ARBEITSUNTERLAGEN. zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

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1 ARBEITSUNTERLAGEN zum STARTERKURS an der UNIVERSITÄT DES SAARLANDES

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3 Vorbemerkung Ziel des Propädeutikums ist es, die Schulmathematik wieder ins Gedächtnis zu rufen und eine gemeinsame Grundlage für die Mathematikvorlesungen zu schaffen. Dementsprechend werden Sie in dieser Sammlung nur Aufgaben finden, die mit schulmathematischen Kenntnissen zu lösen sind, was jedoch nicht ausschließt, dass Ihnen einige der Aufgaben schwierig oder gar unlösbar erscheinen. Dennoch sollten Sie - unabhängig vom Schwierigkeitsgrad - zur Wiederholung oder Neuentdeckung des Schulstoffes alle Aufgaben angehen und durchrechnen. Nur so ist es möglich, ein Auge für mathematische Problemstellungen zu erhalten und immer wiederkehrende Muster zu erkennen.

4 Starterkurs Potenzgesetze. Addition und Multiplikation von Potenzen Vereinfachen Sie a) 2 n 5 n b) 2 n+ ( ) n+ c) d) (a+a2 ) 2 a 2 e) f) 5 0 g) (p+q) 2 (p q) 2 h)(2r+ 3s) 2 ( 3s+ 2r) 2 i) (42 9) n (2 3) n.2 Potenzieren von Potenzen Vereinfachen Sie folgende Terme ( ) 3 a) (3a 2 b 2 ) 3 b) (a n+ b 3 ) 3 5a c) 4 b 3 d) (r2 s 2 t) 2 (r2 s 2 ) 2 3c rs r s 2 Gleichungen 2. Einsetzungsverfahren Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens. a) 5 47 = 6y 9 2y = 39 b) 6+y = y = Gleichsetzungsverfahren Bestimmen Sie die Lösungsmenge mit Hilfe des Gleichsetzungsverfahrens. a) 2y = y = 9 2 b) 8( ) 5(y+) = 2 3(+2) 6(y+2) = Gemischte Aufgaben Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungssysteme. a) y = 5 y = 9 4 b) y y 4 = 3 7 = 8 5 c) 3y+5λ = 0, 2+5λy = 0 λ R konst. Starterkurs

5 2 Starterkurs Gleichungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgenden Aussageformen. a) = 0 b) ( 3) (2+4) = 0 c) (2 3) 2 = 0 d)(+6) 2 ( 8)(+ 8) = (+0) 2 e) = 0 f) = Definitions- und Lösungsmengen Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) 2 ln() = b) ln( 4 ) 2 ln() = ln 64 c) 0 = 7 d) 3 +2 = 9 e) e = e 2 f) = Vollständige Induktion 3. Summenformeln Beweisen Sie, dass folgende Summenformeln für alle n N gelten. a) c) e) g) i) j) k = 2 n(n+) b) 2k = n+n 2 d) 2 k = 2 n f) k=m k=m (2k )(2k+ ) = k a k = m n = n m+ 2 n 2n+ h) k 2 = n(n+ )(2n+ ) 6 (2k ) = n 2 (4k ) = n+2n 2 k=0 q k = qn+ q für R\{}, m n (a m + a n ) für a k = a+(k ) d (a, d konstant), m, n N. 2 Starterkurs 2

6 3 Starterkurs Teilbarkeit Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln (n N): a) n 3 n ist durch 6 teilbar. b) 4 3 n + 2n c) 3 n + ist für alle ungeraden Zahlen n N durch 4 teilbar. d) n n ist ein Vielfaches von Ungleichungen Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen: a) Für alle n N mit n 2 und a >, a = 0 gilt: (+a) n > +na b) Für alle n N mit n 5 gilt: 2 n > n 2 4 Betragsgleichungen, Betragsungleichungen 4. Betrag einer Funktion Zeichnen Sie zu dem angegebenen Graphen G f den Graphen G f. f() 4.2 Zeichnen von Betragsfunktionen Zeichnen Sie die Funktionen f() = 5 2 und f() = Starterkurs 3

