Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen

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1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung In diesem Kapitel... Erkennen, wie Differentialgleichungen erster Ordnung aussehen en für Differentialgleichungen erster Ordnung und ohne -Terme finden Die Integrationvon Faktoren alstrick anwenden K lassische Differentialgleichungen können alslinearodernicht lineareingeordnet werden. Eine Differentialgleichung wird als linear bezeichnet, wenn sie nur lineare Terme (d.h. Terme der Potenz 1) von,, usw. enthält. Die folgende Gleichung ist ein Beispielfür eine lineare Differentialgleichung: 1 Nicht lineare Differentialgleichungen dagegen beinhalten nicht lineare Terme in,, usw. Die nächste Gleichung, die den Winkel eines Pendels beschreibt, wird als nicht lineare Gleichung betrachtet,weilsie dentermsin θ enthält (nicht einfach nur θ). θ θ 0 Dieses Kapitel konzentriert sich auf Differentialgleichungen erster Ordnung. Hier können Sie Ihr Auge schulen, um lineare Gleichungen auf den ersten Blick zu erkennen. Außerdem werden Sie üben, lineare Differentialgleichungen erster Ordnung zu lösen, egal, ob diese ein y enthalten oder nicht. Und schließlich zeige ich Ihnen noch einen kleinen (aber extrem praktischen) Trick zudiesem Thema, nämlichdie Integrationvon Faktoren. Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung erkennen Hier sehen Sie die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung, wobei ( ) und ( ) Funktionen sind (bei denen es sich einfach um Konstanten handelnkann): Hier einige Beispiele für lineare Differentialgleichungen:

2 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies 31 Versuchen Sie der Übung halber festzustellen, ob die folgenden Gleichungen linearodernicht linear sind. Frage Ist diese Gleichung eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? 17 4 Antwort Ja. Diese Gleichung ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, weil sie nur Termeerster Ordnung in und enthält. Aufgabe 1 Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? 91 Aufgabe 2 Handelt es sich hier um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? 17 ³ 4 20

3 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Aufgabe 3 Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? cos Aufgabe 4 Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? cos Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen, die keine Terme in y beinhalten Der einfachste Typ linearer Differentialgleichungen erster Ordnung beinhaltet überhaupt keinen Term. Stattdessen enthält er nur die erste Ableitung von,, usw. Diese Differentialgleichungen sind einfach zu lösen, weil die ersten Ableitungen einfach zu integrieren sind. Hier die allgemeine Form dieser Gleichungen (beachten Sie, dass ( ) eine Funktion ist, bei der es sich auch um eine Konstante handelnkann): SehenSie sichdie folgende lineare Differentialgleichung erster Ordnung an: 3 Beachten Sie, dass eskeinen Term gibt, der nur angibt. Wie lösen Sie also eine solche Gleichung?Sie bringen das dx aufdie rechte Seite: 3 21

4 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies Anschließendintegrieren Sie und erhalten 3 Dabei ist c eine Integrationskonstante. Um festzustellen, was genau c ist, betrachten Sie einfach die Anfangsbedingungen. Angenommen, (0) d.h. der Wert von für x =0 ist gleich 0 15 Wenn Sie (0) =15 in =3 +ceinsetzen,erhalten Sie 0 15 Sie haben also c =15und = Dasist die komplette! Wenn Sie es Integrationskonstanten wie c zu tun haben, suchen Sie nach den vorgegebenen Anfangsbedingungen. Beispielsweise wird die oben gezeigte Aufgabe in der Regel wie folgt dargestellt: Und jetzt gehen wir einen Schritt weiter! (Beachten Sie, dass diese Aufgabe immer noch keine Terme in beinhaltet.) ³ 3 ² 0 3 Weil diese Gleichung keine Terme in beinhaltet, können Sie das d nach rechts bringen, nämlich wie folgt: ³ 3 ² Anschließendintegrieren Sie und erhalten 4 ³² 2 Um c zu bestimmen,verwenden Sie dieausgangsbedingung, nämlich 0 3 Wenn Sie jetzt x =0 =3in die Gleichung für einsetzen, erhalten Sie 0 3 Die vollständige lautet also 4 ³²

