichend. Erst der Nachweis über einen Vorzeichenwechsel liefert eine hinreichende Bedingung und kennzeichnet den Etrempunkt als rel. Min. oder als rel. Ma. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 5 von

6 R. Brinkmann Seite Beispiel: f() = f ' = Notwendige Bedingung: f ' = 0 = 0 Waagerechte Tangente bei = 0 Überprüfung, ob bei = 0 für f ' ein Vorzeichenwechsel vorliegt. f' f' = < 0 > Es liegt an der Stelle = 0 für f ' / kein Vorzeichenwechsel vor. Das bedeutet, an der Stelle = 0 gibt es keinen Etrempunkt. Nachweis für Etrempunkte mit Hilfe der zweiten Ableitung von f(). Funktionsgleichung mit Ableitungen: f = f ' = + 9 f '' = 6. Stellen mit waagerechter Tangente: / = ± D f ' = = 0 + p = q= p D = q= = D = = p = + = = =. Überprüfung ob ein Etremwert vorliegt: f'' = f'' = 8 = 6> 0 rel. Min. bei = f'' = f'' = 6 6< 0 rel. Ma. bei =. Berechnung der Etremwerte: ( ) f = f = = f = f = = 5. Die Etrempunkte: Min ( ) P P Ma Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 6 von

7 R. Brinkmann Seite f( ) f ( ) f ( ) 0 5 Steigung von f'() an der Stelle = = ist negativ ist positiv das bedeutet f''( ) < 0 f''( ) > 0 f() hat einen Hochpunkt Tiefpunkt Zusammenfassung:. Notwendige Bedingung für Etrempunkte: f '( ) = 0 liefert die Stellen,,... mit waagerechten Tangenten. Nachweis auf Hochpunkt (rel. Ma.) bzw. Tiefpunkt (rel. Min.) Vorzeichenuntersuchung von f '( ) Nachweis über die zweite Ableitung Hat f '( ) an der Stelle einen Vorzeichenwechsel ( VZW ) Ist f ''( ) < 0 so hat f ( ) von + nach so hat f ( ) ein relatives Maimum bei H f ein relatives Maimum bei H f ( ( ) ) Hat f ' an der Stelle einen Vorzeichenwechsel ( VZW ) von nach + so hat f ( ) ein relatives Minimum bei T f ( ( ) ) > 0 so hat f ( ) ( ( ) ) Ist f '' ein relatives Minimum bei T f. Einsetzen der Werte in f() liefert die Funktionswerte (y Werte) der Etrempunkte. ( ( ) ) Bemerkung: Der Nachweis über die zweite Ableitung ist in den meisten Fällen der einfachste Weg zum Auffinden der Etrempunkte. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 7 von

8 R. Brinkmann Seite Fassen wir die Bedingungen für Etrempunkte zusammen: Hochpunkt = relatives Maimum Tiefpunkt = relatives Minimum hinreichende Bedingung: = < f ' 0 f '' 0 quadratische Gleichung hinreichende Bedingung: f ' = 0 f '' > 0 Kommentierte Beispiele: Beispiel :. Funktionsgleichung mit Ableitungen f ( ) = + f '( ) = f ''( ) = 6. Stellen mit waagerechter Tangente: f' ( ) = 0 = 0 0 0; = = =. Überprüfung ob ein Etremwert vorliegt: f'' = f'' 0 = < 0 rel. Ma. bei = 0 f'' = f'' = > 0 rel. Min. bei =. Berechnung der Etremwerte: 0 f ( ) = f ( 0) = f ( ) = f = 5. Die Etrempunkte: 0 PMa ( 0 ) PMin, Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 8 von

9 R. Brinkmann Seite f( ) f ( ) f ( ) 0 Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 9 von

10 R. Brinkmann Seite Beispiel :. Funktionsgleichung mit Ableitungen: f ( ) = + f '( ) = + 8 f ''( ) = + 8. Stellen mit waagerechter Tangente: f' = = 0 + = 0 quadratische Gleichung p p = q= D = / p = +, = ± D = 0,586 q= = D =. Überprüfung ob ein Etremwert vorliegt: f'' = f'' + = + + 8= < 0 rel. Ma bei = + f'' = f'' = + 8= > 0 rel. Min bei =. Berechnung der Etremwerte: ( ) f = f + = ,8 ( ) f = f = + 5,05 5. Die Etrempunkte: Ma ( + ) Min ( ) P,,8 P 0,586 5, f( ) f ( ) f ( ) Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 0 von

11 R. Brinkmann Seite Bemerkung: Zur Bestimmung der Etremwerte sind die Werte der Etremstellen möglichst genau in die Funktionsgleichung einzusetzen. Um Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichnen, reicht eine Genauigkeit von Stellen hinter dem Komma aus. Notwendige Bedingung, hinreichende Bedingung Svenja möchte selbst mit dem Auto zur Schule fahren. Eine notwendige Bedingung ist, dass sie eine gültige Fahrerlaubnis hat. Das allein reicht aber nicht aus, sie benötigt auch ein Auto. Herr Meier hat einen gültigen Führerschein. In seiner Garage stehen zwei betankte und zugelassene Autos, die ihm gehören. Dieser Sachverhalt ist hinreichend dafür, dass Herr Meier als Fahrer agiert. Aber zwei eigene Autos müssen nicht sein. Petra hat auch einen Führerschein, ihr steht ein fahrbereites, zugelassenes Auto zur Verfügung. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend, Petra darf unbesorgt fahren. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

12 R. Brinkmann Seite Relative und absolute Etrema Bislang sprachen wir nur von einem relativen Minimum, bzw. von einem relativen Maimum. Diese Etrema sind lokal. Wir betrachten nun eine Funktion auf ihrem maimalen Definitionsbereich D = IR ; ; Etremstellen y f ( ) absolutes Minimum f ( ) relatives Maimum f ( ) relatives Minimum T;T Tiefpunkte f( ) H H Hochpunkt f hat kein absolutes Maimum f( ) T Das Verhalten der Funktionswerte für immer kleiner werdende Werte, bzw. für immer größer werdende Werte soll nun betrachtet werden. T f( ) Für immer kleiner werdende Werte werden die Funktionswerte immer größer, gleiches gilt auch für immer größer werdende Werte. Wir schreiben: lim f = lim f = Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von

13 R. Brinkmann Seite Ist die gleiche Funktion auf einem Intervall D = [ a ; b ] definiert, dann gilt: ; ; Etremstellen y a ; b Randstellen f(b) f(a) f( ) f( ) H [ a ; b] f ( ) f ( ) f( ) H T;T f a f b Definitionsmenge absolutes Minimum absolutes Maimum relatives Minimum Hochpunkt Tiefpunkte Randetremum Randetremum T Liegt als Definitionsmenge ein Intervall vor, so sind die Funktionswerte auch an den Randstellen zu untersuchen. f( ) T a b Definition: Ist f ( 0 ) der größte oder kleinste Funktionswert in einer Umgebung von 0, so ist f ( 0 ) ein relatives Etremum. Ist f ( 0 ) der größte oder der kleinste Funktionswert innerhalb des Definitionsbereichs, so ist f ( 0 ) ein absolutes Etremum. Erstellt von R. Brinkmann p5_differentialrechnung_08.doc :00 von