3.4 Der Gaußsche Algorithmus

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1 94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i, i m 1 k= Wie bereits mehrfach erwähnt, ist zunächst herauszufinden, ob es überhaupt Lösungen gibt Gegebenenfalls muß dann eine spezielle Lösung x L I gesucht und eine Basis von L H angegeben werden, denn L I = x + L H All dies leistet der Gaußsche Algorithmus, der jetzt vorgeführt werden wird Wir gehen dazu von der Matrixversion des linearen Gleichungssystems aus: 342 A x = b, A K m n, b K m Außerdem benutzen wir, daß diese Koeffizientenmatrix A auch als lineare Abbildung f verstanden werden kann, so daß wir die Untersuchung auf Lösbarkeit des Gleichungssystems als Problem formulieren können festzustellen, ob die rechte Seite b in Bild(f) liegt Diese Bedingung können wir mit Hilfe des folgenden Begriffs formulieren: 343 Definition (Spaltenrang einer Matrix) Die Dimension des Unterraumes U von K m, der von den Spalten einer Matrix M K m n erzeugt wird, heißt der Spaltenrang von M (Analog kann man den Zeilenrang definieren, und wir werden weiter unten zeigen, daß beide gleich sind!) Bedeutet jetzt (A b), die um die rechte Seite des Gleichungssystem erweiterte Matrix, dann ergibt sich 344 olgerung Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn der Spaltenrang der einfachen Matrix A gleich dem Spaltenrang der erweiterten Matrix (A b) ist Die Untersuchung des Gleichungssystems auf seine Lösbarkeit kann also mit Hilfe einer Rangbestimmung erfolgen Um diese zu ermöglichen, bringen wir die erweiterte Matrix in eine übersichtliche orm, zu der ein Gleichungssystem mit derselben Lösungsgesamtheit gehört Diese vereinfachte orm liefert uns den Rang, eine spezielle Lösung und schließlich sogar eine Basis von L H Diese Umformung heißt Gaußscher Algorithmus und wird jetzt beschrieben Zwecks Umformung können wir invertierbare Matrizen C auf beide Seiten der Gleichung A x = b anwenden, denn das Gleichungssystem CAx = Cb hat dieselbe Lösungsgesamtheit L I Wir listen deshalb zunächst diejenigen invertierbaren linearen Abbildungen und die ihnen entsprechenden Matrizen auf, die im Gaußschen Algorithmus Verwendung finden:

2 34 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS Hilfssatz Ist E die Standardbasis von K m, dann sind die linearen ortsetzungen f i der folgenden Abbildungen f i : E K m K, i = 1, 2, 3, invertierbar: a) f 1 vertauscht e i mit e j und läßt alle anderen e k fest b) f 2 multipliziert e i mit κ von rechts und läßt alle anderen e k fest c) f 3 ersetzt e i durch e i + e j κ mit einem j i und läßt alle e k, k i, fest Die Matrizen C i := M(E m, f i, E m ) unterscheiden sich von der Einheitsmatrix E m nur geringfügig: α) C 1 geht aus E m durch Vertauschen von i ter Zeile und j ter Spalte hervor β) C 2 unterscheidet sich von E m nur durch den Eintrag κ (statt 1) in i ter Zeile und i ter Spalte γ) C 3 unterscheidet sich von E m nur durch einen Eintrag k (statt ) in i ter Spalte, j ter Zeile Diese Matrizen C i können wir also von links an A sowie b multiplizieren ohne daß sich die Lösungsgesamtheit L I ändert: 346 olgerung An der Koeffizientenmatrix A und der rechten Seite b des Gleichungssystems können wir folgende Zeilenumformungen anwenden, ohne die Lösungsgesamtheit zu verändern: i) Vertauschen zweier Zeilen, ii) Multiplizieren einer Zeile mit κ, iii) Addieren des κ fachen der j ten Zeile zur i ten, wobei i j Diese Art von Umformungen nennen wir elementare Zeilemumformungen und wenden sie in dem nun folgenden Gauß Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme an! Schritt (Aus bezeichnungstechnischen Gründen beschränken wir uns auf den Spezialfall, bei dem die nullte Spalte der Ausgangsmatrix A nicht aus lauter Nullen besteht Andernfalls läßt sich die Unbestimmte x beliebig wählen) Mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen bringt man das Ursprungsschema, die erweiterte Matrix, (A b) = a a,n 1 b a m 1, a m 1,n 1 b m 1,

