Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

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1 Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengang Bauingenieurwesen Dresden 2005

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3 . Mengen Kenntnisse und Fähigkeiten: Mengenbegriff, Teilmenge, Durchschnitt und Vereinigung von Mengen, Produktmenge, Zahlenmengen, Intervalle. Im folgenden bedeuten: IN = {0,, 2,...} : Menge der natürlichen Zahlen, IR : Menge der reellen Zahlen... Gegeben seien die Mengen A = {x IN x 6}, B = {x IR x 4}, C = {x IN x 4}, Beschreiben Sie (gegebenfalls durch Aufzählung der Elemente oder am Zahlenstrahl) die Mengen: A B, A B, A B C, A B C, (A B) C, A (B C)..2. Gegeben seien in der (x, y)-ebene die folgenden Mengen: K = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 = 4}, K 2 = {(x, y) IR 2 y = x}, K = {(x, y) IR 2 (x 2) 2 + y 2 = 4}, M = {(x, y) IR 2 x 2 + y 2 4}, M 2 = {(x, y) IR 2 y x}, M = {(x, y) IR 2 (x 2) 2 + y 2 < 4}. a) Ermitteln Sie K K 2, K K, K 2 K. b) Stellen Sie grafisch dar: K M K 2 M 2 K M M M 2 M M M 2 M M M 2 M M M (M M ) M 2... Gegeben seien die Intervalle J = {x IR 2 x 2} = [ 2, 2], J 2 = {x IR < x 4} = (, 4], J = {x IR 0 x < } = [0, ), J 4 = {x IR 2 x < 4} = [2, 4). Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn möglich - als Intervall: J J 2 J J J J 4 J J 2 J J J J 4

4 2. Elementare Rechenoperationen, Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Kenntnisse und Fähigkeiten: Bruchrechnung, Multiplikation und Division von Polynomen, Binomische Formeln, Ausklammern von Faktoren aus Polynomen, Potenz- und Logarithmengesetze, Summenzeichen. Untersuchen Sie im folgenden zuerst, für welche Werte der vorkommenden Variablen die auftretenden Terme definiert sind. 2.. Kürzen Sie so weit wie möglich. a) 204a2 b c 255ab 2 c b) 5x2 + 5x 2 + a a 2 c) 2a + a2 + 2a Fassen Sie zu einem Bruch zusammen, und kürzen Sie so weit wie möglich. 2 a) x 2 4 2x a 2 b 2 b) 6x 2a(a + b) abc c) a b b a ( b)c a 2.. Vereinfachen Sie. a) (2x2 y ) 4 ( x m y n z r+ ) 2 (4x y 4 ) 2 b) x 2 y 2 n z r 2, m, n, r IN c) x 2 y 2 xy x 4 d) (x y 2 ) 4 x 2 e) a n b n a n b n 2 + a n 2 b n a n b n, n IN 2.4. Vereinfachen Sie. a) a 5 b a b 4 6 (ab ) a 5 b 4 2 n (9a2 ) n b b) c c 2, n IN 2.5. Vereinfachen Sie die folgenden Terme so weit wie möglich. a) 2x + 5 x + x 4 x x2 + 6x + 0 x 2 + 5x + 6 a b) a b + b a + b a a + b b a b 2

