Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1

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1 Studiengang: Matrikelnummer: Z Punkte Note Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen aber keine Vorlesungsoder Übungsmitschriften, Formelsammlungen aber keine Lehrbücher, die vorgegebene Tabelle von Grenzwerten, Reihen, Grundintegralen und Integrationsformeln, Taschenrechner (auch grafikfähig) aber ohne Computer-Algebra-System (CAS). Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt bzw. auf separaten Blättern. Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem Lösungsblatt Ihre Matrikelnummer gut leserlich anzugeben. Der Lösungsweg ist stets anzugeben, er sollte in allen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich erkennbar, begründet und nachvollziehbar sein. Das gilt insbesondere für auftretende Integrale, die durch Anwendung geeigneter Integrationsmethoden zu lösen sind. Nur dann kann nach detaillierter Bewertung die volle Punktzahl erreicht werden. Viel Erfolg! Aufgabe : 7 Punkte (a) Bestimmen Sie alle Lösungen z C der Gleichung z 4 ( i 3 ) 8 = in exponentieller Form z = re iϕ (r >, ϕ < π). (b) Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Menge der komplexen Zahlen z = x + iy, die gleichzeitig folgende Bedingungen erfüllen: z und Im(z) > Im(iz). (a) Wir setzten w = i 3 und stellen w in exponentieller Form dar. Offenbar ist w = + 3 = und ( ) arg w = ϕ = arctan + π = π π = 5 6 π, wobei π zum Winkel addiert werden musste, da w im. Quadranten liegt. Wir erhalten w = e 5 6 iπ und damit w 8 = 56e 3 iπ = 56e 3 iπ. Damit müssen wir nun die Gleichung z 4 = 56e 3 iπ+kπi, lösen. Dazu nutzen wir die bekannte Lösungsformel und erhalten z k = 4e iπ( 6 + k), k =,,, 3. Damit ergeben sich die Lösungen z = 4e iπ 6, z = 4e iπ 3, z = 4e iπ 7 6, z3 = 4e iπ 5 3.

2 (b) Die Ungleichung z, ist äquivalent zu z 4 und beschreibt damit das Innere und den Rand eines Kreises um dem Koordinatenursprung mit Radius 4. Für die Ungleichung Im(z) > Im(iz) stellen wir zunächst fest, dass Im(z) = y und Im(iz) = Im(ix y) = x. Die Ungleichung y > x beschreibt nun die Fläche oberhalb des Graphen zu y = x. Der grüne Bereich in der Skizze markiert die Menge der komplexen Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen. Der Rand des Kreises gehört dabei zur Menge, der Graph von y = x dagegen nicht. Im z = 4 4 y = x 3 Re Aufgabe : 8 Punkte (a) Bestimmen Sie die nachstehenden Folgengrenzwerte, sofern sie existieren. Leiten Sie Ihre Ergebnisse rechnerisch her bzw. begründen Sie sie: ( ) n+ n (i) lim n + 8 n+ + ( ) n (ii) lim. 3n (b) Bestimmen Sie alle a R, für die die Reihe Sie die Summe der Reihe für a = 5. n konvergiert. Berechnen ( a) n+ (a) (i) ( n ) n+ lim n + ( n ) n ( n n + n + ( (n + n ( ( + n ) ( n n ) ) ) n lim + n ) ) n = (e ) = e.

