Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010

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1 Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen Klausur, in der 6 Aufgaben gestellt wurden. Um die Klausur zu bestehen, mussten mindestens 4 von 9 möglichen Punkten erzielt werden. Von den 7 Teilnehmerinnen und Teilnehmern haben 3 die Prüfung bestanden. Zugelassen waren ein Taschenrechner, eine mathematische Formelsammlung sowie entsprechende Literatur. Aufgabe (6 Punkte Die Zahlenfolgen ( a n n N und ( b n n N seien konvergent. Prüfen Sie, ob die folgenden Aussagen richtig oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung durch einen kurzen Beweis oder durch ein Gegenbeispiel. (a (b lim ( ( 2 an + b n lim a n + lim lim a n lim ( an n ( (c a n für alle n N b n a n n N 2 ist eine konvergente Zahlenfolge. (d lim a n ( n an konvergiert. n (a Die Aussage ist richtig. Sie folgt aus den Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen. (b Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist a n n n. (c Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist a n n. (d Die Aussage ist richtig. Wendet man das Wurzelkriterium auf die Reihe mit den Summanden ( n an a n an, so erhält man lim n n lim an und daraus folgt die Konvergenz der Reihe.

2 Aufgabe 2 (2 Punkte Die Funktion f : R + R sei definiert durch f(x ln(x x. (a Zeigen Sie, dass die Funktion an der Stelle x e ihr globales Maximum annimmt. (b Beweisen Sie mittels (a die Ungleichung π e < e π. (a Es gilt f (x ln x x 2 x e. Da f (x > für x < e und f (x < für x > e gilt, ist die Funktion f für x < e streng monoton wachsend und für x > e streng monoton fallend. Daher nimmt die Funktion an der Stelle x e ihr globales Maximum an. (b Nach Teil (a gilt für alle positiven Zahlen x e die Ungleichung f(x ln x x < f(e e. Also ist ln( x e e ln x < x. Wendet man auf diese Ungleichung die monotone e-funktion an, so ergibt sich x e < e x. Setzt man speziell x π, so wird daraus π e < e π. 2

3 Aufgabe 3 (3 Punkte Die Funktion F : R + R sei definiert durch F (x (a Berechnen Sie die Ableitung F (x dieser Funktion. (b Ermitteln Sie den Grenzwert lim x F (x ln x. x e t t dt. (a Der Integrand et t ist in R + stetig, und daher ergibt sich nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung F (x ex x. (b Wegen F ( und ln liegt ein Grenzwert der Form vor. Dieser kann mit der Regel von l Hospital bestimmt werden, da F und ln x auf R + differenzierbar ist und dort d dx ln x gilt. Es ist lim x F (x lim d dx ln x x und daraus folgt lim x F (x ln x e. e x /x /x lim x ex e 3

4 Aufgabe 4 (4 Punkte Das Gebiet Ω R 2 sei berandet durch y, y x 2 und x. (a Skizzieren Sie das Gebiet Ω. (b Berechnen Sie das Integral Ω x cos y d(x, y. (a Skizze:.25 Integrationsbereich.75 y.5.25 (b Es ist x Ω x2 x cos y d(x, y x cos y dy dx x sin x 2 dx 2 cos x2 ( cos. 2 4

5 Aufgabe 5 (5 Punkte (a Bestimmen Sie alle linearen Abbildungen f : R 2 R 2 deren ( Kern und Bild mit dem vom ersten kanonischen Einheitsvektor e aufgespannten Unterraum übereinstimmen. Geben Sie die zugehörigen Abbil- dungsmatrizen an. (b Warum kann es keine lineare Abbildung f : R 3 R 3 geben, deren Kern und Bild übereinstimmen? ( (a Da e im Kern liegen soll, muss f(e die erste Spalte der Abbildungsmatrix A sein. Da e im Bild liegen soll, muss ( f(e 2 ein von b verschiedenes Vielfache von e sein, d. h. f(e 2 be mit b muss die zweite Spalte von A sein. Somit ergibt sich notwendigerweise ( f : R 2 R 2 b, f(x Ax x mit b. Diese Bedingungen sind auch hinreichend: Das Bild ergibt sich aus dem Spann der Spalten von A, d. h. Bild(f span{be } span{e }. Der Kern ist die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax ( b ( x x 2 ( bx2! ( ( λ besteht also genau aus Vektoren x λe mit λ R. (b Aus der Dimensionsformel dim Kern(f + dim Bild(f dim R 3 3 folgt mit Kern(f Bild(f und somit dim Kern(f dim Bild(f ein Widerspruch für die ungerade Dimension 3., 5

6 Aufgabe 6 (2 Punkte Gegeben ist die Matrix A ( (a Bestimmen Sie alle Eigenwerte der Matrix A. Welches sind die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte? Geben Sie die geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte an, ohne die Eigenräume zu berechnen. (b Bestimmen Sie die Eigenräume von A. (c Geben Sie die Jordan-Normalform von A und die zugehörige Transformationsmatrix T an. (d Berechnen Sie die Potenzen A n für beliebiges n N. (a Charakteristisches Polynom: p(λ λ 2 Spur(Aλ+det(A λ 2 3λ+2. mit Nullstellen Eigenwerten: λ, λ 2 2. Beide algebraische Vielfachheiten. Wegen geom. Vielfachheit alg. Vielfachheit sind auch beide geometrischen Vielfachheiten. (b Lösung der beiden 2 x 2 linearen Gleichungssysteme (A λ j Ix für j {, { 2} ( liefert: } { ( } 2 E s : s R und E 3 2 t : t R ( ( 2 (c Jordan-Normalform ist Λ T 2 AT mit T. 3 (d A n ( T ΛT n ( ( T Λ n T ( n 3 2 ( n (