5 c) a + b + c d) (2ax + 2ay)m (bx by) n (cx 2 cy 2 ) m+n, m IN, n IN, m, n 0 e) a5x y a4x y : 6n 2 f) b b n, a + b a2 + b 2 a4 b 4 x, y IR, n IN g) ( p + q p q) 2 h) x x 2 y 2 x + x 2 y 2 i) b b 2 5 b 8 4 b 2.6. Geben Sie die folgenden Zahlen exakt und als auf 4 Kommastellen gerundete Dezimalzahl an. Vereinfachen Sie dazu die Terme und rechnen Sie danach mit dem Taschenrechner. a) b) ( 5 ) 2 ( 5+ ) 2 c) d) e) f) (6 ) (8 4 ) g) ( 5) 2 h) 4 ( 2) 6 6 ( ) 2.7. Vereinfachen Sie und berechnen Sie mit dem Taschenrechner. a) 0 2, b) 4, c), 08 0 d) sin(, 5) e) log 25 (25) f) log 20 (00) + log 00 (20) 2.8. Vereinfachen Sie (ohne Benutzung eines Taschenrechners) so weit wie möglich. a) ln(e 2 )+ b) ln(e 2 +) c) lg( 00) d) 2e 2 ln(2) e) ln (ln (ln(e e ))) f) e 2+ln(9) g) (( e) 2 ) ln(8) 2.9. Vereinfachen Sie. a) ln(2a) + 2 ln(b) 2 ln(2c), a, b, c > 0, b) ln(a2 b 2 ) 2 ln(a b) 2 ln(a + b), a + b > 0, a b > 0,

6 c) ln(a 2 2ab + b 2 ) ln(a 2 b 2 ) + ln ( a + b ), a > b > Ermitteln Sie alle x IR mit a) x = 27 b) 0 x = 0, 0 c) log x () = 8 d) log 2 (x) = 5 e) log x ( 5) = f) log8 ( 5 64 ) = x ( g) log x (6) = 5 h) log 27) = x i) log () = x Faktorisieren Sie, d.h. schreiben Sie als Produkt. a) 5a 5 b c 2 5a b 5 c a 4 b 4 c b) (4x + y)(a + 2b) + (y 4x)( 2b a) c) (x + 2y)(x y)( 2x + y) y(6x y)(2y 2x) 2.2. Faktorisieren Sie unter Verwendung binomischer Formeln. a) 6a ab + 9b 2 b) ( a )(a ) (a 2 ) c) - 4 x2 4y 2 2xy 2.. Schreiben Sie mittels quadratischer Ergänzung als Summe bzw. Differenz von Quadraten. a) x 2 4x + b) x 2 + x 6 c) 4x 2 + 4x + 2 d) x 2 + 4ax + 9b 2 e) x 2 2x + y 2 + 6y f) 4x 2 + 8x y 2 + 2y 2.4. Klären Sie, unter welchen Bedingungen die folgenden Quotienten definiert sind und führen Sie die Division aus. a) (2a 2 + ab 7ac 20b bc 5c 2 ) : (a + 4b 5c) b) (x 4 y 4 ) : (x y) c) (q n ) : (q ), n IN \ {0} d) (2x 4 x + 25x 2 2x + 20) : (2x 2 7x + 6) 4

7 2.5. Lösen Sie die folgenden Formeln auf: a) I = nu nr i + R a nach n, R i, R a, b) K = K 0 q n + R qn q nach R, K 0, n, c) f = f + f 2 d f f 2 nach f, f, f 2, d) X = ωl ωc nach L, C, ω Ermitteln Sie die folgenden Summenwerte. 6 i a) i c) 0 i 2 d) 00 2 e) f) i+ b) 00 i= i= 5 nx n für x = 2 n= i= g) 50 (5i + ) i= 2.7. Berechnen ( ) Sie die Binomialkoeffizienten. ( ) ( ) 4 8 a) b) c) d) 2 5 ( ) ( ) ( ) 0, f) g) h) i) 5 2 k= Beweisen Sie die Gültigkeit der Gleichung für n k 0, n IN, k IN. ( ) ( ) ( ) n n n + + = k k + k + ( ) 4, 5 ( ) 2 0, 5 e) j) 5 ( k) k k= ( ) 2, 8 4 ( ) π 0 5

