Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen

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1 Kapitel 6 Weitere einfache Eigenschaften elementarer Funktionen 6.1 Polynome Geg.: Polynom vom Grad n p(x) = a 0 + a 1 x a n 1 x n 1 + a n x n, also mit a n 0. p(x) = x n ( a 0 x + a 1 n x a 1 n 1 n 1 x + a n) Verhalten von p(x) für x gegen ± Offenbar gilt: Für gerades n ist lim p(x) =, falls a n > 0, x ± lim p(x) =, falls a n < 0. x ± 1

2 Für ungerades n ist lim p(x) = ±, falls a n > 0, x ± lim p(x) =, falls a n < 0. x ± Ergänzung über Nullstellen Da Polynome stetige Funktionen sind, gilt also: Jedes Polynom ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. Der Fundamentalsatz der Algebra besagt: Jedes Polynom vom Grad n hat genau n Nullstellen, wenn man komplexe Nullstellen berücksichtigt und jede Nullstelle nach ihrer algebraischen Vielfachheit zählt. Aussage über R: Jedes Polynom vom Grad n hat höchstens n Nullstellen. 2

3 6.2 Exponentialfunktionen Potenzen mit beliebigen Exponenten Bei f(x) = x n mit n N ist x n eine Abkürzung für x x... x mit n gleichen Faktoren x. Wir haben bereits geschrieben: a x. Was bedeutet das für x R? Hinweis: Jetzt kommt eine Erzählung, dann eine Zusammenfassung und Rechenregeln. Für x N ist a x = a a a... a (a R) mit x gleichen Faktoren a R. Für x = 0 ist a 0 = 1 (a R \ {0}). Warnung: 0 0 wird manchmal verschieden festgelegt. Woran liegt das? Es gilt: 3

4 aber lim x 0 0x = 0, lim x 0 x0 = 1. Das ist kein Widerspruch in der Mathematik, aber ein Anlass zu verstärkter Vorsicht. Für x N, also x = 1, 2, 3,... ist a x = 1 a x a R \ {0}. Für 1 x N, also x = 1 2, 1 3, 1 4,... definiert man a x = a 1 n = n a { a 0 falls n gerade a R falls n ungerade Dabei ist n a diejenige reelle Zahl w, für die gilt: w n = a. Falls n gerade ist, wählt man w 0. Es gilt also: 4

5 Für ungerade n : w = n a w n = a, Für gerade n und a 0 : w = n a w 0, w n = a. Für Unsichere: Wenn man Wurzeln aus positiven Zahlen zieht, braucht man die Fallunterscheidung nicht. Die Wurzel ist dann immer positiv. Für x Q, also x = p q man zuerst den Bruch p q mit p, q Z, q 0, kürzt und definiert dann a p q = (a 1 q) p { a 0 falls q gerade a R falls q ungerade Für x R \ Q definiert man: a x = lim t x,t Q at a 0. (Bei den t, die gegen x gehen, kommen immer wieder t mit geradem Nenner vor!) Zusammenfassung: Damit haben wir a x jeweils für geeignete a definiert: Für x N, x = 0, x N, N, x Q, x R. 1 x 5

6 6.2.2 Rechenregeln für Potenzen (x y) z = x z y z ( x y )z = xz y z x y x z = x y+z x y = 1 x y x y x z = xy z Diese Regeln gelten x, y, z R, falls alle in der Gleichung auftretenden Ausdrücke eindeutig definiert sind Exponentialfunktionen Für jedes a > 0 ist damit definiert die Exponentialfunktion mit der Basis a. f : R R, f(x) = a x Für a = 1 ist diese Funktion uninteressant. 6

7 Oft schließt man daher a = 1 aus. Die Eulersche Zahl e 2, als Basis liefert die Exponentialfunktion f : R R, f(x) = e x (ohne Angabe einer Basis!) oder die e-funktion. Wir haben gelernt d dx ex = e x. Die Steigung, also das Wachstum der e-funktion ist also x R gleich e x, und für x = 0 ist e 0 = 1. Skizze! Anwendungen von Exponentialfunktionen: Wachstum Die Exponentialfunktion ist daher geeignet, ein Wachstum einer Größe zu beschreiben, das proportional ist zur bereits erreichten Größe. Beispiele: Wachstum einer Bevölkerung, 7