5 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Wenn Sie es linearen Differentialgleichungen erster Ordnung ohne Term in zu tunhaben, gehen Sie also einfach wie folgt vor: 1. Sie verschieben das dx auf die rechte Seite und integrieren. 2. Sie wenden die Ausgangsbedingung an, um nach der Integrationskonstanten aufzulösen. Nachfolgend finden Sie einige Übungsaufgaben, um sicherzustellen, dass Sie das Prinzip verstanden haben Frage Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: Antwort ² 3 1. MultiplizierenSie beide Seiten d : 2 2. Integrieren Sie beide Seiten, um das Folgende zu erhalten, wobei c eine Integrationskonstante ist: ² 3. Wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Folgendes zu erhalten: 3 4. Nachdem Sie nach c aufgelöst haben, finden Sie die für die Differentialgleichung: ² 3 23

6 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies Aufgabe 5 Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: Aufgabe 6 Wie lautet für die folgende Gleichung? Aufgabe 7 Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: Aufgabe 8 Wie lautet für die folgende Gleichung?

7 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Termen in y lösen Sie fragen sich jetzt, wie Sie vorgehenkönnten,wennsowohl alsauch vorkommen: Betrachten Sie zunächst diese allgemeine Aufgabe: Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, die sowohl d /d als auch enthält. Wie gehen Sie da um, um eine zu finden? Mit ein wenig Algebra können Sie diesegleichung wie folgt umschreiben: / / Wenn Sie beide Seiten d multiplizieren,erhaltensie / Glückwunsch! Da haben Sie x auf eine Seite dieser Differentialgleichung und auf die andere gebracht, so dass die Integration sehr viel einfacher wird. Und durch die Integration beider Seiten erhalten Sie: ln / Dabei ist C eine Integrationskonstante. Wenn Sie e in die Potenz von beiden Seiten erheben, erhalten Sie Folgendes, wobei c eine Konstante ist,die als definiert ist: Alles, was über diesen Schwierigkeitsgrad hinausgeht, muss anders behandelt werden. Um diesegleichungen wird esimrestlichenbuchgehen. Wenn Sie davon überzeugt sind, dass Sie jetzt wissen, wie man lineare Differentialgleichungen erster Ordnung -Termen löst,probieren Sie, die folgendenaufgaben zu lösen: 25

8 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies Frage Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: Antwort 2 1. Wenden Sie ein bisschen Algebra an, um Folgendes zu erhalten: / Anschließend multiplizieren Sie beide Seiten d : IntegrierenSie: ln Anschließend erheben Sie e in die Potenzder beidenseiten: Schließlich wenden Sie die Anfangsbedingung anund erhalten: 2 Aufgabe 9 Wie lautet fürdie folgende Gleichung: Aufgabe 10 Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf:

9 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Aufgabe 11 Wie lautet für die folgende Gleichung: Aufgabe 12 Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: Integrationsfaktoren: Ein Insider-Trick Weil nicht alle Differentialgleichungen so unproblematisch sind wie diejenigen, die wir in diesem Kapitel bereits vorgestellt haben, brauchen Sie leistungsfähigeres Handwerkszeug zum Lösen von Differentialgleichungen. Wir beginnen Integrationsfaktoren, das sind Funktionen von µ(x). Bei der Idee hinter einem Integrationsfaktor geht es darum, die Differentialgleichung da zu multiplizieren, so dass eine Gleichung entsteht, die leichter integriert werden kann. Angenommen,Sie haben die folgende Differentialgleichung: Um diese Gleichung Hilfe eines Integrationsfaktors zu lösen, versuchen Sie, Ihrem noch unbestimmtenintegrationsfaktor µ( ) zumultiplizieren: 39 Der Trick ist jetzt, µ(x) so auszuwählen, dass Sie die linke Seite als Ableitung von etwas erkennen, das leicht integriert werden kann. Wenn Sie genauer hinsehen, erkennen Sie, dass 27

10 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies die linke Seite dieser Gleichung sehr nach der Differenzierung des Produkts µ( ) aussieht, weil die Ableitung von µ( ) nach xnämlich lautet: Setzt man nun die rechte Seite dieser Differentialgleichung gleich der linken Seite der vorhergehenden, erhält man 3 Endlich! Das sieht nach etwas Brauchbarem aus. Ordnen Sie die Gleichung um, um Folgendes zu erhalten: / 3 AnschließendmultiplizierenSie beide Seiten d und erhalten 3 Durch Integration erhalten Sie 3 Dabei ist b eine Integrationskonstante. Wenn Sie e in die Potenz der beiden Seiten erheben,erhaltensie: c ist eine weitere Konstante ( ). Erkannt?Sie haben soeben einenintegrationsfaktor bestimmt,nämlich. Diesen Integrationsfaktor können Sie jetzt für die ursprüngliche Differentialgleichung anwenden und die Gleichung µ(x) multiplizieren: 39 Dasist gleich 3 9 Wie Sie sehen,fällt die Konstante c heraus und Sie erhalten:

