5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

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1 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n Matrix im Normalfall n verschiedene komplexe Eigenwerte hat und über den komplexen Zahlen diagonalisierbar ist. Leider kommen einen durchaus auch Matrizen unter, die nicht zu diesem Normalfall gehören und auch nicht diagonalisierbar sind. Für solche Matrizen kann man trotzdem noch eine Basis finden, bezüglich derer die transformierte Matrix fast in Diagonalform ist, es tritt nur eine zusätzliche Nebendiagonale mit Nullen und Einsen auf. Definition 5.6: Das n n Jordankästchen zum Eigenwert λ C ist die n n Matrix J := λ λ λ λ, wobei die leeren Einträge wie immer für Nullen stehen. Eine Matrix A ist in Jordan Normalform, wenn sie die Gestalt A = J... J r mit Jordankästchen J,..., J r hat. Beispiele für Matrizen in Jordan Normalform sind 5 5 und 3. 6-

2 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Im ersten Beispiel haben wir zwei Jordankästchen 5 5 ein 3 3 Kästchen zum Eigenwert und ein Kästchen zum Eigenwert. Im zweiten Beispiel haben wir sogar vier einzelne Jordan Kästchen A = zwei Kästchen zum Eigenwert, dann ein Kästchen wieder zum Eigenwert und schließlich ein Kästchen zum Eigenwert 3. Beachte das in der Diagonale jedes einzelnen Kästchens immer derselbe Eigenwert stehen muss, zum Beispiel ist die Matrix 3 nicht in Jordan Normalform. Über den komplexen Zahlen läßt sich jede Matrix auf Jordansche Normalform transformieren, im reellen Fall müssen wir verlangen das sämtliche Eigenwerte reell sind. Satz 5.7 (Existenz der Jordanschen Normalform) Seien K {R, C}, n N mit n und A eine n n-matrix deren charakteristisches Polynom über K in Linearfaktoren zerfällt. Dann gibt es eine invertierbare n n Matrix S über K so, dass die transformierte Matrix S AS in Jordan Normalform ist. Den recht komplizierten Beweis dieses Satzes wollen wir hier nicht vorführen. Woran wir interessiert sind ist die praktische Durchführung der Transformation auf Jordan Normalform. Wir denken uns also wir hätten eine n n Matrix A vorgegeben, und wir suchen eine Basis u,..., u n des C n bezüglich derer die Matrix A in Jordanscher Normalform ist. Gleichwertig hierzu ist es eine invertierbare n n Matrix A zu suchen 6-3

3 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 so, dass die transformierte Matrix S AS in Jordanscher Normalform ist. Dies ist genau dasselbe rechnerische Problem, die Spalten einer solchen Matrix S bilden die gesuchte Basis des C n und umgekehrt. Den reellen Fall muss man nicht gesondert behandeln, ist A eine reelle Matrix die keine nicht reellen Eigenwerte in C hat, so wird unser Verfahren auch eine reelle Basis des R n beziehungsweise eine reelle Transformationsmatrix S liefern. Wir werden eine Folge immer komplizierter werdender Beispiele durchrechnen, und das Rechenverfahren so nach und nach kennenlernen, ehe wir es dann einmal formal beschreiben. Wir beginnen mit dem Beispiel der folgenden Matrix ( ) 5 8 A :=. 3 Die Jordan Normalform von A besteht entweder aus einem Kästchen oder aus zwei Kästchen, und in beiden Fällen sind die auftretenden komplexen Zahlen auf den Diagonalen der Jordankästchen gerade die Eigenwerte von A. Um diese zu berechnen, bestimmen wir erst einmal das charakteristische Polynom von A χ A (x) = x 5 8 x + 3 = (x 5)(x + 3) + 6 = x x + = (x ). Wir haben also nur einen einzigen Eigenwert λ =. Da A keine Streckung ist, muss die gesuchte Jordan Normalform damit ein Jordankästchen zum Eigenwert sein. Nennen wir die gesuchte Basis des C jetzt u, u, so muss die Matrix der linearen Abbildung A bezüglich der Basis u, u gerade das Kästchen ( ) B := sein d.h. die Bedingungen an u und u sind Au = u und Au = u +u. Insbesondere soll u einfach ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ = sein, und diese können wir durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems (A )x = berechnen. Wie wir gleich sehen werden, ist es nützlich das Gaußsche Eliminationsverfahren gleich mit einer unbestimmten, allgemeinen rechten Seite durchzuführen. Wegen ( ) 4 8 N := A =, 4 haben wir die Rechnung 4 8 y 4 8 y 4 y y + y, ( ) x und die Lösung der Eigenvektorgleichung N = berechnet sich durch y 4x + 8y = = x = y. 6-3