8 . Gleichungen und Ungleichungen für eine reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Umformen von Gleichungen und Ungleichungen.. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen. a) 2x (5 4x) = x (2x + 8) b) (5 x)(x + ) = (x 2)(8 x) c) 2x + x x = 7x + 8 d) a(2x b) + bc = b(2x a) bc.2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x 2 5x + 6 = 0 b) 6x 2 + x = 0 c) x 2 + 4x + = 0 d) x 2 = 2x + 2 e) (x 2 4x 5)(x ) = 0 f) 5x 6 20x 4 = 0 g) x 4x 2 + 4x = 0 h) x 4 + x 2 4 = 0.. Lösen Sie die folgenden Gleichungen. a) x x + = x x 5 c) x x = x + 2 b) x + x + = 5 2x + 2 d) x + x x + x = 2.4. Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen. a) x x 2 4 = b) x x x = x c) x 2 + 2x 2x 2 + 2x 4 = d) x + 6 x 4 x 2 = x 54 2x 8 x + 6 2(x + 6) 6

9 .5. Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen. a) x = x 2 b) x + 4 = x + 2 c) x x = 2x x 2 d) = x + x e) 2 + x + 2 x = 2 x.6. Geben Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) ln(x + ) = 2 b) (x + ) (ln(x) + ) = 0 c) ln(x) 2 ln(x ) = 0 d) log 2 (x 2 + x + 6) =.7. Lösen Sie die Gleichungen, und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 0 x = b) e 2x+ = 0 c) 2 6x 2 = 4 2x+ d) = 0, 25 + e x.8. Lösen Sie die Gleichungen und geben Sie die Lösungen exakt und als Dezimalzahl auf 4 Kommastellen gerundet an. a) 2 2x 2 x+ = 0 b) x ln(x) = 2 c) (ln(x)) x = d) x lg(x) = 0 9 e) 2 x 5 2x = 0 2x+ f) lg(2 x ) + lg( x ) + lg(4 x ) = 5.9. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. a) 2x 4 < 4x b) x 4 x 5 c) (2 x)( + x) ( x)(4 + x) d) ax < x + a, a IR.0. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen. a) x 2 5x + 6 > 0 b) 6x 2 + x c) x 2 + 4x + 0 7

10 4. Gleichungssysteme für zwei reelle Veränderliche Kenntnisse und Fähigkeiten: Gleichungen mit 2 Unbekannten, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. 4.. Lösen Sie die Gleichungssysteme. a) x 2y = 8 2x + y = 4 b) 2x = 9 4y x = 4 2y x c) 5 + y = x + y 2 = 0 e) x + y = 0 xy = 9 d) x + y = x 2 + y 2 = 5. Funktionen Kenntnisse und Fähigkeiten: Funktionsbegriff, lineare und quadratische Funktionen, Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen, Nullstelle, Maximum, Minimum, Monotonie, Grenzwerte von Funktionen. 5.. Gegeben seien die Terme: a) f(x) = 0, x, b) f(x) = 2x 0,5 + x, c) f(x) = + e 0,x. Bilden Sie die folgenden Terme und vereinfachen Sie sie, falls möglich. f (x) = f(x + ) f 2 (x) = f(x) + f (x) = f(x) f 4 (x) = f( x) f 5 (x) = f(x) f 6 (x) = f(x 2 ) f 7 (x) = [f(x)] Bilden Sie zu den Funktionen f : IR IR mit a) f(x) = + 0, 5x, x IR, b) f(x) = x 2, x IR, c) f(x) = e x, x IR jeweils die Funktionen f i : IR IR, i =,..., 6, mit f (x) = f(x + ), f 2 (x) = f(x) +, f (x) = f(x), f 4 (x) = f( x), f 5 (x) = 2f(x), f 6 (x) = f(2x), und skizzieren Sie die Graphen der Funktionen. 8

