Mathematik I. Vorlesung 14. Rang von Matrizen

Transkript

1 Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 14 Rang von Matrizen Definition 141 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Unterraums von K m den (Spalten-) rang der Matrix, geschrieben rang M Korollar 142 Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume der Dimension n bzw m Es sei ϕ :V W eine lineare Abbildung, die bzgl gewisser Basen durch die Matrix M Mat m n (K) beschrieben werde Dann gilt rang ϕ rang M Beweis Siehe Aufgabe 142 Zur Formulierung der nächsten Aussage führen wir den Zeilenrang einer Matrix ein, dass die Dimension des von den Zeilen erzeugten Unterraumes Lemma 143 Es sei K ein Körper und sei M eine m n-matrix über K Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein Der Rang gleich der in Satz 1313 verwendeten Zahl r Beweis Bei elementaren Zeilenumformungen ändert sich der von den Zeilen erzeugte Raum nicht, und damit ändert sich auch nicht der Zeilenrang Der Zeilenrang stimmt also mit dem Zeilenrang der in Satz 1313 angegebenen MatrixinStufenformübereinDiesehatdenZeilenrangr,dadieerstenr Zeilen linear unabhängig sind und ansonsten nur Nullzeilen auftauchen Sie hat aber auch den Spaltenrang r, da wiederum die ersten r Spalten (wenn man auch noch die Spalten vertauscht hat) linear unabhängig sind und die weiteren Spalten Linearkombinationen dieser r Spalten sind Die Aufgabe 141 zeigt, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen auch der Spaltenrang nicht ändert Beide Ränge stimmen also überein, so dass wir im Folgenden nur noch vom Rang einer Matrix sprechen werden Korollar 144 Es sei K ein Körper und sei M eine n n-matrix über K Dann sind folgende Aussagen äquivalent 1

2 2 (1) M invertierbar (2) Der Rang von M n (3) Die Zeilen von M sind linear unabhängig (4) Die Spalten von M sind linear unabhängig Beweis Dies folgt aus Lemma 138 und aus Lemma 143 Determinanten Definition 145 Es sei K ein Körper und sei M (a ij ) ij eine n n- Matrix über K Zu i {1,,n} sei M i diejenige (n 1) (n 1)-Matrix, die entsteht, wenn man in M die erste Spalte und die i-te Zeile weglässt Dann definiert man rekursiv { a 11 falls n 1, det M n i1 ( 1)i+1 a i1 det M i für n 2 Die Determinante nur für quadratische Matrizen definiert Für kleine n kann man die Determinante einfach ausrechnen Beispiel 146 Für eine 2 2-Matrix ( ) a b M c d det ( ) a b ad cb c d Beispiel 147 Für eine 3 3-Matrix M a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33

3 Als Merkregel für eine 3 3-Matrix verwendet man die Regel von Sarrus Man wiederholt die erste Spalte als vierte Spalte und die zweite Spalte als fünfte Spalte Die Produkte der durchgezogenen Diagonalen werden positiv genommen, die Produkte der gestrichelten Diagonalen negativ Lemma 148 Für eine obere Dreiecksmatrix b 1 0 b 2 M 0 0 b n b n det M b 1 b 2 b n 1 b n Insbesondere für die Einheitsmatrix det E n 1 Beweis Dies folgt mit einer einfachen Induktion direkt aus der Definition der Determinante 3 Determinantenfunktionen Zur systematischen Behandlung von Determinanten braucht man einige neue Begriffe Definition 149 Es sei K ein Körper und seien V 1,,V n und W K- Vektorräume Eine Abbildung :V 1 V n W heißt multilinear, wenn für jedes i {1,, n} und jedes (n 1)-Tupel (,,v i 1,v i+1,, ) mit v j V j die induzierte Abbildung linear V i W, v i (,,v i 1,v i,v i+1,, ), Definition 1410 EsseiK einkörperundv eink-vektorraumundn N Eine multilineare Abbildung :V n V } V {{} K n mal heißt alternierend, wenn folgendes gilt: falls in v (,, ) zwei Einträge übereinstimmen, also v i v j für ein Paar i j, so (v) 0

4 4 Wir wollen zeigen, dass die oben rekursiv definierte Determinante eine multilineare alternierende Abbildung, wenn man die Identifizierung Mat n (K) (K n ) n vornimmt, bei der einer Matrix das n-tupel der Zeilen der Matrix zugeordnet wird Wir fassen also im Folgenden eine Matrix auf als einen Spaltenvektor, wobei die einzelnen Einträge v i Zeilenvektoren der Länge n sind 1 Satz 1411 Es sei K ein Körper und n N + Dann die Determinante Mat n (K) (K n ) n K, M det M, multilinear Dh, dass für beliebiges k {1,,n} und beliebige n 1 Vektoren,,,,, K n und u,w K n gilt det u+w det u w und für λ K gilt det λu λdet u 1 Die alterniernende Multilinearität gilt auch, wenn man eine Matrix als ein n-tupel aus Spalten auffasst, was wir später zeigen werden Aufgrund der rekursiven Definition mit Hilfe der ersten Spalte sind diese Eigenschaften einfacher für die Zeilen zu zeigen