7 4 Starterkurs Berechnung von Lösungsmengen Berechnen Sie die Lösungsmengen der folgenden Betragsgleichungen bzw. Betragsungleichungen. a) 2 +2 = 0 b) 3 +2 < 5 c) + 3 < 2 d) < 7 e) f) 2 2 = 0 g) 2 2 = 0 h) 2 4 = 0 i) > 4 j) = 2 k) 2 2 l) m) Graphische Darstellung a) Stellen Sie die Menge M graphisch dar: M = {(, y) 8+ 5y y 36 0 y 0 4 y 3} b) Skizzieren Sie die Lösungsmenge des Ungleichungssystems in einem Koordinatensystem. +4y 600 y 20 +y y Berechnung von Lösungsmengen Bestimmen Sie alle R für die gilt: a) 3 < b) + 3 > 3 c) d) 2 7 < 7(+ 2) Folgen und Summen 5. Bildungsgesetze Bestimmen Sie das Bildungsgesetz(a k ) und die Summe der ersten zehn Glieder der Folgen. a) 3, 6, 2, 24,... b) 2, 0, 2, 24,... c) 2, 4, 6, 8,... d), 7, 7, 3, 49,... Bestimmen Sie das Bildungsgesetz(a n ) der Folgen und berechnen Sie a 20. e) 3 2, 3 4, 3 8, 3 6,... f) 2, 3 4, 4 9, 5 6,... g), 2, 4, 8,... 4 Starterkurs 4

8 5 Starterkurs Arithmetische und geometrische Folgen 4 a) Für eine arithmetische Folge(a k ) gilt a 5 = 5 und a k = 0. Bestimmen Sie a und a 4. b) b 4 = 5 2 und b 7 = 5 6 sind die Glieder einer geometrischen Folge(b k). Berechnen Sie Berechnen Sie aus den angegebenen Daten das Bildungsgesetz und die Summe ersten 20 Glieder der Folge. c) (a k ) ist eine geometrische Folge mit a 2 = 25 und a 5 = d) (b k ) ist eine arithmetische Folge mit b 2 = 6000 und 0 b k = k=4 b k. 5.3 Summen Berechnen Sie den Wert der Summen. a) d) 2 77 b) c) k=5 k=3 k= k e) 2 k 4 + 3k f) k=4 k=5 k= 5 5 k 2 4 k Binomialkoeffizienten Berechnen Sie: a) ( ) b) ( ) n ( ) n c) k d) ( ) n + k ( ) n k e) ( ) ( ) 5 7 Berechnen Sie den Wert der Summen. 7 ( ) 5 ( ) 2 a) k b) ( 2) j k+ 4 j+ 2 k= 3 j= 2 6 Ableitungen 6. Elementare Ableitungen Differenzieren Sie folgende Funktionen. 5 Starterkurs 5

9 6 Starterkurs 6 a) f() = 3 b) f() = 2 + c) f() = +3 2 d) f() = 5 5 e) f() = +sin() f) f() = 2 sin() 2 g) f() = sin()+cos() h) f() = 2 cos() 4 2 i) f() = cos() 4 j) f() = ( +2) Produktregel Differenzieren Sie mit Hilfe der Produktregel a) f() = (sin()) 3 b) f() = (cos()) 3 c) f() = 2 d) f() = 3 e) f() = ( 5 2 )( 2 4 ) f) f() = ( 2+ 2 ) sin() 6.3 Quotientenregel Differenzieren Sie mit Hilfe der Quotientenregel. a) f() = sin() cos()+ d) f() = 2 sin() b) f() = 2 e) f() = tan() c) f() = cos() f) f() = cot() Kettenregel Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel. a) d) b) sin 3 c) cos() 2 sin n () e) e f) ln( 2 3) Differenzieren Sie die folgenden Terme nach, y und z. g) (yz) h) (yz ) Aufgabenteile Teile g) und h) aus den Klausuren Mathematik A, WS 994/95, SS 995, WS 995/96 und später. 6 Starterkurs 6

10 7 Starterkurs 7 7 Grenzwerte 7. Graphische Darstellung Bestimmen Sie den Grenzwert lim f() und skizzieren Sie den Graphen der Funktion. a) f() = + 2 b) f() = Elementare Funktionen Bestimmen Sie die Grenzwerte lim f() a) f() = b) f() = 2 c) f() = d) f() = (+)2 7.3 Folgen Bestimmen Sie die Grenzwerte folgender Folgen für n. a) a n = n+ n b) a n = n+ n n c) a n = ( n n ) n d) a n = (n n 2 + 8n+ 3) 7.4 Funktionen Bestimmen Sie die Grenzwerte. Bei den ersten vier Aufgaben nicht mit der Regel von L Hospital! a) lim 2 + d) lim n+ a n+ a a g) lim n a (n N) e j) lim a 0 + sin(b) b) lim e e) lim 0 h) lim n m k) lim 0 (e 3 5) c) lim 2 ( 2) ln() f) lim b a b i) lim (a > b) a 2 a 2 7 Starterkurs 7