11 5.. Für welche x sind die folgenden Terme definiert? Ermitteln Sie jeweils den größtmöglichen Definitionsbereich. a) f(x) = x 2 4 b) f(x) = ln(x + 5) ln(x + 4) c) f(x) = d) f(x) = (x )(x + 2) e 0,x 5.4. Skizzieren Sie die folgenden Geraden in einem geeigneten Koordinatensystem. a) y = x 4 b) 0x + 5y = 0 c) x 0 + y = d) k = 0, t +, 2 5 e) s = 2 (2 8t)/ 5.5. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR. a) y = (x + ) 2 4 b) y = x 2 4x + c) y = 6 x x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion. Versuchen Sie, möglichst ohne Wertetabelle auszukommen. a) y = x 2, x [0; ) b) y = x 4, x IR c) y = x, x ( ; 0) d) y = x 2 4x 8, x IR e) y = x + x 2 + 8x 40, x IR f) y = ln(x 2), x (2; ) g) y = x +, x x (; ) h) y = ln x, x IR\{0} i) y = x 4, x [4; ) 0 für < x j) y = (x + ) 2 für < x < 0 2 x + für 0 x < 9

12 5.7. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für den größtmöglichen Definitionsbereich, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = + x b) y = x 2 c) y = + 4 x Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion, und geben Sie den Wertebereich an. a) y = e x, x IR b) y = 2 e x, x IR c) y = e x+, x IR d) y = e x + e x, x IR 5.9. Skizzieren Sie jeweils den Graphen der Funktion für x IR, und bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion. a) y = + sin(x) b) y = sin(x ) c) y = sin(2(x )) d) y = + 4 sin(2(x )) 5.0. Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen für jeweils eine Teilaufgabe in einem gemeinsamen Koordinatensystem. a) y = e ax für a = 0, ± 2, ±, ±2, x IR b) y = e x + a für a = 0, ±, ±2, x IR c) y = e x+a für a = 0, ±, ±2, x IR 5.. In welchen Intervallen sind folgende Funktionen monoton wachsend? a) y = x + 6, x IR b) y = x 2 2x +, x IR 5.2. Ermitteln Sie (ohne Differentialrechnung) die Maxima/Minima (soweit vorhanden) der Funktionen nach Lage, Art und Größe. a) y = x 2 5, x IR b) y = x 2 4x + 5, x IR c) y = e x2, x IR d) y = x 2 +, x IR e) y = sin 2 (x), x IR f) y = + cos 2 (x), x IR 0

13 6. Differentialrechnung Kenntnisse und Fähigkeiten: Ableitungsregeln (Faktor- und Additionsregel, Produkt-, Quotientenund Kettenregel) für Funktionen y = f(x), Extremwertermittlung,Kurvendiskussion. 6.. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung f (x). a) f(x) = x x, x > 0 b) f(x) = + x 2 x 4, x 0 c) f(x) = ( x)(x 2 + 6x + 8), x IR d) f(x) = x 2 + 5x 4 x, x > 0 e) f(x) = 2 ln(x) e x + 5 x, x > 0 f) f(x) = 2x 0,5 + x, x > 0 g) f(x) = 2 x lg(x) + x 2, x > Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung. a) f(x) = (x 2 )e x, x IR b) f(x) = xe x + 5x 2, x > 0 c) f(x) = x n ln(x), x > 0 d) f(x) = e x sin(x), x IR e) f(x) = ln(x) x, x > 0 f) f(x) = x x 2, x = 6.. Ermitteln Sie jeweils die erste Ableitung. a) f(x) = ln(2x + ) + e x, x > 2 b) f(x) = x x ( x) 2, x x c) f(x) =, x ( ; ) + x d) f(x) = e x, x 0