4 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Als Eigenvektor verwenden wir die Lösung mit y =, also ( ) 4 u :=. Wie kommen wir jetzt an den zweiten Basisvektor u? Wir haben die Bedingung Au = u + u, und diese schreiben wir zu Nu = (A )u = Au u = u um, d.h. der zweite Basisvektor u ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems Nu = u. Die linke Seite dieses Gleichungssystems ist wieder die Matrix N = A, die auch schon bei der Berechnung von u aufgetreten ist. Da wir dieses Gleichungssystem schon mit allgemeiner rechter Seite (y, y ) umgeformt haben, müssen wir nur noch y = 4 und y = einsetzen, und erhalten N ( x y )! = ( 4 ) = ( y y und setzen wir etwa y = ein, so ergibt sich eine Lösung ( ) 3 u :=. ) = 4x+8y = y = 4 = x = ( 4 8y) = y, 4 Zum Abschluß wollen wir nun noch verifizieren, dass unsere Rechnung tatsächlich ein korrektes Ergebnis geliefert hat. Wir haben ( ) ( ) ( ) Au = = = u 3, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Au = = = + = u u, d.h. bezüglich der Basis u, u ist A tatsächlich das Jordankästchen B. Die Transformationsmatrix S von der Basis u, u zur kanonischen Basis e, e ist jetzt die Matrix ( ) 4 3 S = mit der Inversen S = ( ) 3. 4 Es muss jetzt S AS = B gelten, und tatsächlich ist S AS = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) 4 3 = 4 ( ) = B. Nachdem wir im Beispiel einer Matrix die Jordansche Normalform noch aus dem Stand heraus berechnet haben, ist es für die Behandlung größerer Matrizen hilfreich, sich vorher einen ersten Rechenplan zu überlegen. Zu diesem Zweck halten wir zunächst 6-4

5 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 einige Kleinigkeiten über Matrizen in Jordanscher Normalform fest. Ist J ein n n Jordankästchen zum Eigenwert λ C, so ist x λ χ J (x) = x λ x λ x λ = (x λ) n d.h. λ ist der einzige Eigenwert von J und λ hat die algebraische Vielfachheit n. Der Eigenraum zum Eigenwert λ ist dagegen E λ (J) = e der vom ersten kanonischen Basisvektor erzeugte Teilraum, und insbesondere hat λ die geometrische Vielfachheit. Ist A eine allgemeine Matrix in Jordan Normalform A = J... J r mit Jordankästchen J,..., J r, so sei J i für i r das n i n i Jordankästchen zum Eigenwert λ i C, und dann ist χ A (x) = (x λ ) n... (x λ r ) nr, und ist λ {λ,..., λ r } einer der Eigenwerte von A, so hat λ die algebraische Vielfachheit a λ = und die geometrische Vielfachheit i r λ i =λ n i d λ = { i r : λ i = λ}. Die ersten Rechenschritte zur Bestimmung der Jordanschen Normalform einer Matrix A sind damit:. Bestimme die komplexen Eigenwerte λ,..., λ r von A. Dies sind dann genau die in den verschiedenen Jordankästchen zu A auftretenden Eigenwerte.. Für jeden Eigenwert λ von A ist die Gesamtgröße aller Jordankästchen zum Eigenwert λ gleich der algebraischen Vielfachheit des Eigenwerts λ von A. 3. Ist λ ein Eigenwert von A, so ist die Anzahl der Jordankästchen zum Eigenwert λ gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ von A. 6-5