8 wenn keine äußeren Einflüsse oder strukturellen Verschiebungen entgegenwirken. Stichwort: Alterspyramide Wachstum einer Bakterienkultur bei guter Nährstoffversorgung und in einem genügend großen Behälter. Teichrosen: Teichrose aus dem Urlaub, tägliche Verdoppelung nach 49 Tagen ist der Gartenteich halb bedeckt. Wann ist der Teich ganz zugewachsen? Wachstumsverhalten der Exponentialfunktionen Jede Exponentialfunktion f(x) = a x mit a > 1 wächst für große x schneller als jedes Polynom p(x), das heißt: lim x p(x) a x = 0. Exponentielles Wachstum kann nicht längerfristig andauern! 8

9 6.2.6 Anwendungen der Exponentialfunktionen: Abnahme Es gilt: d dx e x = e x. Die Steigung, also hier die Abnahme der Funktion x e x ist also x R gleich e x. Die Exponentialfunktion ist daher geeignet, eine Abnahme einer Größe zu beschreiben, die proportional ist zur bereits erreichten Größe. Beispiele: Radioaktiver Zerfall: Übrigbleibende Masse radioaktiven Materials Luftdruck abhängig von der Höhe 6.3 Logarithmen Logarithmus als Umkehrung einer Exponentialfunktion Ist a > 0, a 1, so ist die Exponentialfunktion mit der Bais a: R R +, x a x 9

10 umkehrbar. Die Umkehrfunktion heißt Logarithmus zur Basis a, in Zeichen: log a x oder a log x. Es gilt also für a > 0, a 1: y = log a x x = a y. Der Logarithmus ist die Hochzahl (der Exponent)! Was ist log a a? Was ist log a 1? Man schreibt ln x := log e x. Also ist ln die Umkehrung der e-funktion Rechenregeln für Logarithmen Sei wieder a > 0, a 1. Wir schreiben a u = x, a v = y. Dann gilt: x, y > 0 und a u a v = a u+v log a (x y) = log a x + log a y, 10

11 a u a v = au v log a ( x y ) = log a x log a y, (a u ) y = a u y log a (x y ) = y log a x, und damit auch log a n x = 1 n log a x Ehemalige Anwendungen der Logarithmen Früher führte man Multiplikationen auf Additionen, Divisionen auf Subtraktionen und das Wurzelziehen auf Divisionen zurück. Dazu brauchte man Logarithmentafeln. Der Rechenschieber funktioniert, weil auf ihm logarithmische Maßstäbe angetragen sind Wachstumsverhalten der Logarithmen Ist a > 1, so wächst der Logarithmus log a monoton, aber es gilt für jede Potenz x p mit p > 0: lim x log a x x p = 0. 11

12 6.3.5 Wichtige Anwendung der Logarithmen Geg.: f(x) = a kx mit unbekanntem a(> 0!) und k. Man kennt für einen Wert x 0 ( 0!) den Funktionswert f(x 0 ). Dann ist also Was ist a? ln(f(x 0 )) = kx 0 ln a, k = ln(f(x 0)) (x 0 ) ln a. Ist a = e b, so ist also ist a nicht bestimmt. a kx = (e b ) kx = e bkx, Man wählt zum Beispiel a = e und erhält für f(x) = e kx : k = ln(f(x 0)) x 0. Exponentielles Wachstum lässt sich immer mit der e-funktion beschreiben! 12

13 (Gegebenenfalls muss man den Koeffizienen im Exponenten ändern.) Den Koeffizienten im Exponenten bestimmt man durch Logarithmieren Beispiel Eine Bakterienkultur verdoppelt bei guten Bedingungen ihre Masse alle zweieinhalb Stunden. Es werden 3 Gramm in einen Bioreaktor eingebracht. Wann enthält der Bioreaktor 2 Kilogramm der Bakterien? Exponentielles Wachstum: m(t) = m 0 e kt Dabei ist m(t) die Masse zum Zeitpunkt t, m 0 die Masse zum Zeitpunkt t = 0, k eine zu bestimmende Konstante, auch Wachstumskonstante genannt. Hier m 0 = 3 g. 2m 0 = m 0 e k 2,5h 2 = e k 2,5h 13

14 ln 2 = k 2, 5h k = ln 2 2, 5h Gesucht: t, so dass gilt: t ln 2 2kg = 3g e 2,5h t ln = 3 e 2,5h t = ln ln 2 2,5h ln = ln t ln 2 = e 2,5h = t ln 2 2, 5h 2, 5h ln 2 23, 452h Nach etwa Bakterien. Stunden enthält der Bioreaktor 2 kg 14