14 e) f(x) =, x IR + e 2x f) f(t) = t 2 + t +, t IR u g) f(u) =, (au + bv) 2 au + bv 0 h) f(x) = ln(x), x > 6.4. Führen Sie eine Kurvendiskussion durch. a) y = x x 2 x, x IR b) y = x2 + 5x + 22, x IR\{2} x 2 c) y = e x, x IR\{0} 6.5. Im Dachboden eines Hauses soll ein Zimmer ausgebaut werden. Wie müssen Höhe und Breite des Zimmers gewählt werden (rechtwinkliger Querschnitt), wenn ein Raum maximalen Volumens entstehen soll und a) der Dachboden den Querschnitt eines gleichschenkligen Dreiecks und die Höhe 5,5 m sowie die Breite 6,4 m besitzt, b) der Dachboden halbkreisförmig (r = 0 m) gewölbt ist Aus drei gleichbreiten Brettern soll eine Wasserrinne mit trapezförmigem Querschnitt hergestellt werden. Für welchen Neigungswinkel der Seitenflächen (gemessen gegen die Senkrechte) wird der Querschnitt am größten? 2

15 Lösungen.. {4, 5, 6}, {, 2, } [4; ), {4}, {0,, 2, } [4; ), {0,, 2,, 4, 5, 6}, A.2. a) {(, ), (, )}, {(, ), (, )}, {(0, 0), (, )}.. J J 2 = J J J = [0; 2] J J 4 = {2} J J 2 = J 2 J J = [ 2; ) J J 4 = [ 2; 4) 2.. a) 4ab 5c 2, a, b, c 0 b), a 2 c) a +, a, a 2(a ) 5x + 4x a) 6x 4, x 0 b) a + b, a 0, a b 2a c), a, b, c 0, a b 2.. a) x 2 y 4, x, y 0 b) x 2m 4 y 4n 4 z 6, x, y, z 0 c) xy, x, y 0 d) y8 (b a), x 0 e) x4 a n b n, a, b 0 ( ) n ab 2.4. a) a 4 b, a, b 0 b), a, b 0, c > 0 c 2.5. a) 0x + 2, x IR\{ 2; } (x + )(x + 2) b) a2 + 2ab b 2 a 2 2ab b 2, a2 b 2, a b( ± 2) abc c) ab + ac + bc, abc 0, a + b + c 0 ( ) m ( ) n 2a b d) c c (x + y) n (x y) m, c(x2 y 2 ) 0 e) a x b 5n, a > 0, b > 0 f), a + b > 0, a b > 0 a b g) 2p 2 p 2 q 2, p + q 0, p q 0 h) y, x 0, x 2 y 2 i) b /8, b 0

16 2.6. a) 2 7/8, 840 b) 4 c) = 0, 25 8 d) 4 7 0, 580 e) , f) 8, 960 g) 5 h) 2 2 2, a), 08 b), c) 2, 589 d) 0, 9975 e), 5 f) 2, a) b) - c) ( ) ab a) ln 2c 2 2 d) 8 e) 0 f) e g) 4 b) 6 ln(a2 b 2 ) c) ln ( (a 2 b 2 ) a + b ) 2.0. a) b) 2 c) 8 d) 2 e) 5 2 f) 5 g) / 5 6 h) i) 2.. a) 5a b c 2 ( a 2 9b 2 c 2 + 5abc) b) 8x(a + 2b) c) (x y)(y 2x)(x 4y) 2.2. a) (4a + b) 2 b) 2(a 2 ) c) ( 2 x + 2y)2 2.. a) (x 2) b) (x + 2 ) c) 2 2 (x + 2 )2 + d) (x + 2a) 2 4a 2 + 9b 2 e) (x ) 2 + (y + ) 2 0 f) 4(x + ) 2 (y 2) a) 4a 5b + c, a + 4b 5c 0 b) x + x 2 y + xy 2 + y, x y c) q n + q n q +, q und n IN \ {0} d) x 2 2x + 2, 5 + 2,5x+5 2x 2 7x+6, x 2, x, a) n = R ai U R i I, R i = nu R ai ni, R a = n(u R ii) I b) R = (K K 0 q n q ) q n, K 0 = K q R n q qn ( ) n n = ln q ln K(q )+R K 0 (q )+R c) f = ff2 f +f 2 d, f = f(d f 2) f f 2, f 2 = f(d f ) f f d) L = X ω + ω 2 C, C = ω 2 L ωx, ω = 2L q, ( X ± ) X 2 + 4L C 4

