Lineare Gleichungssysteme

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1 Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Das System a x + a x a n x n = b a x + a x a n x n = b =. a m x + a m x a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem (LGS) mit den Koeffizienten a ij, den rechten Seiten b i und den (unbekannten) Variablen x j. Beispiel : Gegeben: I 3x + 4x = 7 II x + x = 5 ( ) ( ) A = R, b = R 5 ( ) x Gesucht: x = R, so dass A x = b x Lösung: x = 3, x = Homogene und nichthomogene Systeme Sind in einem LGS alle b i = ; i =,...,m, so heißt das System homogen, ist mindestens ein b k, so heißt es inhomogen. Ein Vektor x =(x, x,...,x n ) T R n, der das LGS Ax = b erfüllt, heißt Lösung. Die Menge aller x R n, die das LGS erfüllen, heißt Lösungsmenge oder allgemeine Lösung. Die Lösungsmenge eines LGS bleibt unverändert, wenn: zwei Gleichungen vertauscht werden, eine Gleichung mit α multipliziert wird, ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addiert wird.

2 Gauß Algorithmus Der Gauß-Algorithmus stellt eine Strategie zum Lösen des Gleichungssystems Ax = b dar. Das LGS wird gelöst oder als nicht lösbar erkannt, ggf. entstehen auch vieldeutige Lösungen. Der Algorithmus besteht aus zwei Schritten: a) Vorwärtselimination Es werden Vielfache einer ausgewählten Gleichung von den jeweils anderen Gleichungen subtrahiert, so dass umgeformte Gleichungen mit einer unbekannten Variablen weniger entstehen. Dieser Vorgang wird zwecks Eliminierung weiterer unbekannter Variablen wiederholt,bis nur noch eine Gleichung bleibt, die dann zu lösen ist. b) Rückwärtssubstitution Die bereits ermittelten Variablen werden von unten nach oben in die jeweils ausgewählten Gleichungen eingesetzt, so dass man jeweils eine Lösung für eine weitere Variable erhält. Beispiel a) Vorwärtseliminierung I x + 4x x 3 = 6 II x x + 5x 3 = III 4x + x x 3 = I x + 4x x 3 = 6 I II I: x 3x + 6x 3 = 3 II III- I: x 7x + x 3 = III III 7 3 II : x x 3 = 3 III x 3 = 4 Das System I, II, III wird umgeformt zu I, II, III Beispiel -Fortsetzung b) Rücksubstitution x 3 in II : 3x = 3 x = 3 x, x 3 in I: x = 6 x = 4 Lösung: x = ( 4, 3, ) T = = Beispiel CH Finde positive ganzzahlige x, x, x 3, so dass gilt x Na + x Cl x 3 NaCl Aus der Bilanz für jedes der beteiligten Elemente erhalten wir je eine Gleichung ( ) x = x 3 x = x 3 Das Gleichungssystem ist homogen, die Matrix hat Rang, es gibt einen d Lösungsraum, der aufgespannt wird von der Lösung x =(, /, ) T. Skalieren mit k = liefert eine teilerfremde ganzzahlige Lösung, also Na + Cl NaCl

3 Beispiel CH Beispiel 4x4 Finde positive ganzzahlige x, x, x 3, x 4, so dass gilt x C H 5 OH + x O x 3 CO + x 4 H O Bilanzen: x = x 3 C 6x = x 4 H x + x = x 3 + x 4 O 6 A = ; b = Das Gleichungssystem ist homogen, die Matrix hat Rang 3, es gibt einen d Lösungsraum. skalieren! Noch ein Beispiel: x As S 3 + x HNO 3 + x 3 H O x 4 H3AsO4 + x 5 H SO 4 + x 6 NO Beispiel 4x4, Fortsetzung Beispiel 4x4, Fortsetzung x = x 4 = x 3 = ( + )/( ) = x = ( + )/( ) = x = ( ) ( )= ( ) T,,, eindeutige Lösung

4 Beispiel: Abhängigkeit (über Regularität, Faktorisierung und Determinanten) A = 4 det A = 6 A = 3 ; b = letzte Zeile der Matrix ist Summe der ersten drei Zeilen bei rechter Seite auch letzte Zeile redundant Lösungsmenge identisch der vom 3 4 System formal: zusammenfassend: rk A = 3 x = x 4 = α x 3 = α x = ( + α)/( ) = α x = α + + α + + α = + α ( ) T,,, + α (,,, ) T,α R

5 Beispiel: Widerspruch Fortsetzung A = 3 Widerspruch (weil b 4 b + b + b 3 ) ; b = formal: Zusammenfassung Details Theorem Das LGS Ax = b ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem der erweiterten Koeffizientenmatrix Ab =(A b) ist, rk(a) =rk((a b)). Theorem Die Lösung des lösbaren LGS Ax = b hat die Struktur S = x b + ker(a), wobei x b eine beliebige spezielle Lösung und ker(a) die homogene Lösung, d.h. die des homogenen LGS Ax = ist. Die Ränge der Koeffizientenmatrix A und der erweiterten Koeffizientenmatrix Ab =(A b) ergeben sich nach der Vorwärtselimination beim Gaußalgorithmus. (Zählen der Pivotelemente) Die Basisdarstellung von ker(a) findet man aus der Rückwärtssubstitution.