6 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Wir wollen jetzt das Beispiel der 3 3 Matrix 3 A := 4 behandeln. Zuerst brauchen wir dann die Eigenwerte von A und ihre algebraischen Vielfachheiten, wir rechnen also das charakteristische Polynom von A aus x 3 χ A (x) = x = (x ) x x 4 x 4 3 x 4 = (x ) (x 4) + 3(x ) = (x x + )(x 4) + 3x 4 = x 3 6x + x 8. Hier ist x = eine Nullstelle. Die Ableitung ist 3x x + und x = ist auch eine Nullstelle der Ableitung. Die zweite Ableitung wird 6x erneut mit der Nullstelle x =, d.h. der Eigenwert λ = hat die algebraische Vielfachheit 3. Damit gilt χ A (x) = (x ) 3 und die Jordansche Normalform von A wird nur Jordankästchen zum Eigenwert haben. Um ihre Anzahl zu bestimmen berechnen wir den Eigenraum E (A) und damit insbesondere die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts. Hierzu müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem N x = mit der Koeffizientenmatrix N := A = 3 lösen. Wie im Beispiel lösen wir das lineare Gleichungssystem gleich mit allgemeiner rechter Seite, also Nx = y, dies wird sich als nützlich erweisen. Wir führen wieder das Gaußsche Eliminationsverfahren durch 3 y y y 3 3 y y y + y 3 3 y y y + y + y 3. Für unsere Eigenvektoren haben wir damit die Gleichung y = z, x = y 3z = z, d.h. die geometrische Vielfachheit von λ = ist d =, und der Eigenraum E (A) wird erzeugt vom Eigenvektor u :=. Insbesondere besteht die Jordansche Normalform zu A nur aus einem einzelnen 3 3 Kästchen mit Eigenwert. Als den ersten Vektor der zugehörigen Basis können wir 6-6

7 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 unseren Eigenvektor u verwenden, aber wie finden wir die anderen beiden Basisvektoren? Dass die transformierte Matrix zu A bezüglich der gesuchten Basis u, u, u 3 ein 3 3 Jordankästchen mit Eigenwert ist, bedeutet das die Matrix der linearen Abbildung f(x) = A x bezüglich der Basis u, u, u 3 gleich B = ist. Die Spalten der Matrix B sind die Koeffizienten der Bilder f(u i ) = Au i (i =,, 3) geschrieben als Linearkombinationen in u, u, u 3, d.h. wir haben die folgenden drei Bedingungen an die gesuchte Basis u, u, u 3 : Au = u, Au = u + u und Au 3 = u 3 + u. Die Bedingung Au = u besagt einfach das u ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = sein soll. Die Bedingung für u schreiben wir noch etwas um Au = u + u Au u = u (A )u = u Nu = u, und dies ist einfach ein lineares Gleichungssystem für u dessen rechte Seite der schon berechnete Eigenvektor u ist. Die Koeffizientenmatrix ist die Matrix N, also genau dieselbe die schon bei der Berechnung des Eigenraums E (A) auftrat. Aus diesem Grund haben wir die Gauß Elimination oben mit einer unbestimmten rechten Seite durchgeführt, wir können jetzt einfach die Komponenten von u für die Unbekannten y, y, y 3 einsetzen. Für unser lineares Gleichungssystem Nu = N x y z =! u = müssen wir oben y =, y = und y 3 = einsetzen. Die Gleichungen werden zu mit den Lösungen 3, y = + z und x = ( y + 3z) = + y 3z = z, und wir verwenden die Lösung mit z =, also u =. 6-7

8 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Für den dritten Basisvektor u 3 können wir die Bedingung Au 3 = u 3 + u völlig analog zu Nu 3 = u umschreiben, und da wir u schon berechnet haben können wir in der obigen Stufenform y =, y = und y 3 = einsetzen, und erhalten y = + z, x = ( y + 3z) = y 3z = 4z. Wählen wir wieder die Lösung mit z =, so haben wir u 3 =. Damit sind wir eigentlich fertig, aber vorsichtshalber wollen wir das Ergebnis noch einmal überprüfen, also nachrechnen das bezüglich der Basis u, u, u 3 tatsächlich ein Jordankästchen vorliegt. Au = Au = Au 3 = = = = 4 = u, = = = u + u, = u 3 + u. Die Rechnung hat also wirklich funktioniert, bezüglich der Basis u, u, u 3 ist A in Jordan Normalform. Testen wir auch noch einmal die Transformationsmatrix, d.h. die Matrix deren Spalten unsere drei Basisvektoren sind S = mit der Inversen S = Die transformierte Matrix ist dann wie erwartet 3 S AS = 4 = = Die gesuchte Basis ist bei weitem nicht eindeutig, es gibt normalerweise sehr viele Basen bezüglich derer die Matrix A auf Jordan Normalform transformiert wird. Dementsprechend tauchen in der Rechnung sehr viele lineare Gleichungssysteme mit nicht eindeutigen Lösungen auf, und in diesen Situationen können wir uns immer völlig willkürlich 6-8.

