Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):

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1 Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge (d. h. die Menge aller Werte, die die Gleichung erfüllen). Aufgabe 1: ( x ) = 2 (x - ) Aufgabe 2: 2 ( x ) = ( x + 7 ) ( ) Aufgabe : 6 ( ) = 7 ( x + ) + ( x + 1 ) Aufgabe : ( x + 2 ) ( x 7 ) = 2 ( 6x + 16 ) 1 Musterlösungen ab Seite 2. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): Welche Regeln zur Umformung von Ungleichungen kennen Sie (wir suchen Regeln betreffend die Addition von Größen und betreffend die Multiplikation mit einer Größe)? Lösen Sie: Aufgabe : 7 ( x ) < 2 ( x + ) (Die Lösung sollte folgende Form haben: Lösungsmenge L = { x, x <... } ) Aufgabe 6: 2 ( x + ) > ( ) Musterlösungen ab Seite.

2 Musterlösungen zu linearen Gleichungen: Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Aufgabe 1: ( x ) = 2 (x - ) Wichtig ist hier erst einmal die Sichtweise. Obige Gleichung ist eine Aussageform, d. h. man kann den Wert (0 oder 1 bzw. WAHR oder FALSCH) nicht feststellen. Erst wenn wir für x eine reelle Zahl einsetzen (z. B. 7 für x einsetzen), wird aus der Aussageform eine Aussage. Gesucht sind nun alle Werte, für die obige Aussage dann WAHR liefert. Die Menge dieser Werte, für die obige Aussageform zu einer WAHREN Aussage wird, heißt Lösungsmenge L. Zum Lösungsverfahren: Wir formen obige Gleichung so um, dass die Lösungsmenge dabei nicht verändert wird. Diese Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen (äqui valenz = gleicher Wert). Dies sind o Addition einer beliebigen Größe (auch einer negativen Größe) zu jeder Seite der Gleichung. o Multiplikation jeder Seite mit einem Wert ungleich Null (der Wert kann auch ein Bruch sein). Beschreiben Sie rechts von jeder Gleichung bewusst den nächsten Schritt. Diese Beschreibung halte ich für sehr wichtig! Und jetzt geht es los: ( x ) = 2 (x - ) Klammern auflösen x 27 = x = 1 : 7 1 x = 7 Beachten Sie: " : 7 " ist gleichbedeutend mit 1 7 Aus der letzten Aussageform können wir die Lösungsmenge direkt bestimmen: L = { 1 } 7 Da wir nur Äquivalenzumformungen benutzt haben, ist dies auch die Lösungsmenge der ursprünglich gegebenen Gleichung. Aufgabe 2: 2 ( x ) = ( x + 7 ) ( ) Klammern auflösen 6x 10 = 16x x + 1 Terme zusammenfassen 6x 10 = 6x + -6x = L = { } Die Lösungsmenge ist leer, es gibt keine Lösungen. Falls Sie gedankliche Probleme damit haben, dass man in die letzte Aussageform kein x einsetzen kann, führen Sie die letzte Umformung davor mit ( -x + 10 ) aus. Dann haben Sie x = x + und sehen auch, dass es keine Lösungen gibt.

3 Aufgabe : 6 ( ) = 7 ( x + ) + ( x + 1 ) 2 1 = 7x x = 10x x 2 L = { 0 } -2 = 0 : (-22) x = 0 Aufgabe : ( x + 2 ) ( x 7 ) = 2 ( 6x + 16 ) 1 1x + 10 x + 21 = = = 0 Aus der letzten oder auch aus der vorletzten Zeile sehen Sie: man kann jeden Wert für x einsetzen, es gibt also unendlich viele Lösungen. Die Lösungsmenge sind alle reellen Zahlen: L = Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): Welche Regeln zur Umformung von Ungleichungen kennen Sie (wir suchen Regeln betreffend die Addition von Größen und betreffend die Multiplikation mit einer Größe)? Äquivalenzumformungen sind o Die Addition einer beliebigen Größe zu beiden Seiten der Ungleichung. o Die Multiplikation beider Seiten mit einer positiven Größe! o Die Multiplikation mit einer negativen Größe ist dennoch erlaubt mit folgendem Zusatz: Das Ungleichheitszeichen "dreht sich um", d.h. aus ">" wird "<", aus " " wird " " u.s.w. Aufgabe : 7 ( x ) < 2 ( x + ) 7x 21 < x < 27 : (oder x < 27 L = { x x < 27 } 1 ) Aufgabe 6: 2 ( x + ) > ( ) + 10 > 10x 1-10x 10-8x > -2 : (-8) x 2 < 8 L = { x x < 8 2 }