3 96 auf die orm Dabei hat man spaltenweise von links nach rechts vorzugehen! (Sterne im Schema 347 sollen nicht näher spezifizierte Elemente andeuten) Ganz offensichtlich ist der Spaltenrang dieser (neuen) einfachen Matrix gleich der Anzahl dieser mit einer Eins beginnenden Stufen Und ebenso klar ist, daß die neue erweiterte Matrix genau dann denselben Spaltenrang wie die einfache hat, wenn die neue rechte Seite unterhalb der letzten Stufe lauter Nullen enthält das ergibt folgendes wichtige Resultat: 348 olgerung Genau dann, wenn A x = b lösbar ist, geht, bei geeigneter Umformung, die erweiterte Matrix (A b) in eine Matrix der folgenden orm über: Nun sei das lineare Gleichungssystem als lösbar vorausgesetzt Wir verabreden folgende Sprechweisen: Die Spalten im Schema 349, bei denen eine tiefer liegende Treppenstufe beginnt, nennen wir Basisspalten, die restlichen Spalten (ohne die letzte zusätzliche Spalte) heißen ehlspalten Basisspalten kennzeichnen wir durch Pfeile, ehlspalten durch Pfeile : B a s i s s p a l t e n e h l s p a l t e n

4 34 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 97 1 Schritt Wieder nur mit elementaren Zeilenumformungen machen wir die in den Basisspalten von 349 oberhalb der 1 stehenden Elemente zu Null Dabei fangen wir - im Gegensatz zum ersten Schritt - möglichst weit rechts, also mit der letzten Basisspalte an und arbeiten uns von rechts nach links spalten-, genauer: basisspaltenweise vor Resultat ist ein Matrixschema der folgenden orm, bei dem wir in die erste Spalte zur Verdeutlichung die Nummern j i der Basisspalten geschrieben haben: j j 1 j 2 j r 1 1 t 1 t 1 1 t 2 1 t r 1 } {{ } =:C=(c ij) Wir erhalten jetzt i) eine spezielle Lösung des zugehörigen (und damit auch des urprünglichen) Systems, indem wir die ehlvariablen (die Variablen x i zu den ehlspalten) sämtlich gleich setzen und auflösen, ii) und eine Basis von L H ergibt sich, indem wir eine ehlvariable gleich und alle anderen ehlvariablen gleich setzen 341 Satz Ist die Spalte mit der Nummer p in der Matrix C = (c ij ) gleich c p c mp und gleich der ehlspalte von C mit der Nummer k, so setze

5 98 Dann gilt: y k := 1 p + c p c 1p c 2p 1 x ist eine spezielle Lösung von A x = b j j 1 j 2 t j te Zeile t 1 j 1 te Zeile, x := t 2 j 2 te Zeile 2 Die d = n r Vektoren y,, y d 1 bilden eine Basis des Vektorraumes {y R n A y = } 3 Die Lösungsgesamtheit von A x = b ist (vgl??): {x + κ y + + κ d 1 y d 1 κ i K} 3411 Beispiel Gegeben sei folgendes lineare Gleichungssystem über R : 4x 1 + 4x 2 8x 3 24x 4 44x 5 + 4x 6 56x 7 44x 8 = 24 3x 1 3x 2 + 6x x 4 + 3x 5 9x x x 8 = 15 2x 1 2x 2 + 4x 3 + 1x x 5 4x 6 + 2x x 8 = 8 2x 1 + 2x 2 4x 3 12x 4 18x 5 + 1x 6 28x 7 1x 8 = 8 2x 1 2x 2 + 4x 3 + 1x x 5 + 2x x 8 = 1 Die dazugehörige erweiterte Matrix (A b) lautet: Wir bringen zunächst eine Eins an die Position (, ), etwa durch die Division der nullten Zeile durch 4, kurz: (Z Z /( 4)):