6 Beispiele Immer noch mehr Beispiele a) x + 3x + x 3 = 9 x 8x + x 3 = 85 6x + x + 3x 3 = 3x + x + 5x 3 = 6 b) 3x x + x 3 = 7x 4x x 3 = x 3x x 3 = 5 x + x + 5x 3 = 5x + 7x 3 = 7 c) 3x x + x 3 = 7x 4x x 3 = x 3x x 3 = 5 x + x + 5x 3 = 5x + 7x 3 = 7 d) 6x + 4x + 8x 3 + 7x 4 = 3x + x + 5x 3 + 8x 4 = 8 3x + x + 7x 3 + 7x 4 = 4 x 3 x 4 = 4 Lösungen zu den letzten 4 Beispielen a) x = 5 b) x = t c) leere Menge (Widerspruch, keine Lösung) d) x = + u 3 + v 4 4 en Die Determinante der Koeffizientenmatrix A ergibt sich nach der Vorwärtselimination beim Gaußalgorithmus. (Multiplizieren der Pivotelemente) Statt Rückwärtssubstitution kann man auch die Elimination fortsezen, bis Diagonalgestalt (Einheitsmatrix) vorliegt. Dann ist die Lösung sofort ablesbar. (Gauß-Jordan). Gauß- und Gauß-Jordan sind auch mit mehreren rechten Seiten ausführbar. So lassen sich insbesonder Inverse berechnen. (Einheitsmatrix als rechte Seite)

7 Cramersche Regel Formel für n = : Die Cramersche Regel gibt für die i-te Koordinate x i folgende Formel an: x i = = det a (A ib + A i b A ni b n ) a... b... a n a... b... a n = D i det a..... D a n... bn... a nn Hier wurde die i-te Spalte in a durch b ersetzt. Für n = und das System erhält man als Lösung: a x + a x = b a x + a x = b x = b a b a a a a a x = a b a b a a a a. Beispiel für n = 3: x + x + 3x 3 = 9 x x + x 3 = 3x + x + x 3 = 7 a = 3 3 det(a) = ( ) ( ) 3 = 3 Lösung x x x D = 7 = D = 3 7 = 6 9 D 3 = 3 7 = 39 = 3 6 =

8 Mehr analytische Geometrie Aufgabe: Bestimme Abstand Punkt Ebene (im Raum R 3 ) Punkt c =(c, c, c 3 ) T R 3 ; Ebene d + x a () + x a () ; Richtungsvektoren a () R 3, a () R 3, linear unabhängig; Stützpunkt d R 3 ; Lineares Gleichungssystem: Ax = b = c d hierbei sind x und x die Flächenkoordinaten in der gesuchten Ebene, die Spalten der Matrix A sind die Richtungsvektoren a (j), j =,. wenn lösbar, so liegt der Punkt in der Ebene doch was, wenn nicht?? Suche Vektor a (3), der senkrecht zu a () und zu a () steht also aus Kern von A. Erweitere A um Spalte a (3) : Ā = (a () a () a (3)) die neue Matrix Ā hat Rang 3, jedes LGS eindeutig lösbar löse jetzt Ā x = b Komponente f = x 3 a (3) ist Lot auf Ebene Norm = f = gesuchter Abstand Normalform Wegen a (3) a (j), j =,, gilt A T f = A T (Ax b) = hier ist x =(x, x ) T =( x, x ) T und f = b Ax Wir lösen also einfach nur das System A T Ax = A T b Hyperebenen (Geraden in der Ebene, Ebenen im Raum, n -dimensionale affine Teilräume im R n ) lassen sich als Lösung einer linearen Gleichung schreiben E = {y : Ny = e} hierbei sei N ein normierter Vektor, der senkrecht zur Ebene steht es gilt dist (x, E) = Nx e

9 Verwandte Aufgaben Abstand zweier Geraden im Raum (windschief? Schnittpunkt?) Durchstoßpunkt Gerade Ebene Abstand Punkt Gerade (in der Ebene, im Raum)