11 8 Starterkurs 8 8 Stetigkeit 8. Unstetigkeitsstellen Untersuchen Sie die Funktion f an der angegebenen Stelle 0 auf Stetigkeit (Begründung). 2( ) 2 a) f() = 2 0 = 2+ 2 sin() > 0 b) f() = +2 0 c) f() = > = 6 0 = 0 0 = 6 3 < d) Wie ist a R zu wählen, damit folgende Funktion f : R R in 0 = 2 stetig ist? f() = > 2 a = < 2 e) Für welche Werte b R ist die folgende Funktion f :], [ R stetig? e + e 2 = 0 f() = ln(+ ) b = 0 f) Bestimmen Sie a R so, dass f : R R an der Stelle 0 stetig ist. f() = f() = { ( a) > 4 a a 4 2 < 2 0 = 0 = Definition Ist für die Stetigkeit einer Funktion f die Bedingung, dass der Grenzwert von lim 0 f() eistiert a) notwendig, aber nicht hinreichend b) hinreichend, aber nicht notwendig c) notwendig und hinreichend? Geben Sie den Wahrheitswert folgender Aussagen begründet an. a) Sind die Funktionen f, g an der Stelle 0 unstetig, so auch die Funktion f + g. b) Ist f : [a, b] R stetig und besitzt in ]a, b[ eine Nullstelle, so haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen. 8 Starterkurs 8

12 9 Starterkurs 9 9 Gerade, Tangente, Normale, Newton-Verfahren 9. Geradengleichung Berechnen Sie durch die in a) und b) gegebene Eigenschaft jeweils die Steigung der Geraden g. a) g schneidet die Gerade mit der Gleichung f() = 2+ 3 rechtwinklig auf der y Achse. b) g hat die Gleichung 5 8y+ 7 = 0. Bestimmen Sie mittels der angegebenen Eigenschaften die Gleichung der Geraden. c) Die Gerade ist senkrecht zur Geraden mit der Gleichung y = 3 und schneidet die y Achse bei 2. d) P(2 ) g und g ist parallel zur y Achse. e) Die Gerade gehört zur Geradenschar mit der Gleichung y = 2 + n und hat mit der Normalparabel genau einen Punkt gemeinsam. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung y = f) Wo und unter welchem Winkel schneidet g die Achse? g) Berechnen Sie die Gerade h, die durch( 2 3) geht und g im rechten Winkel schneidet. 9.2 Tangente Bestimmen Sie alle Punkte des Graphen von f, in denen der Graph die Steigung m hat. a) f() = 4, m = b) f() = , m = 0 c) f() =, m = Normale a) Welche Normale des Graphen von f : R + R; f() = geht durch den Punkt(0 3)? b) Gegeben sei die Gerade g : y = 2+3 und die Parabel p : y = 2 + a(+ ), mit a R. Für welche a R schneiden sich g und p zweimal/einmal/nicht? 9.4 Newtonverfahren Mit Hilfe des Newton-Verfahrens berechne man die kleinsten positiven Lösungen der folgenden Gleichungen: a) e = (+ ) 2 5 b) 3 + e = 2. 9 Starterkurs 9

13 0 Starterkurs 0 0 Integralrechnung 0. Stammfunktion 2 Geben Sie zu den folgenden Funktionen f : D ma R jeweils eine Stammfunktion an. a) f() = 2 3 b) f() = 2 c) f() = a 2 + b d) f() = e) f() = (3 4) 7 f) f() = 7 6 Welche der folgenden Funktionen sind Stammfunktionen von i) +e 2 ii) e + e iii) +e 2. 2 (e + e ) 2? (Begründung!!) 0.2 Partielle Integration, Substitution 3 Berechnen Sie die folgenden Integrale (sofern eistent). Entscheiden Sie sich für den günstigsten Weg. a) d) g) j) π m) p) sin()d b) π 0 2 cos()d c) 3 d e) +d f) 2 3 e d h) (2 ) 4 d k) 0 ( 2 ) d n) 2 y dy q) cos(+ 3 )d i) d (3+2) 2 l) sin() cos 3 ()d o) e d r) 0 cos 2 ()d ln()d 2 d 4+3d y d d 2 Zweiter Aufgabenteil aus den Klausuren Mathematik A, SS 997, WS 997/98, SS Aufgabenteile o), p), q) bzw. r) stammen aus der Klausur Mathematik A, SS 997 bzw. WS 93/94; Teil g) aus der Klausur SS Starterkurs 0

