Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen.

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1 1. Grundlagen Damit wir uns im Gebiet der Zahlen orientieren können, müssen wir uns einer gemeinsam festgelegten Sprache bedienen. In diesem ersten Kapitel erhalten Sie einen kurzen Abriss über die gängigsten Begriffe und Definitionen, von denen wir ausgehen. 1.1 Allgemeines zu Mengen Eine Menge ist die Zusammenfassung von bestimmten unterschiedenen Objekten zu einem Ganzen. Mengen können aus ganz unterschiedlichen Elementen bestehen (z.b. aus Menschen, Sachen, Figuren etc.). Im Zusammenhang mit der Mathematik interessieren uns aber ganz besonders die eigentlichen Zahlenmengen. Mengen enthalten also Objekte, es sind die Elemente der Menge. Mengen werden mit grossen lateinischen Buchstaben bezeichnet, z.b. A, B oder M. Definierte Zahlenmengen werden mit einem Doppelstrich gekennzeichnet (vgl. Kapitel 1.2). Beschreibung von Mengen Elemente Teilmengen Verknüpfungen von Mengen Mengen und ihre Elemente können auf verschiedene Weise beschrieben werden: aufzählende Form: A = { 1, 2,, 4 } Form mit einer Formel: B = { x x > -2 } gelesen als "x ist Element von wobei gilt, x ist grösser als -2" C = { x 0 x 0 } beschreibende Form: D = alle ganzen Zahlen, die durch 5 teilbar sind Ob ein Element Teil einer Menge ist, bezeichnen wir mit bzw.. A = { 1, 2,, 4 } 1 A 1 ist Element der Menge A. 5 A 5 ist kein Element der Menge A. Nimmt man nur einen Teil der Elemente und betrachtet sie als eigene Menge, spricht man von einer Teilmenge. Teilmengen werden mit dem Zeichen bezeichnet. A B Alle Elemente von A sind auch Elemente von B. A = { 1, 2,, 4 } B = { 1, 2,, 4, 5, 6 } C = {, 4, 5, 6, 7, 8 } A C Nicht alle Elemente von A sind zugleich auch Elemente von C. Mengen können miteinander verknüpft werden: bekannt sind Schnitt- und Vereinigungsmenge. A = { 1, 2,, 4 } Schnittmenge: A B (gelesen als "A geschnitten mit B") B = {, 4, 5, 6 } nur die Elemente, die beiden Mengen gemeinsam sind hier: A B = {, 4 } Als Mengenbeschreibung: C = { x x > - Λ x < 2 } C = { -2, -1, 0, 1 } C = alle ganzen Zahlen, die sowohl grösser als -, als auch kleiner als 2 sind Vereinigungsmenge: A U B (gelesen als "A vereinigt mit B") alle Elemente, die in A, in B oder in beiden vorkommen hier: A U B = { 1, 2,, 4, 5, 6 } Als Mengenbeschreibung: D = { x x < 2 v x > 7 } D = {, -1, 0, 1, 8, 9, } D = alle ganzen Zahlen, die entweder kleiner als 2 oder grösser als 7 sind Spezielle Mengen Als spezielle Mengen sind gebräuchlich: G Grundmenge D Definitionsmenge L Lösungsmenge Eine weitere spezielle Menge ist die leere Menge, die Menge ohne Elemente, geschrieben wird sie mit { }. Sie ist das Kennzeichen für keine Lösung. Grundlagen 1

