Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

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1 KAPITEL 3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 3.1 Funktionen und Umkehrfunktionen Wurzeln Warum ist a 2 + b 2 a + b? Potenzfunktion Exponential- und Logarithmusfunktion Funktionen und Umkehrfunktionen Definition (Funktion) Seien M und N Mengen. Unter einer Funktion von M in N versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x M genau ein Element y N zuordnet. Man schreibt: f : M N, y = f (x). 70

2 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 71 M heißt Definitionsbereich, N heißt Werte-, oder auch Bildbereich von f. Die Menge {(x, f (x)) : x M} M N heißt Graph der Funktion f. Zu A M heißt f (A) := {f (a) : a A} das Bild von A unter der Funktion f ; zu B N heißt f 1 (B) := {a M : f (a) B} das Urbild von B unter der Funktion f. Definition (Umkehrfunktion) Ist f : A B eine eineindeutige Funktion, die jedem x A genau ein y B zuordnet, dann existiert die Umkehrfunktion f 1 : B A, f 1 (y) = x, die jedem y B genau ein x A zuordnet, d.h. y = f (x) x = f 1 (y).

3 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 72 y = f (x) f 1 (y) = f 1 (f (x)) = x 3.2 Wurzeln Beispiel (2. und 3. Wurzeln) Die Umkehrfunktionen sind in beiden Fällen nur für x 0 definiert! Wurzeln können nur aus nichtnegativen reellen Zahlen gezogen werden!

4 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 73 Definition (Wurzel) Die n-te Wurzel, n N, aus einer reellen Zahl a, a 0, ist diejenige nichtnegative reelle Zahl b (also b 0), für die gilt b n = a. Man schreibt b = n a. Die n-te Wurzel bzw. die Wurzelfunktion f (x) = n x ist nur für nichtnegative x 0 definiert. 3.3 Warum ist a 2 + b 2 a + b? Wir setzen voraus, dass a, b 0 sind. Die einfachste Antwort ist, weil für a = b = 1 gilt = 2 2 = Eine bessere Begründung ist, dass für ab 0 a 0 und b 0 gilt (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 + b 2 und damit (a + b) 2 = a + b a 2 + b 2. Allgemein liegt es daran, dass die Wurzelfunktion keine lineare Funktion ist. Die Bedeutung einer linearen Funktion ist Ihnen aber i. Allg. unbekannt und so wird sehr oft f (x + y) = f (x) + f (y) gerechnet, obwohl diese Gleichung nur für sehr wenige Funktionen tatsächlich erfüllt ist. Für x = y = 0 ergibt sich nämlich f (0 + 0) = f (0) = f (0) + f (0) = 2f (0) f (0) = 0.

5 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 74 Also an der Stelle x = 0 muss die Funktion den Funktionswert 0 haben! Für f (x) = x gilt das, 0 = 0. Für x = y erhält man f (x + x) = f (2x) = f (x) + f (x) = 2f (x). Insbesondere für x = 1 erhält man also f (2) = 2 f (1) und wegen 2 1, = 2 ist dies für die Wurzelfunktion nicht erfüllt. Nun ist so ein Rumprobieren für beliebige Funktione nicht sinnvoll. Deshalb definiert man: Definition Eine Funktion f : R R heißt linear, wenn 1. f (x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y R gilt und 2. f (λx) = λf (x) für alle λ R und alle x R gilt. Man kann folgende Aussage beweisen. Merkregel R Die einzige lineare Funktion ist die Funktion f (x) = a x mit a R fest gewählt. Deshalb nennt man diese Funktionen lineare Funktionen. Alle anderen Funktionen sind nicht linear.

6 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 75 Merkregel R Die Wurzelfunktionen f (x) = n x und die Potenzfunktionen f (x) = x n, n N, sind nicht lineare Funktionen. 3.4 Potenzfunktion Auf dem Weg zur Definition der Potenzfunktion: 1. Exponenten sind natürliche Zahlen: x n, n N, also eine natürliche Zahl (ungleich Null). Wie jeder weiß gilt: = } {{ } 10 } 10 {{ 10 } = }{{} = = 9 Faktoren Das gilt deshalb auch allgemein für jede reelle Zahl x R und natürliche Zahlen m, n N : x n x m = } x x {{... x x } } x x {{... x x } = x } x... x {{ x x... x x } = x n+m n Faktoren m Faktoren n+m Faktoren 2. Rationale Exponenten: Wir beginnen mit der Definition von x 1 n. Die Umkehrfunktion zu x n ist x 1 n = n x und erfüllt die Gleichung (x 1 n ) n = x. Wie man sieht gibt es aber für gerade Potenzen keine eindeutige Umkehrfunktion, deshalb definiert man die Umkehrfunktion nur für nichtnegative Argumente. Es gilt die Definition ( ) m x m n = x 1 n = ( n x) m, x 0, n, m N.