14 Starterkurs Kurvendiskussion. Gebrochen rationale Funktionen Ermitteln Sie von den gebrochen rationalen Funktionen y = f() die Nullstellen, Polstellen (mit zugehöriger Vielfachheit) und Lücken. Geben Sie die Asymptoten an und skizzieren Sie den Graphen von f. a) f() = b) f() = ( 2)(+ 3) c) f() = 2 d) f() = ( 2 + )( 3) 2.2 Abschnittsweise definierte Funktionen Untersuchen Sie folgende Funktionen f : R R auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in R. { 2 für a) f() = für < { für 0 b) f() = 2 für > 0 { +2 für c) f() = für <.3 Wendepunkt, Stationäre Stelle a) Eine Polynom P vom Grad 4 ist symmetrisch zur y-achse. P hat im Punkt P (2 0) die Steigung 2 und in P 2 ( y 2 ) einen Wendepunkt..) Wie lautet die Funktionsgleichung? 2.) Ermitteln Sie die Gleichung der Wendetangente. b) Die Funktion f : R R sei definiert durch f() = a 3 + b 2 + c, mit a, b, c R und a = 0..) Unter welchen Bedingungen hat der Graph keine waagerechten Tangenten? 2.) Welche Bedingungen müssen a, b und c erfüllen, damit die Achse Tangente an den Graph ist? c) Es sei f t () = t ) Diskutieren Sie die Funktion in Abhängigkeit von t R 2.) Bestimmen Sie t, so dass der Wendepunkt die Abszisse 3 hat. Starterkurs

15 2 Starterkurs 2.4 Monotonie Sei f : R R definiert durch f() := { (e ) für = 0 für = 0 a) Zeigen Sie, dass f stetig und differenzierbar ist. Untersuchen Sie f auf Stetigkeit. b) Berechnen Sie lim f() und lim f(). c) Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes zeige man, dass f im Intervall ] 2, [ ein lokales Minimum besitzt. d) Zeigen Sie, dass f im Intervall], 2] streng monoton fallend ist. e) Skizzieren Sie f. 2 Abituraufgaben 2. Schriftliche Abiturprüfung 985 Gegeben ist die Funktionenschar f a : D ma R; (+ 2a) e 2+ 2a, a R\{0} a) Zeigen Sie: Die Schaubilder aller Funktionen der Schar schneiden die -Achse unter dem gleichen Winkel. Geben Sie diesen Winkel an. b) Berechnen Sie die Gleichung der Kurve, auf der alle Etrempunkte der Kurven der Schar f a liegen. c) Diskutieren Sie die Funktion f. d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die das Schaubild von f im ersten Quadranten mit der -Achse einschließt. e) Ermitteln Sie durch Rechnung diejenigen Punkte P(k 0) der -Achse, von denen aus man zwei, eine bzw. keine Tangente an das Schaubild von f legen kann. 2 Starterkurs 2

16 3 Starterkurs Schriftliche Abiturprüfung 989. Bestimmen Sie eine Funktion f : R R mit folgender Eigenschaft f() = 2+ 0 f(t)dt. 2. Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung y = Bestimmen Sie die Punkte auf der Parabel, die vom Koordinatenursprung minimalen Abstand haben. Wie groß ist dieser Abstand? 3. Gegeben ist die Funktion f : ] ( ) 2, [ R, ln 2. Zeigen Sie, dass diese Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion + (Definitionsmenge und Funktionsterm). 2.3 Schriftliche Abiturprüfung 990 Gegeben ist die Funktionenschar f t : D ma R; ln(t+)+t, t R\{0}. Geben Sie in Abhängigkeit von t die maimale Definitionsmenge an. 2. Berechnen Sie die Etremstellen und die Art der Etrema der Funktionen f t. Bestimmen Sie die Gleichung der Kurve, auf der alle Etrempunkte liegen. 3. Zeigen Sie, dass für genau ein t R\{0} der Graph der Funktion f t and der Stelle = eine waagrechte Tangente hat, und geben Sie dieses t an. 4. Diskutieren Sie f. 5. Es sei t > 0. Der Graph der Funktion f t umschließt mit der -Achse zwischen der Nullstelle und der Geraden mit der Gleichung = t e t eine Fläche. Zeigen Sie, dass ihr Inhalt unabhängig von t ist. 3 Starterkurs 3