6 34 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 99 2 Nun räumen wir die unterhalb von 1 stehenden Elemente aus durch (Z 1 Z 1 3Z ; Z 2 Z 2 2Z ; Z 3 Z 3 + 2Z ; Z 4 Z 4 2Z ): Nachdem wir die nullte Spalte von A weitgehend ausgeräumt haben, suchen wir in dem neuen Zahlenschema die nächste Spalte, die unterhalb der nullten Zeile vom Nullvektor verschieden ist (Hier ist das also die Spalte mit der Nummer 3) Durch Zeilenvertauschungen bringen wir eine von verschiedene Zahl an die oberste Position des Rechtecks (etwa durch die Vertauschung (Z 1 Z 2 ) ): Durch Anwendung von (Z 1 Z 1 /( 2)) erreichen wir, daß eine Eins an der Position (1, 3) steht Um bequemer rechnen zu können, wenden wir noch (Z 2 Z 2 /( 3); Z 3 Z 3 /4; Z 4 Z 4 /( 2)) an und erhalten: Jetzt sind die unterhalb von 1 stehenden Elemente zu zu machen (Z 4 Z 4 Z 1 ): Nun ist diejenige Spalte zu suchen, die unterhalb der Zeile mit der Nummer 1 vom Nullvektor verschieden ist

7 1 6 Da in unserem Beispiel bereits eine 1 an der Position (2, 4) steht, müssen nur noch die Einträge unterhalb der Eins zu gemacht werden (Z 3 Z 3 Z 2 ; Z 4 Z 4 + Z 2 ): B B B ( B= Basisspalte, = ehlspalte) 7 Damit ist der nullte Schritt durchgeführt, die Matrix besitzt Treppengestalt Wir können folgende Eigenschaften direkt ablesen: Das Gleichungssystem Ax = b ist lösbar Rang(A) = 3 (Anzahl der Basisspalten) Der Vektorraum {y R 8 Ay = } ist fünfdimensional (Anzahl der ehlspalten) 8 Als nächstes sind die in den Basisspalten oberhalb der unteren 1 stehenden Elemente zu eliminieren Dabei gehen wir von rechts nach links vor, beginnen also mit der Basisspalte mit der Nummer 2 Die Umformungen (Z 1 Z 1 3Z 2 ; Z Z 11Z 2 ) liefern: Mit (Z Z 6Z 1 ) erreichen wir das entsprechende für die nächste Basisspalte: Die nullte Basisspalte hat bereits die gewünschte Gestalt

8 34 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 11 1 Erinnern wir uns, daß die Spalten von C den Komponenten x,, x 7 des Vektors x entsprechen x, x 3, x 4 sind also Basisspaltenvariable, während x 1, x 2, x 5, x 6, x 7 ehlspaltenvariable sind Im Schema liest sich dies so: x = B B B Eine spezielle Lösung erhalten wir nun dadurch, daß wir die Einträge der rechten Spalte von oben nach unten auf die durch ein B gekennzeichneten Plätze verteilen und die -Plätze mit besetzen: X 1 = Eine Basis y,, y 4 von {y R 8 Ay = } erhalten wir so: ür die nullte ehlspalte betrachten wir den nullten -Platz im obigen Schema Wir setzen an diese Stelle eine 1 Alle anderen -Plätze werden mit vorbesetzt Nun verteilen wir die Einträge der nullten ehlspalte von oben nach unten auf die B-Plätze und erhalten y Entsprechend ergeben sich aus den anderen ehlspalten die Vektoren y 1,, y 4 y = 1 y 1 = 2 y 2 = y 3 = 1 4 y 4 = Wir bemerken vor allem, daß diese y i linear unabhängig sind, das homogene System lösen und deshalb eine Basis von L H besitzen, denn ihre Anzahl entspricht gerade der Dimension von L H Dieser Raum ist ja gerade der Kern der von A beschriebenen Abbildung, so daß gilt: dim(l H ) = dim(kern(f)) = n dim(bild(f)) = n dim(spaltenraum vona) = n Anzahl der Basisspalten = Anzahl der ehlspalten

9 12 Die Lösungsgesamtheit des linearen Gleichungssystems ist demnach: {x R 8 x = x + κ y + κ 1 y 1 + κ 2 y 2 + κ 3 y 3 + κ 4 y 4 mit κ i R}