11 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Weil Sie nur nach einem Integrationsfaktor für die Multiplikation suchen, können Sie die Integrationskonstante auch weglassen, wenn Sie einen Integrationsfaktorfinden,oder c =1setzen. Und hier kommt die Genialität der Integrationsfaktoren ins Spiel, weil Sie die linke Seite dieser Gleichung alsdie Ableitung des Produkts erkennen.die Gleichung wird also zu 9 Das sieht schon sehr viel umgänglicher aus als die ursprüngliche Version dieser Differentialgleichung. Jetzt multiplizierensie beide Seiten d,umfolgendeszuerhalten: 9 Nun integrieren Sie beide Seiten: 3 und lösennach auf: 3 Wie die Anfangsbedingung besagt hat,dass (0) =7ist,ist c =4,und da 3 4 Nicht schlecht,oder? Hier einige Übungsgleichungen, die Ihnen helfen sollen, sich an den Trick den Integrationsfaktorenzugewöhnen: Frage Lösen Sie Hilfe eines Integrationsfaktorsnach auf: Antwort Multiplizieren Sie beide Seiten der Differentialgleichung µ( ), um Folgendes zu erhalten: Versuchen Sie, in der linken Seite eine Ableitung zu erkennen (in diesem Fall die Ableitung einesprodukts): 29

12 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies 3. Anschließend setzen Sie die rechte Seite der Gleichung in Schritt 2 gleich der linken Seite der Gleichung in Schritt1: 5 4. Ordnen Sie die Terme neu an, um Folgendes zu erhalten: 5 5. Jetzt integrierensie: ln 5 6. Erheben Sie e in die Potenz beider Seiten ( ), um zu erhalten: 7. Multiplizieren Sie die ursprüngliche Differentialgleichung dem Integrationsfaktor (so dass sich c wegkürzt), um Folgendes zu erhalten: Fassen Sie die Terme auf der linken Seite der Gleichung zusammen: Jetzt multiplizierensie d : IntegrierenSie: Dividieren Sie beide Seiten durch, um Folgendes zu erhalten: Jetzt wenden Sie noch die Anfangsbedingung an:

13 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Aufgabe 13 Lösen Sie Hilfe eines Integrationsfaktors nach auf: Aufgabe 14 Bestimmen Sie in der folgenden Differentialgleichung Hilfe eines Integrationsfaktors: Aufgabe 15 Lösen Sie Hilfe eines Integrationsfaktors nach auf: Aufgabe 16 Bestimmen Sie in der folgenden Differentialgleichung Hilfe eines Integrationsfaktors:

14 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies en für die Aufgaben zu linearen Differentialgleichungen erster Ordnung Nachfolgend finden Sie die en zu den Übungen in diesem Kapitel. Sie zeigen das schrittweise Verfahren auf, so dass Sie einfacher nachschlagen können, falls Sie irgendwo aufdem sweg nicht mehr weiterwissen. 1. Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? Ja. Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung erster Ordnung, weil sie nur Terme in und erster Ordnung beinhaltet. 2. Handelt es sich hier um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? ³ Nein. Diese Gleichung ist keine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, weilsie nicht nur Terme erster Ordnung in und enthält. 3. Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? Nein. Diese Gleichung ist keine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, weil sie nicht nur Terme erster Ordnung in und enthält. 4. Ist dies eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung? Nein. Diese Gleichung ist keine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, weil sie nicht nur Terme erster Ordnung in und enthält. 5. Lösen Sie indieser Differentialgleichung nach auf: : ² a) Multiplizieren Sie beide Seiten dx: 8 b) Integrieren Sie beide Seiten, um das Folgende zu erhalten, wobei c ein Integrationsfaktor ist: ² 32

