Zahlen und elementares Rechnen

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1 und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3 Potenzen 4 Logarithmus 5 Geichungen Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

2 Natürliche Natürliche Die Menge der natürlichen bezeichnen wir mit N := {1, 2, 3,... }. Soll die 0 auch dabei sein, so schreiben wir N 0 := {0, 1, 2, 3,... }. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Leopold Kronecker Natürliche Leopold Kronecker ( ): Die natürlichen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

3 Natürliche Struktur auf den natürlichen Die Menge N hat folgende Strukturen: Addition Multiplikation Totale Ordnung Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Ganze Ganze Die Menge der ganzen bezeichnen wir mit Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Wie auch für die natürlichen kann man zwei ganze addieren, multiplizieren und vergleichen. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

4 Ganze Existenz vom additiven Inversen Zusätzlich gilt für die ganzen das Folgende: Zu jeder ganzen Zahl a Z gibt es eine (eindeutig bestimmte) ganze Zahl b Z, so dass a + b = 0 gilt. b nennt man dann das additive Inverse von a und es wird auch einfach mit a bezeichnet. Zum Beispiel: 5 + ( 5) = 0 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Subtraktion Ganze Die Subtraktion ist nun einfach die Addition mit dem additiven Inversen: a b := a + ( b) Zum Beispiel: 5 7 = 5 + ( 7) = 2 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

5 Ganze Eigenschaften ganzen Zusammengefasst hat die Menge Z folgende Strukturen und Eigenschaften: Addition Existenz von additiven Inversen Multiplikation Totale Ordnung Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rationale Rationale Wir bezeichnen mit Q := Menge aller Brüche die Menge der rationalen. Jede rationale Zahl ist von der Form a b mit a, b Z und b 0, dabei heißt a der Zähler und b der Nenner. Zum Beispiel: 3 4, 7 5,... Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

6 Vorsicht Rationale Vorsicht! Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist nicht eindeutig. Zum Beispiel: 1 2 = 2 4 = 4 8 = 1 2 Mit anderen Worten: Man kann Brüche kürzen und erweitern ohne ihren Wert zu verändern. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Addition von rationalen Rationale Das Rechnen mit rationalen ist etwas komplizierter: Addition: Brüche mit gleichem Nenner werden addiert, indem die Zähler addiert werden: Zum Beispiel: = 11 5 Brüche mit verschiedenen Nennern bringt man erst durch Erweitern auf einen gemeinsamen Nenner und addiert sie dann. Zum Beispiel: = = Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

7 Rationale Multiplikation von rationalen Multiplikation: Die Multiplikation geht nach der Regel: Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner Zum Beispiel: = = 6 12 = 1 2 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rationale Die Ordnungsrelation auf den rationalen Zwei rationale kann man auch miteinander vergleichen. Dazu bringt man sie auf einen gemeinsamen positiven Nenner und vergleicht dann ihre Zähler. Zum Beispiel: Wir wollen 5 7 und 6 8 vergleichen: 5 7 = = = < = 6 8 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

8 Rationale Existenz vom multiplikativen Inversen Die rationalen haben zusätzlich folgende Eigenschaft: Zu jeder rationalen Zahl a 0 gibt es eine (eindeutig bestimmte) rationale Zahl b, so dass a b = 1 gilt. b heißt das multiplikative Inverse (oder auch Kehrwert) zu a und wird häufig auch mit a 1 oder auch mit 1 a bezeichnet. Ist zum Beispiel a = 7 11 so ist a 1 = Denn: = = 1 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rationale Division in den rationalen Die Division ist nun einfach die Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen, a : b := a b 1, und ist immer ausführbar falls b 0 ist. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

9 Rationale Eigenschaften rationaler Zusammengefasst hat die Menge Q folgende Strukturen und Eigenschaften: Addition Existenz von additiven Inversen Multiplikation Existenz von multiplikativen Inversen Totale Ordnung Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rationale Rationale und Dezimalbrüche Jede rationale Zahl läßt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch darstellen: Beispiele: 1 2 = = = 0.3 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

10 Rationale Rationale und der strahl Man kann rationale als Punkte auf dem strahl auffassen: Man stellt nun fest, dass es Punkte auf dem strahl gibt, die keiner rationalen Zahl entsprechen: Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rationale Eine nicht rationale Zahl auf dem strahl Wir betrachten folgendes rechtwinklige gleichschenklige Dreieck auf dem strahl: Nach dem Satz von Pythagoras ist die Länge der Hypotenuse gerade 2. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

11 2 ist nicht rational Rationale Man kann nun durch eine kleine Überlegung zeigen, dass es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 2 ist. Also: 2 ist nicht rational. Es gibt also Punkte auf dem strahl, die keiner rationalen Zahl entsprechen! Die führt uns zu den reellen. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Platon Rationale Platon ( vor Chr.) schreibt in einem Brief an Kleinias, dass ein Mensch, der nicht im Innersten erschüttert ist, wenn er erfährt, dass 2 nicht rational ist, gefühlsmässig einem Rindvieh gleiche. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