2 1.2 Zahlenmengen : die natürlichen Zahlen Zahlen haben zuallererst etwas mit dem Zählen von Objekten zu tun, und dies tut man mit den "normalen" Zahlen 1, 2, etc. Diese Zahlen heissen natürliche Zahlen und werden mit gekennzeichnet: = { 1, 2,, 4, 5,... } Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich gross, d.h. zu jeder Zahl gibt es eine, die mindestens um den Wert 1 grösser ist, zu der es natürlich wiederum mindestens eine um 1 grössere gibt etc. ist bezüglich den Operationen "+" und " " abgeschlossen, d.h. eine Summe bzw. ein Produkt zweier natürlicher Zahlen ergibt immer auch eine natürliche Zahl. (Bezüglich den Operationen "-" und ":" ist nicht abgeschlossen.) Ein Spezialfall im Zusammenhang mit den natürlichen Zahlen ist die Menge der natürlichen Zahlen erweitert um die Zahl 0. Da man 0 beim Zählen nicht braucht (brauchen kann), gehört sie eigentlich nicht zu den natürlichen Zahlen. 0 = { 0, 1, 2,, 4, 5,... } : die ganzen Zahlen Da es Rechnungen gibt, die bei den natürlichen Zahlen keine Lösungen haben, mussten die Zahlen erweitert werden. Subtraktionen können zu Resultaten kleiner 0 führen. Deshalb ergänzten die Mathematiker die Zahlen mit allen negativen Zahlen (inkl. 0) und definierten diese als ganze Zahlen, als Menge. = {..., -, -2, -1, 0, 1, 2,,... } Die Menge der ganzen Zahlen ist ebenfalls unendlich gross, sie besteht aber aus gleich vielen positiven Zahlen wie die natürlichen Zahlen. ist bezüglich der Operation "-" abgeschlossen, nicht aber bezüglich der Operation ":". Als Teilmengen von kennen wir noch: + und - + ist mit identisch - umfasst alle negativen ganzen Zahlen Die ganzen Zahlen lassen sich graphisch als Zahlengerade darstellen Die Gerade geht auf beiden Seiten immer weiter. Die einzelnen Punkte sind die Elemente der Menge. Genau genommen besteht die Menge also nicht aus der ganzen Zahlengeraden, sondern nur aus den Punkten (bei den ganzen Zahlen). Der Mittelpunkt dieser Zahlengerade ist der Punkt 0. Nach rechts werden die positiven, nach links die negativen Zahlen aufgeführt. Es gilt also: -4 < - < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < < 4 2 Grundlagen

3 1.2. : die rationalen Zahlen Weitere Zahlen sind notwendig, wenn jede Division auch ein genau bestimmtes Resultat haben soll. Zu den ganzen Zahlen kommen nun noch die Brüche hinzu. Diese Zahlenmenge, also alle ganzen Zahlen sowie zwischen den ganzen Zahlen noch alle Brüche, nennt man rationale Zahlen und bezeichnet sie mit. = {..., -1,..., -⅓,, 0,..., ¼,, 1,..., 1.6,..., ,... } Da jede Division auch als Bruch geschrieben werden kann, sind die rationalen Zahlen auch bezüglich der Operation ":" abgeschlossen. Als Teilmengen von kennen wir noch: + und Q - + umfasst alle positiven rationalen Zahlen - umfasst alle negativen rationalen Zahlen : die reellen Zahlen Weitere Zahlen kommen hinzu, wenn wir die Wurzeln betrachten. Eine Wurzel stellt die Frage nach der Zahl, die mit sich selber multipliziert, die ursprüngliche Zahl ergibt. Viele Wurzeln ergeben eine natürliche (oder ganze) Zahl, z.b. 4 = 2. Noch mehr Wurzeln aber ergeben einen unendlichen Dezimalbruch, d.h. es sind keine Brüche, wir können diese Zahlen nicht als Bruch mit einem Zähler und einem Nenner schreiben, z.b. 2 = oder das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser π = Diese quasi in sich schon unendlichen Zahlen heissen "irrationale Zahlen". Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die reellen Zahlen, die man als Menge bezeichnet. = {..., -1,..., 0,..., ⅜,..., 1,..., 1.102,..., 2,..., 41,... } : die komplexen Zahlen Weitere Zahlen sind notwendig, wenn auch Gleichungen wie x 2 = -1 bzw. i 2 = -1 eine Lösung haben sollen. x = 1 kann in nicht berechnet werden, denn es gibt keine reelle Zahl, die mit sich selber multipliziert, negativ wird. Die Lösung zu diesem Problem ist die "Erfindung" neuer Zahlen, die imaginären Zahlen. Dabei gilt die Definition i = 1. Die imaginären Zahlen bilden zusammen mit den reellen Zahlen die komplexen Zahlen, welche als Menge bezeichnet werden. In diesem Buch werden wir auf diese Zahlen nicht weiter eingehen Zusammenfassung Alle vorgestellten Zahlenmengen lassen sich grafisch wie folgt aufzeichnen: Schema: mit Beispielzahlen ausgefüllt: 8i e i 2-1 ½ 1, ¾ i π 5 2i Grundlagen

