Institut für Informatik. Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn

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1 Institut für Informatik Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Hauptseminar: Schnelle Parallele Algorithmen Leitung: Prof. Dr. M. Karpinksi, P. Wegner, M. Hauptmann Sommersemester 2000 Ausarbeitung zum Thema Parallele Matching Algorithmen für spezielle bipartite Graphen vorgelegt von Hubertus Becker Bonn, den 5. Juli 2000

2 2 DEFINITIONEN 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Definitionen 2 3 Interpolation multivariater Polynome Interpolation in beliebigen Körpern Interpolation in endlichen Körpern Interpolation in ¾ Interpolation im Ring Perfekte Matching Probleme Entscheidungsproblem Konstruktionsproblem Aufzählungsproblem... 9 Literaturverzeichnis 10 1 Einleitung Für das allgemeine Perfekte Matching Problem ist kein nicht-probabilistischer Æ-Algorithmus bekannt. Betrachtet man hingegen die spezielle Klasse bipartiter Graphen mit polynomiell beschränkter Anzahl der Perfekten Matchings so lassen sich effiziente parallele Algorithmen für das Entscheidungs-, Konstruktions-, Berechnungs- und sogar für das Aufzählungsproblem angeben. Ausgehend vom Problem der logischen Permanente werden im folgenden einige grundlegende Ergebnisse in bezug auf die Interpolation Ò-variater Polynome über GF[Õ] bzw. behandelt. Darauf basierend wird ein Æ ¾ - Entscheidungsverfahren für das Perfekte-Matching Problem auf speziellen bipartiten Graphen hergeleitet. 2 Definitionen Definition 2.1 (bipartiter Graph). Sei Îµ ein Graph mit È ¾ Î µ. heißt bipartiter Graph, falls es keine Kante Ù Úµ gibt, so daß Ù und Ú beide gleichzeitig in Î ½ Ú ½ ½ Ú½ Ò bzw. Î ¾ Ú ¾ ½ Ú¾ Ò liegen. Definition 2.2 (bipartite Adjazenzmatrix). Sei Îµ ein bipartiter Graph. Zu ist die bipartite Adjazenzmatrix µ ½Ò ¾ ¾ ÒÒ mit ½ Ú ½ Ú¾ µ ¾ definiert. Definition 2.3 (inzident). Sei Îµ ein Graph. Dann heißen ½ ¾ ¾ mit ½ ¾ inzident, falls ½ ¾. Definition 2.4 (Matching). Sei Îµ ein Graph, dann heißt eine Teilmenge Å Matching, falls keine zwei Kanten ½ ¾ ¾ Å inzident sind.

3 2 DEFINITIONEN 3 Definition 2.5 (maximales Matching). Sei Îµ ein Graph. Å heißt maximales Matching, falls kein anderes Matching Å ¼ existiert, mit Å Å ¼. Definition 2.6 (Maximum Matching). Sei Îµ ein Graph. Dann ist Å ein Maximum Matching, wenn Å ein Matching maximaler Kardinalität ist. Definition 2.7 (Perfektes Matching). Sei Îµ ein Graph und Å ein Matching. M ist ein Perfektes Matching, falls Å Î ¾ Ò. Perfekte Matchings können durch Permutationen ¾ Ë Ò beschrieben werden. Falls µ ½ für ½Ò, so definiert Å Ú ½Ú¾ µ ½Ò ein Perfektes Matching in. Das rechtfertig es µ Kanten Ú ½Ú¾ µ ¾ vereinfachend mit ihren Indizes µ ¾½Ò¾ zu identifizieren. Definition 2.8 (Determinante). Sei µ ½Ò eine Matrix. Die Determinante von ist definiert als Ø µ ¾Ë Ò sign µ Ò µ Definition 2.9 (arithmetische Permanente). Sei µ ½Ò eine Matrix. Die arithmetische Permanente von ist definiert als perm µ Ò ¾Ë Ò µ Definition 2.10 (logische Permanente). Sei µ ½Ò ¾ ¾ ÒÒ eine Matrix. Die logische Permanente von ist definiert als Ò perm Ä µ µ ¾Ë Ò Lemma Sei Îµ ein bipartiter Graph. Dann