5 Beweis Sei M u,m w und M u+w, wobei wir die Einträge analog bezeichnen Insbesondere also u (a k1,,a kn ) und w (a k1,,a kn ) Zu jedem Vektor v sei v der Vektor,derentsteht,wennmandenerstenEintragweglässtZuv i (a i1,,a in ) also vi (a i2,,a in ) Mit dieser Notation M k v 1 vk 1 vk+1 v n Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach n, wobei der Fall n 1 klar Für i k ã i1 a i1 a i1 und det M i det M i M i nach Induktionsvoraussetzung Für i k M k M k M k und es ã k1 a k1 +a k1 Insgesamt ergibt sich det M ( 1) i+1 ã i1 det M i i1 i1, i k i1, i k ( 1) i+1 a i1 (det M i M i)+( 1) k+1 (a k1 +a k1)(det M k ) ( 1) i+1 a i1 det M i + i1, i k ( 1) i+1 a i1 det M i +( 1) k+1 a k1 det M k +( 1) k+1 a k1det M k ( 1) i+1 a i1 det M i + ( 1) i+1 a i1 det M i i1 +( 1) k+1 a k1det M k ( 1) i+1 a i1 det M i + i1 det M M i ki1, ( 1) i+1 a i1det M i i1 5

6 6 Die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation bewe man ähnlich, siehe Aufgabe 1411 Satz 1412 Es sei K ein Körper und n N + Dann besitzt die Determinante folgende Eigenschaften Mat n (K) (K n ) n K, M det M, (1) Wenn in M zwei Zeilen übereinstimmen, so det M 0 Dh, dass die Determinante alternierend (2) Wenn man in M zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich die Determinante mit dem Faktor 1 Beweis (1) und (2) werden parallel durch Induktion über n bewiesen, wobei es für n 1 nichts zu zeigen gibt Sei also n 2 und M (a ij ) ij Die relevanten Zeilen seien v r und v s mit r < s Nach Definition det M n i1 ( 1)i+1 a i1 det M i Nach Induktionsvoraussetzung für (1) sind dabei det M i 0 für i r,s, da ja dann zwei Zeilen übereinstimmen Damit det M ( 1) r+1 a r1 det M r +( 1) s+1 a s1 det M s, wobei a r1 a s1 Die beiden Matrizen M r und M s haben die gleichen Zeilen, allerdings tritt die Zeile z v r v s in M r als die (s 1)-te Zeile und in M s als die r-te Zeile auf Alle anderen Zeilen kommen in beiden Matrizen in der gleichen Reihenfolge vor Durch insgesamt s r 1 Vertauschungen von benachbarten Zeilen kann man M r in M s überführen Nach der Induktionsvoraussetzung für (2) unterscheiden sich daher die Determinanten um den Faktor ( 1) s r 1, also det M s ( 1) s r 1 det M r Setzt man dies oben ein, so erhält man det M ( 1) r+1 a r1 det M r +( 1) s+1 a s1 det M s a r1 (( 1) r+1 det M r +( 1) s+1 ( 1) s r 1 det M r ) a r1 ((( 1) r+1 +( 1) 2s r )det M r ) a r1 ((( 1) r+1 +( 1) r )det M r ) 0 Jetzt beweisen wir (2) Nach Teil (1) (für n) und aufgrund der Multilinearität v r +v s 0 det v r +v s

7 v r v s det v r +v s v r +v s v r v r v s v s det v r v s v r v s v r v s det v s v r 7 Satz 1413 Es sei K ein Körper und sei M eine n n-matrix über K Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent (1) det M 0 (2) Die Zeilen von M sind linear unabhängig (3) M invertierbar (4) rang M n Beweis Die Beziehung zwischen Rang, Invertierbarkeit und linearer Unabhängigkeit wurde schon in Korollar 144 gezeigt Seien die Zeilen linear abhängig Wir können nach Zeilenvertauschen annehmen, dass n 1 i1 λ iv i Dann nach Satz 1412 det M det 1 n 1 i1 λ iv i n 1 λ i det i1 1 v i 0 Seien nun die Zeilen linear unabhängig Dann kann man durch Zeilenvertauschungen, Skalierung und Zeilenaddition die Matrix sukzessive zur Einheitsmatrix transformieren Dabei ändert sich die Determinante stets durch einen von null verschiedenen Faktor Da die Determinante der Einheitsmatrix 1, muss auch die Determinate der Ausgangsmatrix 0 sein

8 8 Bemerkung 1414 Bei K R steht die Determinante in einer engen Beziehung zu Volumina von geometrischen Objekten Wenn man im R n n Vektoren,, betrachtet, so spannen diese ein Parallelotop auf Dieses definiert als P {a 1 ++a n a i [0,1]} Es besteht also aus allen Linearkombinationen der Vektoren, wobei aber die Skalare auf das Einheitsintervall beschränkt sind Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, so handelt es sich wirklich um einen voluminösen Körper, andernfalls liegt ein Objekt von niedrigerer Dimension vor Es gilt nun die Beziehung vol P det(,, ), dh das Volumen des Parallelotops der Betrag der Determinante derjenigen Matrix, die entsteht, wenn man die aufspannenden Vektoren hintereinander schreibt

9 Abbildungsverzeichnis Quelle Sarrus rulepng, Autor Benutzer Kmhkmh auf Commons, Lizenz CC-by-sa 30 3 Quelle Determinant parallelepipedsvg, Autor Claudio Rocchini, Lizenz CC-by-sa