7 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN Exponent Null: Per Definition ist x 0 = 1 für alle x R. 4. Negative ganze Zahlen als Exponenten: n, n N. Für x 0 gilt x 1 x = 1 und damit auch ( ) n 1 x n = 1 = x n x x = x n 1 n x. n Deshalb definiert man x n := 1 x n, und es gilt x m x n = x m Ergebnis: Für rationale Zahlen r = m n ist x n = x m n. x m n = ( n x) m. 5. Irrationale Exponaten: Für irrationale α R wird x α mittels Stetigkeitsargument definiert: Zu jeder irrationalen Zahl α gibt es eine Folge rationaler Zahlen mit lim n r n = α und wir definieren: x α := lim n x rn.

8 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 77 Satz (Potenzgesetze) Für beliebige reelle Zahlen a, b, c R und natürliche Zahlen n N sowie m Z gelten die folgenden Potenzgesetze: (a b ) c = a (bc), a > 0, a b+c = a b a c, a > 0, (ab) c = a c b c, a, b > 0, a b = 1 a b, a > 0 a b c = ab a c, a > 0 a 1 n = n a, a 0. a m n = n a m = ( n a) m, a 0. Beispiel (Wurzel und Quadrat) Man löse die Gleichung x 2 = a, a R. 1. Für a < 0 besitzt die Gleichung keine Lösung, da die Wurzel immer größer gleich Null ist. (Wertebereich der Funktion f (x) = x). 2. Für a 0 gibt es Lösungen. Wir haben die Quadrat-Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Funktion f (x) = x 2 erhalten. Eine eineindeutige Funktion ist f (x) = x 2 aber nur für x 0 und nur dafür ist dann f 1 (x) = x definiert. Deshalb müssen wir rechnen: x 2 = x 2 = x, weil nämlich x 2 = x 2 und x 0 ist. D.h. x 2 = x 2 = x = a x 1/2 = ±a.

9 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 78 Die Gleichung besitzt für a 0 also 2 Lösungen: x 1 = a und x 2 = a. Beispiel (Quadrieren) Aus x = 3 folgt x 2 = ( 3) 2 = 9. Wenden wir das Wurzelziehen als Umkehroperation an, so folgt x 2 = x = 9 = 3 und wir erhalten 2 Lösungen x 1 = 3 und x 2 = 3. Merke: Quadrieren ist keine äquivalente Umformung! Trotzdem wird man in vielen Fällen quadrieren, um eine Lösung zu erhalten. In diesem Fall muss man eine Probe machen, um Scheinlösungen, Lösungen, die durch das Quadrieren eingeschleppt wurden, wieder los zu werden. Bemerkung (Unterschied zw. Lösung einer Gleichung und einer Wurzel) Beispiel: Man bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung x 3 = 8. Die Gleichung kann nicht durch umformen auf x = 3 8 gelöst werden, da 3 8 nicht definiert ist. Trotzdem hat die Gleichung eine Lösung, es gilt nämlich ( 2) 3 = 2 3 = 8. Durch äquivalentes Umformen erhält man x 3 = 8 x 3 = 8 ( x) 3 = 8 x = 3 8 = 2 x = 2. Die Lösung der Gleichung ist x = 2. Warum ist das so kompliziert? Damit die Potenzgesetze allgemein gültig sind! Es gilt für m Z, n, k N x m n = x m k n k.

10 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 79 Würde man fälschlicher Weise mit 2 = 3 8 rechnen, so folgt daraus 2 = = ( 8) 3 = ( 8) 3 2 = ( 8) = ( 8) 2 = 6 64 = 2 Beispiel (Wurzelgleichung) Man löse die Gleichung x 1 + x + 2 = 1 Maximaler Definitionsbereich: x R und x 1. (beide Wurzeln definiert). x + 2 = 1 x 1 () 2 = x + 2 = (1 x 1) 2 x + 2 = 1 2 x 1 + x 1 x 2 = 2 x 1 : 2 1 = x 1 () 2 = 1 = x = x x = 2 gehört zum Definitionsbereich. Probe: = = 3 1. Die Wurzelgleichung besitzt keine Lösung!