3 (ii) 8 n+ + ( ) n lim 3n (b) Für die geometrische Reihe gilt Aufgabe 3: Gegeben sei f a (x) = n ( a) n+ = ( a) 8 8 n + ( ) n 8 n 8 n q n =, falls q <. Es gilt q n ( a) = n ( a) das heißt die Reihe konvergiert genau dann, wenn Dies ist für a < und a > 4 erfüllt. Für a = 5 folgt n ( 3) = ( ) n = n+ ( 3) 3 6 a ( ) a + x e ax mit konstantem a >. 6 + ( 8 )n 8n = 6. 8 n ( ) n, a < und damit < a. ( 3 ) =. Punkte (a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f a und die Schnittpunkte S = (s x, s y ) des Graphen von f a mit den Koordinatenachsen. (b) Ermitteln Sie Art und Lage der lokalen Extremstellen und die dazugehörigen Extremwerte von f a. (c) Bestimmen Sie die Grenzwerte von f a für x und x. (d) Skizzieren Sie den Graphen von f a für a =. (a) Die Funktion f a ist auf ganz R definiert. Im Schnittpunkt mit der x-achse (Nullstelle) ist s y = und s x = a (denn e ax ). Im Schnittpunkt mit der y-achse ist s x = und s y = f a () = a. (b) Die erste Ableitung ist nach der Produktregel ( ) ( a f a(x) = e ax a a + x e ax = a ) ax e ax. Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum: Da e ax, ist f a(x) = a ax = a x = a. a Weiterhin stimmt wegen e ax > das Vorzeichen von f a(x) mit dem Vorzeichen von a ax (lineare Funktion mit negativem Anstieg) überein, d. h. links von a der Nullstelle der Ableitung ist f a(x) > und somit f a monoton wachsend und rechts davon f a(x) < und somit f a monoton fallend. Wir haben also ein lokales Maximum an der Stelle x max = a mit dem Funktionswert f a (x max ) = a e a a. a

4 (c) Es gilt sowie lim x ( ) a + x e } }{{} ax {{} lim f a(x) x x + x a e ax } {{ } Typ = = = L Hosp. lim x ae ax = =. (d) y e x Aufgabe 4: Gegeben sei f(x) = x 7 x 3 + 9x. 7 Punkte (a) Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. Fassen Sie dabei ggf. auftretende Logarithmen nach den Logarithmengesetzen zu einem einzigen Logarithmus zusammen. (b) Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral f(x) dx konvergiert. (a) Da der Integrand eine rationale Funktion ist, ist die Standardmethode die Partialbruchzerlegung. Vorherige Polynomdivision ist nicht nötig, da der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Der Nenner ist offenbar gleich x(x + 9), d. h. wir haben die einfache reelle Nennernullstelle x = sowie den quadratischen Ausdruck x + 9 ohne reelle Nullstellen. Der dazugehörige Ansatz ist x 7 x 3 + 9x = A x + Bx + C x + 9, dies führt nach Multiplikation mit dem Nenner und Zusammenfassen gleicher Potenzen auf x 7 = A(x + 9) + (Bx + C)x = (A + B)x + Cx + 9A. Koeffizientenvergleich führt nun auf die Gleichungen A + B =, C =, 9A = 7, ()

5 aus denen A = 3, B = 4 und C = folgt. (Man kann auch A bereits durch Einsetzen der Nullstelle x = in () ermitteln und den Rest entweder durch Koeffizientenvergleich wie oben oder durch Einsetzen zweier weiterer Punkte bestimmen.) Damit können wir integrieren: x 7 x 3 + 9x dx = ( 3 x + 4x ) dx = 3 ln x + ln(x + 9) + C. x + 9 (Bei dem zweiten Integral benutzt man entweder die Substitution t = x + 9 oder direkt die Beziehung g (x) g(x) dx = ln g(x) + C vom Formelblatt Grundintegrale.) Umformung nach den Logarithmengesetzen führt zu x 7 x 3 + 9x dx = ln (x + 9) + C. x 3 (b) f(x) dx a a ( f(x) dx a ln (a + 9) a 3 } {{ } } {{ } ) ln 9 =, d. h. das uneigentliche Integral divergiert. Aufgabe 5: Gegeben sei die π-periodische Funktion f mit f(x) = { π+x, π x < 6 Punkte π x, x < π. (a) Skizzieren Sie die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [ π, π]. (b) Bestimmen Sie die Fourierkoeffizienten und die Fourierreihe f(x) (Darstellung mit Summenzeichen) unter Verwendung von Symmetrieeigenschaften von f. (c) In welchen Punkten konvergiert die Fourierreihe gegen die Funktion? (Begründung!) (a) Die Funktion ist stetig und stückweise linear: y π π π π π x (b) Weil f gerade ist, ist die Fourierreihe von f eine reine Kosinusreihe, d. h. von der Form ˆf(x) = a + a k cos kx. k=