12 Reelle Reelle Die reellen mathematisch korrekt zu definieren ist etwas komplizierter (und auch nur für Mathematiker wichtig). Wir begnügen uns hier mit einer naiveren Sichtweise. Wir bezeichnen mit R := Menge aller Punkte auf dem strahl die Menge der reellen. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Unendliche Dezimalbrüche Reelle Es gilt: Jede reelle Zahl lässt sich als unendlicher Dezimalbruch darstellen und jeder unendliche Dezimalbruch definiert eine reelle Zahl. Dabei entsprechen den rationalen gerade die endlichen und die periodischen Dezimalbrüche. Zum Beispiel: 2 = 1, Eine solche Darstellung ist aber im allgemeinen nicht eindeutig, und es ist schwierig mit unendlichen Dezimalbrüchen zu rechnen. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

13 Reelle Eigenschaften reeller Auf der Menge R hat man die gleichen Strukturen und Eigenschaften wie auf den rationalen : Addition Existenz von additiven Inversen Multiplikation Existenz von multiplikativen Inversen Totale Ordnung Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Reelle Eigenschaften reeller Zusätzlich hat man folgende Eigenschaft: R ist vollständig. Die Vollständigkeit kann zum Beispiel so formuliert werden: Jede nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine kleinste obere Schranke. Was das genau bedeutet, soll hier jetzt aber nicht näher erläutert werden. Diese zusätzliche Eigenschaft ist vor allem wichtig, wenn man Analysis betreiben will. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

14 Reelle Existenz von Quadratwurzeln in R Eine Konsequenz der Vollständigkeit ist: Jede positive reelle Zahl hat eine positive Quadratwurzel, d.h. zu jeder positiven reellen Zahl a R gibt es eine eindeutig bestimmte positive Zahl b R mit der Eigenschaft, dass b 2 = a gilt. Diese wird abkürzend mit a bezeichnet. Dies ist nicht klar, sondern ein kleiner mathematischer Satz, der bewiesen werden muss. Aber nicht hier. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Quadratwurzeln in R Reelle Ist b R mit b 2 = a folgt natürlich auch: ( b) ( b) = ( 1) ( 1) b 2 = b 2 = a. Andererseits gibt es für ein negatives a R keine Zahl b R mit b 2 = a, da (wegen ( 1) ( 1) = 1) jedes Quadrat einer reellen Zahl positiv oder 0 ist. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

15 Existenz von n-ten Wurzeln Reelle Ist n N eine beliebige natürliche Zahl, so kann man allgemeiner Folgendes beweisen: Jede positive reelle Zahl hat eine eindeutig bestimmte positive n-te Wurzel, d.h. zu jeder positiven reellen Zahl a R gibt es eine eindeutig bestimmte positive Zahl b R mit der Eigenschaft, dass b n = a gilt. Diese wird abkürzend einfach mit b = n a bezeichnet. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Komplexe I Komplexe Will man auch Quadratwurzeln aus negativen haben, so muss man die reellen abermals erweitern und eine neue Zahl i mit der Eigenschaft i 2 = 1 einführen. Dies führt zur Menge der komplexen C. Man kann die Menge der komplexen zum Beispiel so einführen: C := {x + i y x, y R} Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

16 Komplexe Komplexe II Man rechnet in den komplexen wie gewohnt und benutzt die Gleichheit i 2 = 1, d.h. man definiert die Addition und Multiplikation für x 1, x 2, y 1, y 2 R wie folgt: (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) := (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i (x 1 + y 1 i) (x 2 + y 2 i) := (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )i Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Komplexe Eigenschaften komplexer Auf der Menge C hat man nun folgende Strukturen und Eigenschaften: Addition Existenz von additiven Inversen Multiplikation Existenz von multiplikativen Inversen Es gibt keine totale Ordnung die mit der add. und mult. Struktur verträglich ist C ist vollständig Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

17 Komplexe Eigenschaften komplexer Zusätzlich haben die komplexen die folgende Eigenschaft: Fundamentalsatz der Algebra C ist algebraisch abgeschlossen, d.h. jedes nicht konstante Polynom mit Koeffizienten in C hat auch eine Nullstelle in C. Der Beweis dieses Satzes ist nicht einfach und wird hier nicht weiter ausgeführt. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Zusammenfassung Komplexe N Z Q R C Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

18 Elementares Rechnen Rechenregeln Für die reellen a, b, c R (und genauso für die ganzen, natürlichen, rationalen und die komplexen ) gelten die folgenden Rechenregeln: Kommutativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Addition a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Rechenregeln Elementares Rechnen Kommutativgesetz der Multiplikation a b = b a Assoziativgesetz der Multiplikation (a b) c = a (b c) Distributivgesetz (a + b) c = a c + b c Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