17 2.6. a) b) 5050 c) 85 d) 202 e) 289 f) 29 g) a) 6 b) 56 c) 0 d) 05 6 = 6, 5625 e) -0,06 f) 0,75 6 = 0, 0625 g) -6 h) - i) - j).. a) L = { 5 } b) L = { 8 } c) L = {0} d) L = { bc a b }, falls a b, L = IR, falls (a = b) und (b c = 0), L =, falls a = b und bc 0.2. a) L = {2; } b) L = { 2 ; } c) L = d) L = {2 + 8; 2 8} e) L = { ; ; 5} f) L = {0; 2; 2} g) L = {0; 2} h) L = { ; }.. a) L = {2} b) L = {2} c) L = { 4 } d) L =.4. a) L = { ; 2 2 7} c) L = {2} b) L = { ; 2 2 5} d) L = {4}.5. a) L = {} b) L = {0} c) L = {} d) L = e) L = {2}.6. a) e 2 4, 89 b) e 0, 679 c) , 680 d) L = {; 2}.7. a) 0 log 2 () 8, 450 b) 2 =, 5 c) 4 d) ln(7), a) log 2 (), 5850 b) L = {e ln(2) ; e ln(2) } c) e 2, 78 d) L = {0 ; 0 } 5 e) log 2 (5), 29 f) lg(24), a) ( 2 ; ) b) ( ; 0] c) [5; ) x > a a für a < d) x < a a für a > x IR für a =.0. a) ( ; 2) (; ) b) [ 2 ; ] c) 4.. a) (4; 2) b) - c) ( 45; 0) d) (; 2), ( 2; ) e) (9; ), (; 9) 5

18 5.. a) b) c) f (x) 0, 9 0, x 2(x + ) 0,5 + x+ f 4 (x) + 0, x 2( x) 0,5 x +e 0,(x+) +e 0,x f 6 (x) 0, x 2 2x + x 2 +e 0,x2 5.. a) x 2, b) ( 5; ), c) ( 4; )\{ 2; }, d) IR\{0} 5.. a), b) [; ) 5.2. a) Min(0; 5), b) Min(2; ), c) Max(0; ), d) Max(0; ), e) Max( π 2 + kπ; ), Min(kπ; 0), k ZZ, ZZ = Menge der ganzen Zahlen, f) Max( π 2 + kπ; ), Min(kπ; 2 ), k ZZ. 6.. a) 2x + 7 b) 2 x 2 x + 2 x 5 c) x 2 2 0x 2 d) x x e) 2 x ex 5 x 2 f) x x 2 g) 2 x ln(2) x ln(0) 6 x 6.2. a) (x 2 + 2x )e x b) ( x + 2 x )ex + 0x c) x n (n ln(x) + ) d) e x (sin(x) + cos(x)) e) ln(x) x f) x2 + 2 (x 2 ) a) 2x+ e x b) 6x (x 2 +) + +x 2 ( x) c) (+x) d) ex x 2 (e x ) 2 6e e) 2x 2t+ (+e 2x ) f) 2 2 t 2 +t+ bv au g) (au+bv) h) 2x ln(x) 6.4. a) Nullstellen: 0; 2, 854;, 854 Min.:(2, 277; 8, 426) Max.: (, 60; 0, 945), Wendepunkt.: ( ;, 74) b) Polstelle: x = 2, Min.: (8; 2), Max:. ( 4; ), c) lim f(x) = 0, lim f(x) =, lim x x Polstelle: x = 0. f(x) = ±, x ± a) Breite:,2 m, Höhe: 2,75 m; b) Breite: 4,4 m, Höhe: 7,07 m