9 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 irgendeine Lösung herausgreifen. Im eben gerechneten Beispiel ist die Rechnung im wesentlichen wie in unseren vorigen Beispiel abgelaufen. Im allgemeinen Fall treten aber noch einige zusätzliche Probleme auf, die in diesen beiden Beispielen noch nicht vorgekommen sind. Ein einfaches Beispiel hierfür ist die 3 3 Matrix A = 3 Zunächst läuft alles wie im vorigen Beispiel ab χ A (x) = und 3. = (x ) x x 3 = (x )((x )(x 3) + ) N = A = und das Eliminationsverfahren wird zu = (x )(x 4x + 4) = (x ) 3, y y y 3 y y + y y 3 + y Der Eigenraum zum Eigenwert ist diesmal also zweidimensional und ist gegeben durch die Gleichung y = z. Die geometrische Vielfachheit ist hier also d = und als eine Basis des Eigenraums erhalten wir die beiden Vektoren v :=, v := Diesmal gibt es also zwei Jordankästchen, und da die Gesamtgröße 3 ist, muss es sich um ein und ein Kästchen handeln. Wir suchen also eine Basis u, u, u 3 so, dass die Matrix A sich zu B = transformiert, d.h.. Au = u, Au = u + u Nu = u und Au 3 = u 3. Die Vektoren u und u 3 sollen also im Eigenraum E (A) liegen, d.h. wir haben u, u 3 v, v, aber wir können keine beliebigen Eigenvektoren für u, u verwenden. Wir 6-9

10 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 müssen dafür sorgen, dass die Gleichung Nu = u lösbar bleibt. Machen wir für u den Ansatz t u = t v + t v = t, t mit t, t C, so ist die rechte Seite der Gleichung Nu = u gegeben durch y = t, y = y 3 = t, und setzen wir dies in die oben hergeleitete allgemeine Stufenform ein, so erhalten wir eine Bedingung t + t =. Dies lösen wir mit t = und t =, d.h. es wird u = v v = und für u 3 haben wir weitgehend freie Wahl, wir müssen nur irgendeinen von u linear unabhängigen Eigenvektor nehmen, etwa u 3 := v =. Den letzten Basisvektor u erhalten wir als Lösung von N x y z =! u = In unserer obigen Stufenform haben wir also y =, y = y 3 = und die Gleichung wird zu,. y z = y = + z. Wir wählen die Lösung mit x = z =, also u := 6-.

11 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Damit haben wir die gesuchte Basis u, u, u 3 gefunden. Machen wir noch ein letztes Mal den Test Au = Au = Au 3 = = = = 4 = u, = = u 3. + = u + u, Die Matrix bezüglich der Basis u, u, u 3 ist also wirklich B =. Die nächstkompliziertere Situation tritt bei 3 3 Matrizen schon nicht mehr auf, und wir betrachten als ein Beispiel die folgende 4 4 Matrix A := Zum charakteristischen Polynom haben wir inzwischen genug Beispiele gerechnet, und daher wollen wir hier einfach das Ergebnis χ A (x) = (x ) 4 notieren. Wir müssen also wieder die Matrix N := A =

12 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 betrachten, und führen die Gauß Elimination durch 8 8 y y 4 y y y 5 5 y y 3 4 y 3 + y 3 y 4 + y 8 8 y 5 5 y y 3 4 y 3 + y 3 y 4 + y 8 8 y 5 5 y y y y y y 4 5 y y 8 8 y 5 y y 5y 3 + y + 4y 5y 4 y + 3y Für den Eigenraum haben wir die Gleichungen y = (5u v) = 3 u+v und x = (8y +u 8v) = ( u v) = u v, d.h. der Eigenraum, hat die Basis v = 3, v = Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts ist also d = und wir haben zwei Jordankästchen. Im Gegensatz zum vorigen Beispiel wissen wir aber noch nicht wie groß diese Jordankästchen sind, es handelt sich entweder um zwei Kästchen oder um ein 3 3 und ein Kästchen. Wir müssen also eines der beiden Ziele Au = u, Au = u + u, Au 3 = u 3, Au 4 = u 4 + u 3 oder. Au = u, Au = u + u, Au 3 = u 3 + u, Au 4 = u 4 ansteuern. Es stellt sich heraus, dass wir einfach so weiter rechnen können wie im vorigen Beispiel, welcher der beiden Fälle hier vorliegt wird sich ganz automatisch ergeben. Wir betrachten also einen allgemeinen Eigenvektor u := y y y 3 y 4 := t v + t v = 6- t t t 3t t t