19 Beispiel Elementares Rechnen Zum Beispiel kann man folgende Rechnung mit diesen Regeln durchführen: (1 a) (1 + a + a 2 + a 3 ) = (1 + a + a 2 + a 3 ) a(1 + a + a 2 + a 3 ) = (1 + a + a 2 + a 3 ) (a + a 2 + a 3 + a 4 ) = 1 a 4 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Potenzen Potenzen mit natürlichen Die Potenzrechnung bereitet vielen Studienanfängern Schwierigkeiten. Deshalb hier eine kleine Wiederholung. Dazu sei y eine reelle Zahl. Ist n eine natürliche Zahl so definiert man: y n := y y y }{{} n mal Hierbei heisst y die Basis und n der Exponent. Also zum Beipiel: y 3 = y y y y 5 = y y y y y Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

20 Potenzen Potenzen mit natürlichen II Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Potenzgesetzte für natürliche n und m sowie reelle x und y: y n+m = y n y m (y n ) m = y n m (x y) n = x n y n Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Potenzen Potenzen mit ganzen Ist n = 0, so definiert man für y 0 y n = y 0 := 1, und ist n Z negativ, so definiert man y n := 1 y n. Beachten Sie, dass die Definition gerade so gemacht ist, dass die obigen Potenzgesetzte erhalten bleiben. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

21 Potenzen Potenzen mit rationalen Damit obige Gesetze auch für rationale Exponenten erhalten bleiben, muss man es wie folgt machen: y m n := ( n y) m Hierbei ist es wichtig, dass y eine positive (!) reellen Zahl ist und dass m n eine Darstellung des rationalen Exponenten ist, indem n eine natürliche Zahl ist. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Potenzen Potenzen mit reellen Ist nun x eine reelle Zahl, so ist es ein wenig schwieriger y x zu definieren. Es geht ungefähr so: Dazu nähert man x durch eine rationale Folge a k Q und betrachtet dann die Folge y a k. Der sogenannte Grenzwert dieser Folge wir als y x definiert. Dies mathematisch präzise und korrekt zu machen ist ein bisschen schwieriger und soll hier jetzt nicht diskutiert werden. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

22 Potenzgesetze Potenzen Hier sind noch mal zusammengefasst die wichigsten Regeln für das Rechnen mit Potenzen: Sind x, y R positive reelle und a, b R beliebige reelle so gilt: (x a+b ) = x a x b (x a ) b = x ab (xy) a = x a y a x 0 = 1 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Potenzgesetze Potenzen x a = 1 x a x 1 2 = x x 1 n = n x, für ein n N Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

23 Logarithmus Logarithmus Sind a und x positive reelle mit a 0 so gibt es eine eindeutig bestimmt reelle Zahl y mit der Eigenschaft a y = x. In diesem Fall nennt man y den Logarithmus von x zur Basis a und bezeichnet ihn mit log a (x). Beispiele: log 2 (8) = 3 weil 2 3 = 8 log 5 (25) = 2 weil 5 2 = 25 log 7 (1) = 0 weil 7 0 = 1 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Logarithmengesetze Logarithmus Aus den Potenzgesetzen ergeben sich folgende Gesetze für den Logarithmus: Für reelle x, y, p R und ein positive reelles a R gilt: log a (x y) = log a (x) + log a (y) log a ( x y ) = log a(x) log a (y) log a (x p ) = p log a (x) Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

24 Lineare Gleichung I Geichungen Lineare Gleichung Eine Gleichung der Form a x + b = 0 mit a, b R heisst lineare Gleichung. Wir interessieren uns für die Lösungsmenge dieser Gleichung, i.e. L := {t R a t + b = 0} Diese kann man wie folgt bestimmen: Wir addieren zunächst auf beiden Seiten b so erhalten wir die äquivalente Gleichung: a x = b Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Lineare Gleichung II Geichungen Lineare Gleichung a x = b a 0 : Wir multiplizieren beide Seiten mit 1 a eindeutige Lösung: und erhalten die x = b a also L = { b a } a = 0 : b 0 : es gibt keine Lösung, also L = {} b = 0 : L = R Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

25 Geichungen Quadratische Gleichung Quadratische Gleichung Eine Gleichung der Form x 2 + p x + q = 0 heisst quadratische Gleichung (p, q R). Wir suchen wieder die Lösungsmenge L := {t R t 2 + p t + q = 0}. Zum Lösen erinnern wir uns zunächst an die binomische Formel: (a + b) 2 = a a b + b 2 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51 Geichungen Quadratische Gleichung Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 q x 2 + px = q + ( p 2 )2 x x p 2 + ( p 2 )2 = ( p 2 )2 q (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51

26 Geichungen Quadratische Gleichung Lösung der quadratischen Gleichung Jetzt unterscheiden wir zwei Fälle: (x + p 2 )2 = ( p 2 )2 q ( p 2 )2 q < 0: Es gibt keine Lösung in R ( p 2 )2 q 0: x = p 2 ± p 2 4 q L = { p 2 + p 2 4 q, p 2 p 2 4 q} Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September / 51