ist der Wert der arithmetischen Permanente der Adjazenzmatrix von gleich der Anzahl der verschiedenen Perfekten Matchings in. Insbesondere gilt: perm Ä µ½ besitzt ein Perfektes Matching. BEWEIS. Sei eine Permutation mit µ ½für alle ½ Ò. Dann induziert diese Permutation sowohl ein Perfektes Matching in als auch einen positiven Beitrag für den Wert der logischen Permanente von. Definition 2.12 (bipartite Variablenmatrix). Zur Adjazenzmatrix ist die bipartite Variablenmatrix µ ½Ò mit Ü in den Variablen Ü definiert. Die Determinante von berechnet sich nach Definition 2.8 und ist somit ein Polynom aus ¾ Ü ½½ Ü ÒÒ in Ò ¾ Variablen. Jedes Monom in Ø µ entspricht einem Beitrag zu perm µ, also einem eindeutigen Perfekten Matching. Definition 2.13 (Sparsity). Sei È ein Polynom. Die Sparsity von È ist definiert als die Anzahl von Termen in È. Ein Polynom É heißt Ø-sparse, falls die Anzahl von Termen in É kleiner gleich Ø ist. Das bedeutet, daß Ø die Grenze der Zahl der von Null verschiedenen Koeffizienten angibt. Ähnlich der Existenz eines Perfekten Matchings (siehe Lemma 2.11) ergibt sich für die Anzahl der Perfekten Matchings gerade der Wert der arithmetischen Permanente von : Perfekte Matchings Sparsity Ø µµ perm µ Nach Valiant (1979) ist die Berechnung der arithmetischen Permanente und damit auch das Zählproblem aller Perfekten Matchings in allgemeinen bipartiten Graphen È -vollständig. Da die Anzahl Ø der Monome gerade dem Wert von perm µ entspricht, läßt sich das Perfekte Matching

4 3 INTERPOLATION MULTIVARIATER POLYNOME 4 Problem für bipartite Graphen mit perm µ Ø unmittelbar auf das Interpolationsproblem für Ø-sparse multivariate Polynome zurückführen. 3 Interpolation multivariater Polynome Dieser Abschnitt führt zuerst ganz allgemein die Interpolation über einem Polynom in einem beliebigen Körper Ã ein. Es zeigt sich dabei, daß die untere Schranke für die Auswertung eines solchen Polynoms erheblich zu schwach ist. Deshalb werden immer weitere Einschränkungen an dem Körper vorgenommen bis man schließlich Polynome im Ring untersucht. Die hier verwendete Theorie hält sich sehr eng an das Buch von Lidl und Niederreiter (1986). 3.1 Interpolation in beliebigen Körpern Sei Ã ein beliebiger Körper und È ¾ ÃÜ ½ Ü Ò ein Ò-variates Polynom vom Grad Ü Ü in allen Variablen Ü. Sei die Menge Æ definiert als Æ ½, dann kann È mit Hilfe von Multi-Indizes folgendermaßen dargestellt werden È Üµ Ü ¾Æ Ò Betrachtet man nun ein Ø-sparses Polynom È mit ¼ Ø ½µ Ò, dann kann È mit den Koeffizienten ¾ Ã und Monomen É aus ½ Ø vereinfacht dargestellt werden als È Üµ Ø É Üµ Sei nun eine Black-Box gegeben, die È an einer Stelle Ý ¾ Ã Ò auswertet. Die Berechnung aller Koeffizienten von È und die damit verbundene explizite Bestimmung von È selbst wird als Interpolation bezeichnet. Das Entscheidungsproblem, ob È É gilt, führt dann unmittelbar aus den Nulltest für multivariate Polynome, denn o. B. d. A. kann É ¼angenommen werden. Eine wichtige Fragestellung hierbei ist, wieviele Auswertungen für ein Ø-sparse Polynom È man benötigt, um zu entscheiden, ob È ¼ gilt. Satz 3.1. Für eine beliebige Wahl von Interpolationsstellen Ý ¾ Ã Ò mit ½ ÑØexistiert ein Ø-sparses Polynom È ¾ ÃÜ ½ Ü Ò, so daß È ¼ und È Ý ¼µfür alle ½ Ñ gilt. BEWEIS. Wähle Ë ¾ ÃÜ ½ Ü Ò mit ½ Ø paarweise verscheidene Monome. Dann definiert Ê Üµ Ø Ë Üµ für beliebige ¾ Ã Ø ein Ø-sparses Polynom in ÃÜ ½ Ü Ò. Wählt man nun Ê Ý µ¼für alle ½ Ñ, dann induziert dies das homogene lineare Gleichungssystem Ø Ë Ý µ¼ mit ½ Ñ. Dieses Gleichungssystem läßt sich in Matrixschreibweise überführen und man erhält mit Å Ñ µ ¾ Ã ÑØ und Ñ Ë Ý µ. Å ¼

