10 Lineare Gleichungssysteme

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1 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1 10 Lineare Gleichungssysteme (101) Bezeichnungen: Ein System a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 ( ) a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m aus m linearen Gleichungen mit reellen Koeffizienten für n Unbekannte heißt ein lineares Gleichungssystem (LGS) über IR Mit der Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn M m,n (IR) und dem Vektor b = b 1 b 2 IR m der rechten Seite läßt sich das LGS ( ) darstellen in der Form wobei x = x 1 x 2 b m A x = b, der Spaltenvektor der Unbekannten ist x n

2 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 2 Die Matrix (A b) := a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b m M m,(n+1) (IR) heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix von ( ) Ein Spaltenvektor y = y 1 y 2 y n IR n heißt eine Lösung von ( ), wenn A y = b gilt Lös(A, b) := { y y IR n, Ay = b } heißt die Lösungsmenge von ( ) Das LGS Ax = b heißt lösbar, wenn Lös(A, b) ist, ansonsten unlösbar Das LGS Ax = b heißt homogen, wenn b = o m der Nullvektor ist, ansonsten inhomogen Probleme: Wie läßt sich rechnerisch feststellen, ob ein Gleichungssystem lösbar ist oder nicht? Was läßt sich über die Größe der Lösungsmenge aussagen? Was läßt sich über die Lösungen aussagen? Wie läßt sich die Lösungsmenge rechnerisch bestimmen?

3 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 3 (102) SATZ: Die Lösungsmenge des LGS s ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m ändert sich nicht unter den folgenden Operationen: I) Vertauschung zweier Gleichungen II) Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar 0 III) Addition des skalaren Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung Bew: I) ist klar II) Wir multiplizieren die j te Gleichung mit r 0 und erhalten das LGS ( ) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 ra j1 x 1 + ra j2 x ra jn x n = rb j a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Es sei L die Lösungsmenge von ( ) und L die von ( ) Beh: L = L Ist y = (y k ) L beliebig, so gilt für alle i = 1, 2,, m a i1 y 1 + a i2 y a in y n = b i insbesondere also für i = j a j1 y 1 + a j2 y a jn y n = b j Multipliziert man diese Gleichung (auf beiden Seiten) mit r, so ergibt sich r(a j1 y 1 + a j2 y a jn y n ) = ra j1 y 1 + ra j2 y ra jn y n = rb j dh y ist auch eine Lösung von ( ), ist also ein Element von L Ist umgekehrt y = (y k ) L, so sind alle Gleichungen von ( ) erfüllt, insbesondere gilt ra j1 y 1 + ra j2 y ra jn y n = rb j Multiplikation dieser Gleichung mit r 1 (nach Vor ist r 0!!) ergibt a j1 y 1 + a j2 y a jn y n = b j so daß y 1,, y n alle Gleichungen von ( ) erfüllen, also y L

4 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 4 III) Sei r IR Wir addieren das r fache der i ten Gleichung zur j ten Gleichung (i j) und erhalten das folgende LGS: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 ( ) a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i (a j1 + ra i1 )x 1 + (a j2 + ra i2 )x (a jn + ra in )x n = b j + rb i a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Es sei L die Lösungsmenge von ( ) und L die von ( ) Beh: L = L Ist y = (y k ) L, so gilt insbesondere a i1 y 1 + a i2 y a in y n = b i a j1 y 1 + a j2 y a jn y n = b j Die Addition der mit r multiplizierten i ten Gleichung zur j ten Gleichung ergibt (a j1 + ra i1 )y 1 + (a j2 + ra i2 )y (a jn + ra in )y n = b j + rb i Damit erfüllen y 1,, y n alle Gleichungen von ( ), also y L Ist umgekehrt y = (y k ) L, so gilt insbesondere a i1 y 1 + a i2 y a in y n = b i (a j1 + ra i1 )y 1 + (a j2 + ra i2 )y (a jn + ra in )y n = b j + rb i Addiert man nun zur unteren Gleichung die mit r multiplizierte i te Gleichung, so ergibt sich a j1 y 1 + a j2 y a jn y n = b j Folglich erfüllen y 1,, y n alle Gleichungen von ( ), dh y L Insgesamt ist damit L = L gezeigt (103) DEF: Unter einer elementaren Zeilenumformung einer Matrix versteht man eine der folgenden Umformungen: I) Vertauschung zweier Zeilen II) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar 0 III) Addition des skalaren Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile (104) BEM: Die Lösungsmenge eines LGS s Ax = b ändert sich nicht, wenn man an der erweiterten Koeffizientenmatrix elementare Zeilenumformungen vornimmt

5 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 5 (105) BEISPIEL: Lösung eines LGS s LGS x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 5 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 6 erweiterte Koeffizientenmatrix Addition der mit ( 2) multiplizierten 1 Gl zur 2 Gl und der mit ( 3) multiplizierten 1 Gl zur 3 Gl x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 x 2 2x 3 = 3 2x 2 4x 3 = 6 Addition des ( 2) fachen der 1 Zeile zur 2 und des ( 3) fachen der 1 Zeile zur 3 Zeile Addition der mit ( 2) multiplizierten 2 Gl zur 3 Gl x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 x 2 2x 3 = 3 Addition des ( 2) fachen der 2 Zeile zur 3 Zeile Multiplikation der zweiten Gl mit 1 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 4 x 2 + 2x 3 = 3 Multiplikation der zweiten Zeile mit Der Matrix auf der rechten Seite entspricht das linksstehende LGS, das aus zwei Gleichungen für drei Unbekannte besteht Wir können daher eine Unbekannte frei wählen (etwa x 3 = t IR) und die anderen Unbekannten in Abhängigkeit von t bestimmen Aus der zweiten Gleichung ergibt sich damit x 2 = 3 2t und aus der ersten x 1 = 4 2x 2 3x 3 = t 3t = 2 + t Damit hat die Lösungsmenge das folgende Aussehen: Lös(A, b) = 2 + t 3 2t t t IR Jeder Lösungsvektor hängt in diesem Falle von einem frei wählbaren Parameter t IR ab Durch Einsetzen der Lösungen in die drei ursprünglichen Gleichungen kann man die Probe machen

6 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 6 (106) BEISPIEL: x 1 2x 2 = 1 x 2 + x 3 = 1 x 1 + x 3 = Wir erhalten aus dem zugehörigen LGS x 1 + 2x 3 = 1 x 2 + x 3 = 1 x 3 = 3 als einzige Lösung: x 3 = 3 = x 2 = 1 x 3 = 2 = x 1 = 1 2x 3 = 5 dh die Lösungsmenge ist 5 2 3

7 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 7 (107) BEISPIEL: x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 1 x 1 x 2 + x 3 = Wir erhalten aus der letzten Zeile die Gleichung 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 = 3 Annahme: Es gibt eine Lösung (y k ) IR 3 Dann ergibt sich mit 0 = 3 ein Widerspruch Das LGS ist also nicht lösbar (108) BEISPIEL: x 1 + x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 6x 2 + 3x 3 = 3 2x 1 + 4x 2 + 2x 3 =

8 ChrNelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 8 Wir erhalten das LGS x 1 + 2x 2 + x 3 = 1 das aus einer Gleichung für drei Unbekannte besteht Wir können zwei Unbekannte frei wählen und die dritte daraus berechnen: Setze x 3 = t IR, x 2 = s IR = x 1 = 1 2s t Die Lösung hängt also von zwei frei wählbaren Parametern s und t ab, die unabhängig voneinander die reellen Zahlen durchlaufen Als Lösungsmenge erhalten wir: 1 2s t s r, s IR t