13 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 mit t, t C, und fragen wann Nx = u lösbar ist. In unser oben hergeleiteten Stufenform 8 8 y 5 y y 5y 3 + y + 4y 5y 4 y + 3y müssen also die rechten Seiten der beiden unteren, nur aus Nullen bestehenden, Zeilen ebenfalls gleich Null sein. Wegen 5y 3 + y + 4y = t + 4t 6t 4t 4t =, 5y 4 y + 3y = 5t t + 3t 3t 3t = ist dies unabhängig von t und t immer der Fall, die Gleichung Nx = u ist also für überhaupt jeden Eigenvektor u lösbar. Der Teilraum aller u E (A) für die Nx = u lösbar ist, hat damit die Dimension, und hieraus folgt das unsere Jordan Normalform aus zwei Kästchen besteht, wie wir gleich sehen werden. Die gesuchte Basis u, u, u 3, u 4 erhalten wir, indem wir als u, u 3 irgendeine Basis des Eigenraums nehmen und u, u 4 durch Lösen der linearen Gleichungssysteme Nu = u und Nu 4 = u 3 festlegen. Wir können einfach u := v = 3, u 3 := v = verwenden. Der Vektor u ergibt sich als Lösung von Nu = u, wir haben also = y = ( 5 + 5u v) = 3u + v, x = ( + 8y + u 8v) = 3 u v und verwenden die Lösung mit u = v =, also u =. Der Vektor u 4 ergibt sich ebenso durch Lösen von Nu 4 = u = y = (5 + 5u v) = 3u + v, x = ( + 8y + u 8v) = 5 u v und verwenden wir wieder u = v =, so wird u 4 =

14 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 Bezüglich der Basis u, u, u 3, u 4 ist A jetzt in der Jordan Normalform B =. Auf den Test wollen wir diesmal verzichten. Damit haben wir alle Phänomene, die überhaupt auftreten können, bereits gesehen, und werden als nächstes den allgemeinen Algorithmus zum Auffinden der Transformation auf Jordan Normalform beschreiben. Dabei werden keine neuen Rechenschritte auftreten, wir müssen nur alles zusammenfassen, was wir in den Beispielen bereits gesehen haben. Gegeben: Eine komplexe n n Matrix A (die Einträge von A dürfen natürlich auch alle reell sein). Gesucht: Eine Basis u,..., u n des C n bezüglich derer A in Jordan Normalform ist, beziehungsweise äquivalent eine invertierbare, komplexe n n Matrix S so, dass S AS in Jordan Normalform ist. Die Spalten solch einer Matrix sind gerade die Basis u,..., u n und ungekehrt. Ist A reell und hat nur reelle Eigenwerte, so wird das Verfahren eine Basis des R n und entsprechend eine reelle Transformationsmatrix S liefern. Verfahren: Wir führen die folgenden Rechenschritte durch: () Berechne die verschiedenen komplexen Eigenwerte λ,..., λ t von A und ihre algebraischen Vielfachheiten a,..., a t. Dies kann man beispielsweise durch Berechnung des charakteristischen Polynoms mit anschließender Nullstellensuche tun. () Gehe der Reihe nach die Eigenwerte λ = λ i (i =,..., t) durch, und führe für jeden von diesen die folgenden Schritte (3.) bis (3.3) durch. Dabei wird der i-te Eigenwert λ i stets a i viele Vektoren zur Basis beitragen. (3.) Bilde die Matrix N = A λ, und führe auf ihr das Gaußsche Eliminationsverfahren mit unbestimmter rechter Seite (y,..., y n ) durch. (3.) Verwende die nicht verschwindenden r oberen Zeilen der in Schritt (3.) erhaltenen Stufenform um die allgemeine Lösung der Gleichung Nx = y zu berechnen. Die unteren Zeilen bei denen alle Matrixeinträge Null sind und wir nur eine rechte Seite haben werden dabei ignoriert. (3.3) Verwende das Ergebnis von (3.) um eine Basis v,..., v di des Eigenraums E λ (A) zu berechnen, dieser ist ja der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems Nx =. Die Zahl d i ist dabei die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = λ i. (3.4) Ist die in (3.3) berechnete geometrische Vielfachheit d i von λ gleich der algebraischen Vielfachheit a i, so nehme die Vektoren v,..., v di als Ergebnis von Schritt (3). 6-4