5 3 INTERPOLATION MULTIVARIATER POLYNOME 5 Nach diesen Umformungen ist nun zu zeigen, daß dieses Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Mit Hilfe der linearen Algebra kann man die Ungleichung Ö rang Å rang Å ¼µ Ñ Ø aufstellen. Die Lösungsmenge ist also ein Ø Öµ-dimensionaler Unterraum von Ã Ø mit Ø Ö Ø Ñ¼ Insbesondere gibt es damit eine nicht triviale Lösung des homogenen Gleichungssystems. Dann ist das gesuchte Polynom. È Üµ Ø Ë Üµ ¼ Korollar 3.2. Jeder deterministische Algorithmus für den Nulltest eines Ø-sparse Polynoms aus ÃÜ ½ Ü Ò erfordert Å Øµ Auswertungen der Black-Box. BEWEIS. Satz 3.1 zeigt, daß ein Nulltest, der mit weniger als Ø Auswertungen auszukommen versuchte, für gewisse Polynome nicht korrekt sein kann. Die hier ermittelte untere Schranke Å Øµ für die Interpolation Ø-sparser Polynome im Körper Ã ist jedoch zu schwach. Dies ist der Grund, warum man Polynome über endlichen Körpern mit Charakteristik Ô betrachtet. 3.2 Interpolation in endlichen Körpern Da in jedem Polynom in endlichen Körpern Õ die Gleichheit Ü Õ Ü gilt, ist jedes Polynom als Funktion über Õ Ò äquivalent zu einem Polynom mit Ü Õ mit ½Ò. Aus diesem Grund wird nur der erste Fall Ø-sparser Polynome betrachtet und somit ist im folgenden der Polynomgrad also stets durch Õ beschränkt. Definition 3.3. Mit Õ Ø Ü ½ Ü Ò Õ Ü ½ Ü Ò Ò¼µ wird die Menge der Ø-sparsen Polynome in den Variablen Ü ½ Ü Ò, die nicht identisch mit dem Null-Polynom sind, bezeichnet. Definition 3.4 (Testmenge). Eine Testmenge ist eine Menge von Interpolationsstellen, so daß durch die Auswertung an diesen Stellen jedes Polynom aus Õ Ø Ü ½ Ü Ò vom Nullpolynom unterschieden werden kann. Definition 3.5 (Menge aller Testmengen). Mit Ë Ò Øµ wird die Menge aller dieser Testmengen bezeichnet, d. h. Ë Ò Øµ ist definiert als Ë Ò Øµ Õ Ò ¾ Õ Ø Ü ½ Ü Ò Ü ¾ mit Üµ ¼ Satz 3.6 (Clausen et al. 1988). Sei ¾ Õ Ø Ü ½ Ü Ò. Dann sind Å Ò ÐÓ Ø µ Auswertungen der Black-Box erforderlich, um auf Identität mit dem Nullpolynom zu testen. Um für den Nulltest in Õ bessere Ergebnisse zu erhalten, geht man zur Erweiterung Õ über. Dabei setzt man voraus, daß die Black-Box in der Lage ist, in einer solchen Erweiterung beliebig auszuwerten. Die Idee besteht darin, in diesem größeren Körper die Interpolationsstellen so zu wählen, daß die Monome so weit wie möglich getrennt werden. So erreicht man, daß weniger Auswertungen benötigt werden. Ein ähnliches Verfahren wird später beim Nulltest über (siehe Abschnitt 3.4) verwendet. Solche Algorithmen sind in Clausen et al. (1987) und Grigoriev et al. (1988) beschrieben, wobei der Algorithmus von Grigoriev et al. (1988) der erste Æ-Algorithmus für den Nulltest von Ø-sparse Polynomen über einem endlichen Õ ist.