4 Fortführung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): 7 Betrachten Sie die Ungleichung < x + Diese Ungleichung müssen wir mit (x+) multiplizieren. Problem: es gibt zwei Regeln für die Multiplikation. Ist (x+) positiv, so bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten. Ist (x+) negativ, so dreht sich das Zeichen um. ( Frage: wieso betrachten wir nicht den Fall (x+) = 0? ) Wir müssen daher eine Fallunterscheidung machen. Wichtig ist hier, dass Sie systematisch vorgehen und gut notieren, was Sie tun. Also: Fallunterscheidung: Fall I: (x+) > 0 Fall II: (x+) < 0 Rechnung für Fall I: Vereinfachen der Grundvoraussetzung x + > 0 x > Vereinfachen der Ungleichung 7 < x +. (x+) 7 < ( x + ) 7 < x < 27 : (-10) x > -2,7 Teil-Lösungsmenge L I = { x ( x > Graphisch: = { x ( x > -2,7 -/ 0 ) x > -2,7 } ) } Rechnung für Fall II: Vereinfachen der Grundvoraussetzung x + < 0 x < Vereinfachen der Ungleichung 7 < x +. (x+) 7 > ( x + ) 7 >

5 -10x > 27 : (-10) x < -2,7 Teil-Lösungsmenge L II = { x ( x < Graphisch: = { x x < -2,7 } -2,7 -/ 0 ) x < -2,7 } Zusammenfassen der Fälle: L = L I L II = { x x < -2,7 x > Graphisch: -2,7 -/ 0 } Aufgaben: Lösen Sie auf die gleiche Art x Aufgabe 7: > Aufgabe 8: < 2 x + Ausführliche Lösung ab der folgenden Seite.

6 Musterlösungen der Aufgaben 7 und 8: x Aufgabe 7: > Als erstes sollten Sie immer die Grundmenge bestimmen, indem Sie die Nullstellen des Nenners berechnen und dann ausschließen. Dabei sollten die Nullstellen explizit bestimmt werden (also in der Form x =...), es soll nicht nur die Gleichung dafür hingeschrieben werden! Grundmenge bestimmen: Für die Nullstellen des Nenners gilt = 0 Da der Nenner nie Null werden darf, gilt: Grundmenge G = { x x 1, } x = 2 Schreiben Sie das Wort Fallunterscheidung und geben Sie beiden Fällen jeweils einen Namen (hier: I und II). Nennen Sie vorab beide Fälle, das erleichtert die Übersicht. Fallunterscheidung: Fall I : > 0 Fall II : < 0 Bearbeiten Sie jetzt Fall I: Erst vereinfachen Sie die Grundvoraussetzung für diesen Fall: Fall I : > 0 + > : 2 x > 1, Dann behandeln Sie die eigentliche Ungleichung: x > x > ( ) - > - x < 2. ( ) ; es gilt: (-) > 0 Für die Lösungsmenge müssen Sie die Grundvoraussetzung des Falles und die ermittelte Lösung zusammenführen: L I = { x x > 1, x < 2 }

7 Beide Ungleichungen werden mit (UND) verknüpft, denn beide müssen zugleich erfüllt sein. Machen Sie sich die Lösungsmenge am Zahlenstrahl klar. Analog bearbeiten Sie den Fall II: Fall II: < 0 x < 1, x >. ( ) ; es gilt: (-) < 0 x < ( ) - < - x > 2 Zusammenführen von Grundvoraussetzung des Falles II mit der Lösung ergibt L II = { x x < 1, x > 2 } Machen Sie auch hier sich die Lösung graphisch klar und beachten Sie das : Welche Zahlenwerte x sind sowohl < 1, als auch > 2? Daran merken Sie, dass die Rechnung mit obiger Angabe noch nicht zu Ende ist. Die Lösung von Fall II muss lauten L II = { } oder L II = Nach Abschluss beider Fälle müssen Sie beide Fälle zusammenführen. Allgemein gilt immer L = L I L II Vereinigung von Mengen Hier gilt dann weiter L = L I L II = L I = L I = { x 1, < x < 2 } = ( 1, ; 2,0 ) Sie sehen diverse Schreibweisen für die gleichen Zahlenmenge, nämlich das offene Intervall von 1, bis 2,0.

8 1 + 1 Aufgabe 8: < 2 x + Grundmenge bestimmen: Für die Nullstellen des Nenners gilt x + = 0 Also gilt x = G = { x x } Fallunterscheidung: Fall I: x + > 0 Fall II: x + < 0 Fall I: x + > 0 x > < 2 x + 12 x + 1 < -2 ( x + ). (x + ) ; es gilt (x+) > 0 12 x + 1 < -6x 8 + 6x 1 18 x < -22 : 18 und kürzen x < L I = { x x > x < } = { x < x < } (Berechnen Sie die Brüche näherungsweise mit dem Taschenrechner und markieren Sie ihre Position auf dem Zahlenstrahl).

9 Fall II: x + < 0 x < < 2 x +. (x + ) ; es gilt (x+) < 0 12 x + 1 > -2 (x + ) 12 x + 1 > -6x 8 + 6x 1 18 x > -22 : 18 x > L II = { x x < x > } = Gesamtlösung L = L I L II = L I = L I = ( ; )