4 1. Zahlenintervalle notieren und visualisieren Ein Zahlenintervall ist ein zusammenhängender, lückenloser Bereich von Zahlen. Beschränktes Intervall Der Zahlenbereich besitzt eine obere und untere Grenze. abgeschlossenes Intervall: beide Grenzwerte (Startpunkte) gehören zum Intervall dazu z.b. 1 x 5 halb-offenes Intervall: nur einer der Grenzwerte gehört zum Intervall dazu z.b. 1 x < 5 oder 1 < x 5 offenes Intervall: keiner der Grenzwerte gehört zum Intervall dazu z.b. 1 < x < 5 Unbeschränktes Intervall Die untere oder obere Grenze fehlt. Das Intervall hat in einer Richtung kein Ende. abgeschlossenes Intervall: der eine Grenzwert gehört zum Intervall dazu: z.b. x 5 offenes Intervall: der eine Grenzwert gehört nicht zum Intervall dazu: z.b. x < 5 a) Notieren von Intervallen (Intervall-Schreibweise mit speziellen Klammerformen) Intervalle werden durch die Angabe ihrer Grenzwerte und das Verwenden von Klammern notiert. Intervall-Schreibweise Mengenschreibweise Standard Alternativ (gleichbedeutend) a ; b (keine) { x a x b } ( a ; b ) a ; b { x a < x < b } ( a ; b a ; b { x a < x b } a ; b ) a ; b { x a x < b } b) Darstellung von Intervallen auf der Zahlengeraden Zahlenintervalle lassen sich sehr gut auf der Zahlengeraden veranschaulichen. Normalerweise bewegen wir uns im Mathematikunterricht in der Menge der rationalen Zahlen () oder in der Menge der reellen Zahlen (). Die Zahlengerade soll also bzw. repräsentieren. Bei der Darstellung von Intervallen auf der Zahlengeraden müssen wir unterscheiden, ob die Grenzwerte (oder Startpunkte) zum Intervall dazu gehören oder nicht. Dafür gibt es verschiedene Darstellungsweisen. Wir bestimmen hier folgende Konventionen: Ohne Startpunkt: bzw. Mit Startpunkt: bzw. Beispiele (G = ) Beschränktes abgeschlossenes Intervall Mengenschreibweise: { x -1 x } Intervallschreibweise: [ -1 ; ] Unbeschränktes offenes Intervall Mengenschreibweise: { x x > -1 } Intervallschreibweise: ( -1 ; ) 4 Grundlagen

5 1.4 Der Betrag einer Zahl Betrachtet man die Zahlenpunkte auf der Zahlengeraden sind sie entweder positiv oder negativ. Betrachtet man aber den Abstand, den die einzelnen Punkte zum Nullpunkt (d.h. zur Zahl 0) haben, so ist dieser bei jeweils zwei Punkten mit derselben Zahl gleich gross. 2 und -2 haben beide den Abstand 2 vom Nullpunkt, 8 und -8 den Abstand Abstand: 2 Abstand: 2 Diesen Abstand nennt man den Betrag einer Zahl. Den Betrag einer Zahl erhält man also durch das Vernachlässigen (Weglassen) des Vorzeichens. Das bedeutet, dass der Betrag einer Zahl immer positiv ist. Geschrieben wird der Betrag mit zwei senkrechten Strichen ( ), je einen Strich vor und einen Strich nach der Zahl. Beispiele a) 6 = 6 b) -.4 =.4 Umgekehrt gilt: c) x = 2 d.h. x = 2 oder x = 2 d) x = 8 d.h. x = 8 oder x = Die Grundoperationen Hier finden Sie die Begriffe im Zusammenhang mit den Grundoperationen. Addition = 9 Summand Summand Summe Subtraktion 5-2 = Minuend Subtrahend Differenz Multiplikation 2 = 6 Faktor Faktor Produkt Multiplikator Multiplikand Division 8 : 2 = 4 Dividend Divisor Quotient Potenzieren 2 = 9 Basis Exponent Potenzwert Grundlagen 5

6 1.6 Rechenhierarchie (1. Teil) 1 Im Gegensatz zum Lesen, das von links nach rechts geschieht (zumindest in der westlichen Welt), ist in der Mathematik die Reihenfolge der Operationen für korrekte Resultate hierarchisch festgelegt. Es gilt folgende Reihenfolge der Operationen: 1. Ausdrücke in Klammern (beginnend mit der innersten Klammer) 2. Punkt-Operationen (, : ). Strich-Operationen ( +, - ) 4. von links nach rechts Vereinfachte Merkregel: Klammern vor Punkt vor Strich ( ) : + - Beispiele a) = 15 b) = 20 c) ( ) ( ) 8 = 24 d) 12-6 : : = e) 12-6 : ( 2 ) 12-6 : ( 2 ) 12-6 : = 11 f) ( 12-6 ) : : 2 6 : 2 = 9 g) ( 12-6 ) : ( 2 ) 12-6 : ( 2 ) 6 : 6 = 1 1 Rechenhierarchie (2. Teil) siehe Kapitel Grundlagen