6 3 INTERPOLATION MULTIVARIATER POLYNOME Interpolation in ¾ Für den Fall das Õ ¾ ist, wurde von Clausen et al. (1988) gezeigt, daß jede Testmenge alle Vektoren mit höchstens ÐÓ Ø Nullen enthalten. In diesem Fall ist aber die Teilmenge aller Testmengen wieder eine minimale Testmenge. Daraus läßt sich ein Algorithmus für den Nulltest über ¾ ableiten, der alle Ú ¾ ¼ ½ ¾ mit höchstens ÐÓ ¾ Ø Nullen als Interpolationsstellen verwendet. Algorithmus 3.7 (Karpinski 1990). EINGABE: Black-Box für Ø-sparse Polynom ¾ ¾ Ü ½ Ü Ò. SCHRITT: Berechne für alle Ò-bit Vektoren Ú ¾¼ ½ ¾, die mindestens ÐÓ ¾ Ø Nullen enthalten, die Werte «Ú Úµ. ¼ falls für alle Ú gilt «Ú ¼ AUSGABE: ¼ sonst. Lemma 3.8. Der Algorithmus 3.7 ist ein korrekter Nulltest für ein Ø-sparse Polynom ¾ ¾ Ü ½ Ü Ò. Der Algorithmus 3.7 ist jedoch im allgemeinen nicht polynomiell. Deshalb kann die Anzahl der nötigen Auswertungen also durch Ò ÐÓ Ø µ abgeschätzt werden (siehe Karpinski (1998)). 3.4 Interpolation im Ring Ausgangspunkt für den Algorithmus von Grigoriev und Karpinski (1987) war die Verbindung zwischen der Entwicklung von schnellen parallelen Algorithmen und den Perfekt Matching Problemen aus Abschnitt 4. Wie in Abschnitt 2 gezeigt wurde, läßt sich das Entscheidungsproblem auf den Nulltest für die Determinante der bipartiten Variablenmatrix zurückführen. Die Techniken zur Berechnung der Determinante und die in Abschnitt 3.2 umrissenen Schwierigkeiten legen es nahe, nach einem effizienten Algorithmis für den Nulltest in zu suchen. Der Satz 3.6 läßt sich auch auf den Ring übertragen. Dies erreicht man, indem man durch eine geeignete Skalierung zu jedem homogenen linearen Gleichungssystem über É mit einer nicht trivialen Lösung auch eine ganzzahlige nicht triviale Lösung findet. Der Algorithmus von Grigoriev und Karpinski (1987) zeigt, daß die untere Schranke aus Korollar 3.2 für den Fall endlicher Körper scharf ist, d. h. daß der Nulltest für ein Ø-sparse Polynom über mit genau Ø Auswertungen der Black-Box auskommt. Algorithmus 3.9 (Grigoriev und Karpinski 1987). EINGABE: Black-Box für Ø-sparse Polynom Õ Ü ½ Ü Ò µ. SCHRITT ½: Konstruiere die ersten Ò Primzahlen Ô ½ Ô Ò. SCHRITT ¾: Berechne «Õ Ô ½ Ô