11 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 80 Bemerkung Obwohl x = 2 zum Definitionsbereich gehört ist es keine Lösung, dass liegt daran, dass nicht immer äquivalent umgeformt wurde. In Schritten wo nur gefolgert wird (= ), können wir Scheinlösungen erhalten. Beispiel (Wurzelgleichung) 4 x = x + 2 Maximaler Definitionsbereich: x 3 4(> 2). 4x = x + 2 () 4 x = ( x + 2) 4 = (x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4 x 3 x 2 4x = 0 x(x 2 x 4) = 0 Es ergeben sich die Lösungen x 0 = 0 und x 1/2 = 1± ( 1) 2 ( 4) = ± Wegen x 1 = > 0 und x 2 2 = 1 17 > liegen alle Lösungen im Definitionsbereich. Eine Probe bestätigt, dass x 0, x 1 und x 2 die Ausgangsgleichung erfüllen und sind deshalb auch Lösungen.

12 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN Exponential- und Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion a x ist für a > 0 und alle x R definiert. Gebräuchliche Werte für die Basis sind die Zahlen 10, 2 und e. Um die Exponentialfunktion zu bestimmen betrachten wir zunächst die Potenzfunktion. Für natürliche Zahlen n ist e n = e e... e e, wobei der Faktor e genau n-mal auftritt. Für rationale Zahlen r = m n mit m N, n N ist er = e m n = (e 1 n ) m = ( n e) m. Weiterhin gilt per Definition e 0 = 1. Für rationale Zahlen r = m n mit m = k, k N, n N ist er = e m n = (e 1 n ) m = ( n e) m = ( n e) k = 1 ( n e) k. Für jede irrationale Zahl α gibt es eine Folge rationaler Zahlen r n mit lim r n = α. Damit wird die Funktion e x als stetige Funktion n

13 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 82 definiert als e α = lim n ern. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion ist das offene Intervall (0; ). Der Logarithmus ist folglich nur für positive Argumente x definiert. Für die Basis a gilt a > 0 und a 0.

14 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 83 Wozu braucht man den Logarithmus? Schallpegel (db) Schallintensität (W/m 2 ) Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert U-Bahn PKW leise Unterhaltung ruhiges Zimmer Blätterrauschen Hörbarkeitsgrenze Wie laut ist laut? Die Schallintensität I verläuft von I 0 = W m 2 bis über 10 0 = 1 W m 2 hinaus, deshalb ist eine logarithmische Darstellung, also als Schallpegel P besser. I P = 10 log 10. I 0 Rechnen mit Logarithmen: Alle Logarithmengesetze ergeben sich aus den Potenzgesetzen: Für x, y R, x, y > 0 und a R, a > 0, a 1, sowie r, b R, r, b > 0, gilt b = log a c a b = c, a = e ln a = ln(e a ) und a b = e b ln a, ( ) x log a (xy) = log a x + log a y, log a y = log a x log a y, log a x r = r log a x, log a x r = log a 1 x r = log a x r = r log a x, wichtige Beziehungen: log a 1 = 0, log a a = 1, insbesondere ln 1 = 0 und ln e = 1.

15 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 84 Umrechnungsformel: log a x = log b x log b a und log a x = ln x ln a. Bemerkung (Der Teufel steckt im Detail!) Ist die Gleichung richtig bzw. wann ist sie richtig? ln x 2 = 2 ln x Der maximale Definitionsbereich ist x > 0, da ln x nur für x > 0 definiert ist. Für x R\{0} gilt aber ln x 2 = ln x 2 = 2 ln x. Beispiel (Logarithmische Gleichung) log 10 (x 2) = 1 10 log 10 (x 2) = 10 1 x 2 = 10 x = 12 Da x = 12 im Definitionsbereich liegt, ist x = 12 Lösung der Gleichung. Beispiel (Exponentialgleichung) 9 x 1 = x Maximaler Definitionsbereich: x R. Anwenden von Potenzgesetzen: 9 x 1 = (3 2 ) x 1 = 3 2(x 1) und x = 3 6+x

16 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 85 ergibt 3 2(x 1) = 3 6+x log 3 log 3 (3 2(x 1) = log 3 (3 6+x ) 2(x 1) = 6 + x x = 8 Beispiel (Exponentialgleichung) 3 x x = 5 x+1 + 2(3 x + 5 x ).

17 KAPITEL 3. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 86 Maximaler Definitionsbereich: x R. Nach Termen 3 () und 5 () sortieren: 3 x x = 5 x+1 + 2(3 x + 5 x ) 3 x x = 5 x x 3 x (3 3 2) = 5 x (5 + 4) 3 x bzw. 5 x ausklammern 3 x 25 = 5 x 9 Separieren 25 ( ) x 9 = 5x 5 3 = log x log = x Vereinfachen der Lösung x = log = log ( 5 ) = 2 log = 2.