15 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 (3.5) Andernfalls bilde den Vektor u := t v + + t di v di und bezeichne seine Einträge als y,..., y n. Setze diese Werte in die rechten Seiten der unteren n r Zeilen der in (3.) erhaltenen Stufenform ein. Dies gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n r Gleichungen für die d i Unbekannten t,..., t di. (3.6) Löse das Gleichungssystem aus (3.5). Ist dann T,..., T s eine Basis des Lösungsraums, so bilde für jedes T j = (t,..., t n ) den zugehörigen Vektor u j = t v + +t di v di. Weiter wähle unter den v,..., v di genau l := d i s Vektoren aus, so dass keine von Null verschiedene Linearkombination der ausgewählten Vektoren eine Lösung des Gleichungssystem aus (3.5) ist. Dies ist immer möglich. (3.7) Die in (3.6) gewählten Vektoren sind dann genau die Basiselemente die den Jordankästchen zum Eigenwert λ entsprechen. Die restlichen s Jordankästchen zu λ haben alle eine Größe mindestens. Für jedes j s benutze jetzt das Ergebnis von (3.) um einen Vektor v j mit Nv j = u j zu berechnen. (3.8) Haben wir jetzt genug Vektoren beisammen, ist also s + l = a i, so füge die Vektoren v, u,..., v s, u s zu den in (3.6) gewählten Vektoren hinzu, und diese alle sind dann das Ergebnis von Schritt (3). (3.9) Andernfalls bilde wie in (3.5) den Vektor u := t v + + t s v s und bezeichne seine Einträge als y,..., y n. Einsetzen in die unteren n r rechten Seiten in (3.) gibt ein homogenes lineares Gleichungssystem mit n r Gleichungen für die s Unbekannten t,..., t s. (3.) Löse das Gleichungssystem aus (3.9) und berechne eine Basis T,..., T s seines Lösungsraums. Für jedes T j = (t,..., t s ) bilde den Vektor u j = t v + + t s v s. Weiter wähle unter den Vektoren v,..., v s genau l := s s Vektoren aus so, dass keine von Null verschiedene Linearkombination der ausgewählten Vektoren eine Lösung des Gleichungssystems aus (3.9) ist. (3.) Für jeden der in (3.) gewählten l Vektoren v k füge v k und Nv k zu den bisher in (3.7) zusammengestellten Basisvektoren hinzu. Diese entsprechen dann den l Jordankästchen der Größe. Die restlichen s Jordankästchen zu λ haben alle eine Größe mindestens 3. Für jedes j s benutze jetzt das Ergebnis von (3.) um einen Vektor v 3j mit Nv 3j = u j zu berechnen. (3.) Haben wir jetzt genug Vektoren beisammen, ist also 3s + l + l = a i, so füge die Vektoren v 3, u, Nu,..., v 3s, u s, Nu s zu den bisher gewählten Basisvektoren hinzu, und dies ist das Ergebnis von Schritt (3). 6-5

16 Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 (3.3) Andernfalls wiederhole die Schritte (3.9) bis (3.) entsprechend bis wir a i Vektoren beisammen haben. Die in (3.) und (3.) hinzuzufügenden Ketten werden dabei bei jedem Schritt um eins länger, da wir ja die Basiselemente zu immer größeren Jordankästchen zusammenstellen. Die Abbruchbedingung in (3.) hat auf Stufe q die Form qs q + (q )l q + + l + l = a i. (4) Fasse alle in Schritt (3) für i =,..., t gefundenen Vektoren zu einer Basis zusammen, und ordne diese noch nach Eigenwerten und Größe der jeweiligen Jordankästchen. 6-6