Ò µ für alle ¼Ø ½. Õ ¼ falls «¼für alle ¼ Ø AUSGABE: Õ ¼ sonst. Satz Der Algorithmus 3.9 ist ein korrekter Nulltest für ein Ø-sparse Polynom Õ ¾ Ü ½ Ü Ò. BEWEIS. Zu zeigen ist, daß ¼ Ø«¼ Õ ¼ gilt. Das Ø-sparse Polynom Õ kann wie folgt dargestellt werden Õ Ø É Üµ Dabei stellen die ¾ Ø den Koeffizientenvektor und É die paarweise verschiedenen Monome dar. Da sich

7 4 PERFEKTE MATCHING PROBLEME 7 verschiedene Monome nicht gegenseitig wegheben können, ist also genau dann Õ ¼, wenn der Koeffizientenvektor ¼ist. Sei nun É Ô ½ Ô Ò µ die Auswertung des -ten Monoms an der Stelle Ô ½ Ô Ò µ. Für die gelten dann zwei wichtige Eigenschaften. 1. für, wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung. 2. É Ô ½ Ô Ò µ,daé ein Monom ist. Das liefert ein homogenes («¼) lineares Gleichungssystem in Ø Unbekannten zur Bestimmung von ¼«Ø ½ für ¼ Ø mit Koeffizientenmatrix Î µ für ¼ Ø und ¼ Ø. Dieses lineare Gleichungssystem läßt sich auch in Matrixform schreiben Î µ «µ Die Koeffizientenmatrix Î ist jedoch eine Vandermonde sche Matrix und für deren Determinante gilt Ø Î µ µ Wegen dem 1. Punkt sind die paarweise verschieden. Daraus ergibt sich, daß Ø Î µ ¼und somit auch, daß das homogene lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Folglich ist ¼und damit auch Õ ¼. 4 Perfekte Matching Probleme Die Probleme, die mit dem Perfekt Matching Problem in einem Graph Îµ im Zusammenhang stehen sind Das Entscheidungsproblem: Besitzt ein Perfektes Matching? Das Konstruktionsproblem: Konstruiere ein (beliebiges) Perfektes Matching von. Das Berechnungsproblem: Berechne die Anzahl verschiedener Perfekter Matchings von. Das Aufzählungsproblem: Konstruiere alle Perfekten Matchings von G. In diesem Abschnitt werden diese Probleme im Zusammenhang mit bipartiten Graphen im einzelnen gelöst. 4.1 Entscheidungsproblem Der Algorithmus von Grigoriev und Karpinski (1987) angewendet auf Õ Ø µ liefert nun unmittelbar ein Entscheidungsverfahren für das Perfekte Matching Problem. Satz 4.1. Sei Îµ ein bipartiter Graph mit bipartiter Adjazenzmatrix. Es gelte Ø perm µ Ò für die Konstanten und. Dann liegt das Entscheidungsproblem, d. h. der Test, ob ein Perfektes Matching besitzt, in Æ ¾ Ò ÐÓ Òµ.