6 Berechnung der a k für k > : a k = π π x cos kx dx = π π x sin kx π π k π ( ) sin kx dx π k = π sin kx dx = π cos kx kπ k π = ( ( ) k ) k π { falls k = n, n > = falls k = n + (n+) π Für k = erhalten wir hingegen: a = π π π x dx = π ( ) πx x π 4 = π ( π π 4 ) = π. Damit lautet die Fourierentwicklung ˆf(x) = π 4 + cos(n + )x. (n + ) π (c) Die Funktion f ist stückweise stetig differenzierbar und überall stetig. Daher konvergiert die Fourierreihe für alle x R gegen die Funktionswerte f(x). Aufgabe 6: Gegeben seien A = 3 a und y = b Punkte (a) Für welche a R besitzt das homogene Gleichungssystem A x = unendlich viele Lösungen? Geben Sie die allgemeine Lösung dieses Systems und die Dimension des Lösungsraums für diesen Fall an. (b) Für welche a, b R hat das lineare Gleichungssystem A x = y keine bzw. genau eine Lösung? (a) Zwei schnelle Wege sind möglich, den Parameter a für unendlich viele Lösungen des homogenen Gleichungssystems zu bestimmen: Durch Nullsetzen der Determinante (was überflüssig ist, da man man dies auch aus dem Ergebnis des Gauß-Algorithmus ablesen kann und wir diesen zwecks Bestimmung der allgemeinen Lösung ohnehin durchführen müssen) oder mittels Umformung durch Gauß- Algorithmus. Die Determinante von A ist 3 a 4 3 4! = a a + 6 +! = = a = 6 Beim Gauß-Algorithmus kann man in Hinblick auf Aufgabe (b) gleich die rechte Seite mit betrachten und somit auch auf das inhomogene Gleichungssystem

7 schließen: x x x 3 3 a 4 b a + 6 b 5 a + 6 b Die Matrix hat somit für den Fall a = 6 den Rang (für alle anderen a ist der Rang 3, so dass das homogene Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt). Die Dimension des Lösungsraumes für a = 6 ist somit 3 =. Für die Lösung des Gleichungssystems in diesem Fall verwenden wir die Zeilen mit den Pivot-Elementen und der rechten Seite : 3 5 Da wir in der zweiten Spalte kein Pivot-Element haben, wählen wir einen Paramter: x = t, t R 5x x 3 = x 3 = 5t x + 3x x 3 = x = t = x = t, t R. 3 Auch hier könnte man noch einmal auf die Dimension des Lösungsraumes schließen. Die Gerade führt zwar durch den dreidimensionalen Raum, aber die Dimension der Gerade selbst ist. (b) Falls nicht schon bei Aufgabe (a) geschehen, muss man jetzt den Gaußalgorithmus mit der gegebenen rechten Seite durchführen. Dann hat man folgende letzte Zeile: a + 6 b Aus dieser lassen sich folgende Szenarien ableiten: keine Lösung in Fall a = 6 und b genau eine Lösung im Fall a 6 (hier ist b beliebig). Zusatz - Aufgabe: Berechnen Sie näherungsweise das Integral x + dx, indem Sie den Integranden durch sein Taylorpolynom. Grades in der Entwicklungsstelle x = approximieren. e x 3 Punkte

8 Die ersten beiden Ableitungen des Integranden f sind f (x) = ex (x + ) e x (x + ) = xex (x + ), f (x) = (xex + e x )(x + ) xe x (x + ) (x + ) 4 = (x + )e x (x + ) 3. Im Entwicklungspunkt x = haben wir die Taylorkoeffizienten a = f() =, a = f () =, a = f ()! =. Das Taylorpolynom zweiten Grades von f im Entwicklungspunkt x = ist somit T (x, ) = f (n) () (x ) n = + x n!. Als Näherung für das gesuchte Integral erhalten wir damit e x x + dx ) ( + x dx = ) (x + x3 = =. 6.