8 4 PERFEKTE MATCHING PROBLEME 8 BEWEIS. Alle Koeffizienten von Ø µ liegen in. Nach der Voraussetzung war perm Ò µ und damit Ø µ Ò -sparse. Die «Ø µ Ô ½ Ô Ò ¾ µ mit ¼ ½ Ò werden parallel berechnet. Da die parallele Berechnung der Determinanten in Æ ¾ Ò µ liegt (Borodin et al. 1982, 1983), erhält man unter der Anwendung von Algorithmus 3.9 sofort einen Algorithmus für das Entscheidungsproblem, der in Æ ¾ Ò ÐÓ Òµ liegt. 4.2 Konstruktionsproblem Aus dem Entscheidungsverfahren läßt sich auch eine Lösung des Konstruktionsproblems eines beliebigen Perfekten Matching ableiten. Dazu zunächst einige vorbereitende Definitionen. Definition 4.2 (Streichmatrix). Sei eine bipartite Adjazenzmatrix. Mit ¾ ¾ Ò ½µ Ò ½µ wird die aus durch das Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte hervorgehende Streichmatrix bezeichnet. Die Streichmatrix ist also gerade die bipartite Adjazenzmatrix eines restringierten Graphen ÒÚ ½ Ú¾ Definition 4.3 (Erzeuger). Sei µ die bipartite Adjazenzmatrix zu. Das Paar µ ¾½Ò ¾ heißt Erzeuger, falls ½ und perm µ ¼ Wenn µ ein Erzeuger ist, gibt es also mindestens ein Perfektes Matching von, das diese Kante enthält. Definition 4.4 (Erzeugerzeile). Eine Zeile heißt Erzeugerzeile, wenn es mindestens zwei Erzeuger ½ µ und ¾ µ mit ½ ¾ enthält. Gibt es ein Perfektes Matching, aber keine Erzeugerzeile, so ist das Pefekte Matching eindeutig. Dann gilt das folgende Lemma. Lemma 4.5. Besitzt ein Graph Îµ ein eindeutiges Perfektes Matching, so kann dies in Æ ¾ konstruiert werden. BEWEIS. Da bei einem eindeutigen Perfekten Matching für die Permanente der bipartiten Adjazenzmatrixmatrix perm µ ½ gilt, besitzt die Determinate der Tutte schen Variablenmatrix nur einen einzigen Term. Wenn nun die Variablen der Variablenmatrix mit Ô ½½ Ô ÒÒ paarweise verschiedenen Primzahlen belegt werden, ergibt sich für den Wert der Determinante ein Produkt aus Ò dieser Primzahlen. Mit Hilfe des Teilbarkeitstestes Ô Ø Ô ½½ Ô ÒÒ µµ kann daraus leicht das Perfekte Matching rekonstruiert werden. Da die Berechnung der Determinate in Æ ¾ liegt, ergibt sich die Behauptung. Mit Hilfe der oben eingeführten Definitionen kann man nun einen Konstruktionsalgorithmus (Grigoriev und Karpinski 1987) angeben. Algorithmus 4.6 (Grigoriev und Karpinski 1987). Falls keine Erzeugerzeile existiert, ist das Perfekte Matching eindeutig. Dieses Perfekte Matching kann dann leicht mit Hilfe von Lemma 2.11 konstruiert werden. Für alle Einträge der Matrix mit «½ wird überprüft, ob µ ein Erzeuger ist. Dies wird erreicht, indem der Algorithmus 3.9 auf die Streichmatrix angewendet wird. Falls eine Erzeugerzeile mit Erzeugern ½ µ und ¾ µ existiert, wird der Algorithmus parallel rekursiv auf sowie ¾ angewendet und die Kante ½ µ bzw. ¾ µ zu dem erhaltenen Perfekt Matching des restringierten Graphen hinzugefügt.

9 4 PERFEKTE MATCHING PROBLEME 9 Satz 4.7. Sei Îµ ein bipartiter Graph mit polynominell beschränkter Permanente perm µ Ò. Dann arbeitet der Konstruktionsalgorithmus 4.6 in Æ Ò ¾ ÐÓ Òµ. BEWEIS. Für den Beweis sind zwei Fälle zu unterscheiden. FALL 1: Es existiert keine Erzeugerzeile in, dann ist das Perfekte Matching eindeutig. Lemma 4.5 zeigt die Korrektheit des Algorithmus 4.6. FALL 2: Es existiert eine Erzeugerzeile in, dann wird der Rekursionsschritt ausgeführt. Die Streichungsmatrizen und ¾ ermitteln garantiert jeweils ein Perfektes Matching auf den restringierten Graphen bzw. ¾. Nach Ò ½ Schritten wird also ein eindeutiges Perfektes Matching erzeugt und Lemma 4.5 kann angewendet werden. Da eine der beiden Matrizen bzw. ¾ höchstens die Hälfte der Pefekten Matchings in erzeugen kann, ist die Rekursionstiefe durch ÐÓ Ò Ç ÐÓ Òµ beschränkt. Somit ist die Anzahl der zu lösenden Entscheidungsprobleme durch Ç Ò ¾ ¾ ÐÓ Ò µç Ò ¾ µ beschränkt. Der Konstruktionsalgorithmus 4.6 liegt also in Æ Ò¾ ÐÓ Òµ. Satz 4.8. Sei Îµ ein bipartiter Graph mit beschränkter Permanente perm µ. Dann liegt das Konstruktionsproblem und auch das Aufzählungsproblem aller Perfekten Matching in Æ ¾. BEWEIS. Die Tiefe des Berechnungsbaumes im Konstruktionsalgorithmus 4.6 ist in diesem Falle durch beschränkt. Satz 4.9. Sei Îµ ein bipartiter Graph mit superpolynomieller Permanente perm µ Ò Ç ÐÓ Òµ. Dann ist das Konstruktionsproblem in Ç ÐÓ ¾ Òµ uniformer Schaltkreistiefe auf das Entscheidungsproblem reduzierbar. BEWEIS. Sei perm µ Ò ÐÓ Ò. Der Konstruktionsalgorithmus 4.6 liefert nach höchstens ÐÓ Ò ÐÓ Ò µ ÐÓ ¾ Ò Rekursionsschritten ein Perfektes Matching. 4.3 Aufzählungsproblem Nun wird noch das Auszählungsproblem angegangen, d. h. es werden alle Perfekten Matchings in einem bipartiten Graph berechnet. Dadurch löst man auch das Berechnungsproblem. Definition 4.10 (Streichmatrix für eine aktive Menge). Sei eine bipartite Adjazenzmatrix. Mit ½ Öµ ½ Öµ ¾ ¾ Ò Öµ Ò Öµ mit ½ Ö wird die aus durch das Streichen der -ten Zeile und der -ten Spalte hervorgehende Streichmatrix bezeichnet. Definition 4.11 (aktive Menge). Eine Menge Å ½ µ Ö Ö µ ½Ò ¾ mit ½ für alle ½ Ö heißt aktive Menge, falls es ein Perfektes Matching gibt, welches alle Kanten aus Å enthält, d. h. perm ½ Öµ ½ Öµ µ ¼ Die Definition 4.11 ist eine Verallgemeinerung des Erzeugerbegriffes. Eine Erzeugermenge ist gerade eine aktive Menge der Kardinalität ½. Eine aktive Menge mit Kardinalität Ò ist ein Perfektes Matching von. Im folgenden sei o. B. d. A. Ò ¾ Ñ. Definition Die Menge der aktiven Mengen mit Kardinalität ¾ Ü ½ bezüglich der Zeilen Ý¾ Ü ½ ½ Ý ½µ¾ Ü ½ sei definiert als Ë ÜÝ Å Ý¾ Ü ½ ½ ½ µ Ý ½µ¾ Ü ½ ¾ Ü ½µ Å ist aktive Menge mit ½ Ü Ñ ½und ¼ Ý ¾ Ñ Ü ½ ½. Die Menge Ë ÜÝ repräsentiert als gerade Teilmengen der existierenden Perfekten Matchings bezüglich bestimmter Knoten in Î ½. Daher gilt Ë ÜÝ Ò.

10 LITERATUR 10 Somit stellt die Menge Ë Ñ ½¼ gerade die Menge aller Perfekten Matchings eines Graphen dar. Mit Hilfe der oben eingeführten Definitionen kann man nun einen Aufzählungsalgorithmus angeben, der die Menge Ë Ñ ½¼ konstruiert. Algorithmus Initial werden alle Erzeugermengen Ë ½¼ Ë ½¾ Ñ ½ konstruiert. Im -ten Iterationsschritt (für ½ Ñ) berechnet der Algorithmus für ¼ Ö¾ Ñ parallel aus den Mengen Ë ¾Ö und Ë ¾Ö ½ die Menge Ë ½Ö. Dazu werden alle Kandidaten Å ½ Å ¾ mit Å ½ ¾ Ë ¾Ö und Å ¾ ¾ Ë ¾Ö ½ mit Hilfe des Algorithmus 3.9 auf Enthaltensein in Ë ½Ö überprüft. Satz Falls perm µ Ò ist, dann berechnet der Algorithmus 4.13 alle Perfekten Matchings eines Graphes und liegt in Æ Ò ÐÓ Òµ. BEWEIS. Aus zwei benachbarten Teillösungsmengen Ë ÜÝ und Ë ÜÝ ½ kann man die Teillösungsmenge Ë Ü ½Ý folgendermaßen konstruieren. Die Menge Ì Ü ½Ý Ù Úµ Ù ¾ Ë ÜÝ und Ë ÜÝ ½ ist eine Obermenge von Ë ÜÝ ½ mit Kardinalität Ò. Somit ist die Menge Ì ÜÝ ½ eine Menge möglicher Elemente für Ë ÜÝ ½. Nun kann mit Hilfe des Entscheidungsalgorithmus 3.9 für die Streichungsmatrix entschieden werden, ob ein Element aus Ì ÜÝ ½ wirklich zu Ë ÜÝ ½ gehört. Es werden zur Konstruktion der Menge Ë ÜÝ also höchstens Ç Ò ¾ µ Entscheidungstests benötigt. Insgesamt müssen Ñ ¾ ¾ Ñ ½ ½¾Ò ½Ç Òµ solche Mengen parallel berechnet werden, da der Ñ ½µ-te Iterationsschritt die Menge Ë Ñ ½¼, die Anzahl aller Perfekten Matchings, liefert. Da die Rekursionstiefe logarithmisch ist, liegt der Algorithmus 4.13 also in Æ Ò ÐÓ Òµ. Korollar Das Zählproblem ÈÅ für bipartite Graphen mit polynomiell beschränkter Permanente der bipartiten Adjazenzmatrix liegt in Æ. Korollar Die Brechnung der polynomiell beschränkten Permanente einer Matrix ¾ ¾ ÒÒ liegt in Æ. Korollar Falls perm µ ¾ Ò mit gilt, so existiert ein Algorithmus für das Aufzählungsproblem aller Perfekten Matchings eines Graphes, der in sublinearer paralleler Zeit arbeitet. Literatur A. Borodin, S. A. Cook und N. Pippenger. Parallel computation for well-endowed rings and space-bounded probabilistic machines. Information and Control 58, Seiten , A. Borodin, J. von zur Gathen und J. Hopcroft. Fast parallel matrix and GCD computation. In: Proc. of the IEEE 23th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, Seiten 65 71, M. Clausen, A. Dress, J. Grabmeier und M. Karpinski. On zero-testing and interpolation of -sparse multivariate polynomials over finite fields. Research Report 8522-CS, Institut für Informatik der Universität Bonn, M. Clausen, J. Grabmeier und M. Karpinski. Efficient deterministic interpolation of multivariate polynomials over finite fields. Research Report 8519-CS, Institut für Informatik der Universität Bonn, 1987.

11 LITERATUR 11 D. Y. Grigoriev und M. Karpinski. The matching problem for bipartite graphs with polynomially bounded permanents is in NC. In: Proc. of the IEEE 28th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, Seiten , D. Y. Grigoriev, M. Karpinski und M. F. Singer. Fast parallel algorithms for sparse multivariate polynomial interpolation over finite fields. Research Report 8523-CS, Institut für Informatik der Universität Bonn, M. Karpinski. Boolean circuit complexity of algebraic interpolation problems. Research Report 8530-CS, Institut für Informatik der Universität Bonn, M. Karpinski. Skript: Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie: Algebraische Interpolations- und Zählalgorithmen (ausgearbeitet von K. Werther). Universität Bonn, 4. Auflage, R. Lidl und H. Niederreiter. Introduction to finite fields and their applications. Cambridge University Press, Cambridge, L. G. Valiant. The complexity of computing the permanent. Theoretical Computer Science 8, Seiten , 1979.