15 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung c) Wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Folgendes zu erhalten: d) Nachdem Sie nach c aufgelöst haben, können Sie die erteln: ² 6. Wie lautet für die folgende Gleichung? : ² a) Multiplizieren Sie beide Seiten d : b) Integrieren Sie beide Seiten, um das Folgende zu erhalten, wobei c ein Integrationsfaktor ist: ² 2 c) Wenden Sie die Anfangsbedingung an: 2 d) Nachdem Sie nach c aufgelöst haben, können Sie die erteln: ² Lösen Sie indieser Differentialgleichung nach auf: : ² a) Multiplizieren Sie beide Seiten d : 6 5 b) Integrieren Sie beide Seiten, um das Folgende zu erhalten, wobei c ein Integrationsfaktor ist: 3 ² 5 c) Wenden Sie die Anfangsbedingung an: 10 33

16 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies d) Nachdem Sie nach c aufgelöst haben, können Sie die erteln: 3 ² Wie lautet für die folgende Gleichung? : ² a) Multiplizieren Sie beide Seiten dx: 8 3 b) Integrieren Sie beide Seiten, um das Folgende zu erhalten, wobei c ein Integrationsfaktor ist: 4 ² 3 c) Wenden Sie die Anfangsbedingung an: 12 d) Nachdem Sie nach c aufgelöst haben, können Sie die erteln: 4 ² Wie lautet für die folgende Gleichung: : a) Mit ein bisschen Algebra erhalten Sie: / 2 4 b) Anschließend multiplizieren Sie beide Seiten d : 2 4 c) Integrieren Sie: 2 4 d) Erheben Sie e in die Potenz der beiden Seiten: 2 34

17 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung e) Schließlich wenden Sie die Anfangsbedingung an: Lösen Sie in dieser Differentialgleichung nach auf: : a) Mit ein bisschen Algebra formen Sie die Gleichung wie folgt um: / 3 3 b) Anschließend multiplizieren Sie beide Seiten d : 3 3 c) Integrieren Sie: 3 3 d) Erheben Sie e in die Potenz der beiden Seiten: 3 e) Schließlich wenden Sie die Anfangsbedingung an: Wie lautet für die folgende Gleichung: : a) Zuerst wenden Sie ein bisschen Algebra an: / 2 9 b) Anschließend multiplizieren Sie beide Seiten d :

18 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies c) Integrieren Sie: 2 9 d) Erheben Sie e in die Potenz der beiden Seiten: 2 e) Schließlich wenden Sie die Anfangsbedingung an: Lösen Sie indieser Differentialgleichung nach auf: : a) Mit ein bisschen Algebra formen Sie die Gleichung wie folgt um: / 5 4 b) Anschließend multiplizieren Sie beide Seiten d : 5 4 c) Integrieren Sie: 5 4 d) Erheben Sie e in die Potenz der beiden Seiten: 5 e) Schließlich wenden Sie die Anfangsbedingung an: Lösen Sie Hilfe eines Integrationsfaktors nach auf: : a) Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung µ ( ), um Folgendes zu erhalten: 24 36

19 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung b) Setzen Sie die linke Seite gleich einer Ableitung (in diesem Fall der Ableitung eines Produkts): c) Anschließend setzen Sie die rechte Seite der Gleichung aus Schritt 2 gleich der linken Seite der Gleichung aus Schritt 1: 2 d) Ordnen Sie die Terme neu an, um Folgendes zu erhalten: 2 e) Jetzt integrieren Sie: 2 f) Erheben Sie e in die Potenz beider Seiten ( ), um Folgendes zu erhalten: g) Multiplizieren Sie die ursprüngliche Differentialgleichung dem Integrationsfaktor (und kürzen Sie c weg): 2 4 h) Anschließend fassen Sie die Terme auf der linken Seite dieser Gleichung zusammen: 4 i) Jetzt multiplizieren Sie dx: 4 j) Integrieren Sie: 2 k) Anschließend dividieren Sie beide Seiten durch,umfolgendes zu erhalten: 2 l) Jetzt wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Ihre zu erhalten: Bestimmen Sie inder folgenden Differentialgleichung Hilfe eines Integrationsfaktors: 37

20 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies : a) Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung µ ( ): 39 b) Finden Sie in der linken Seite eine Ableitung (in diesem Fall der Ableitung eines Produkts): c) Anschließend setzen Sie die rechte Seite der Gleichung aus Schritt 2 gleich der linken Seite der Gleichung aus Schritt 1: 3 d) Ordnen Sie die Terme neu an, um Folgendes zu erhalten: 3 e) Jetzt integrieren Sie: 3 f) Erheben Sie e in die Potenz beider Seiten ( ): g) Multiplizieren Sie die ursprüngliche Differentialgleichung dem Integrationsfaktor (und kürzen Sie c weg): 3 9 h) Anschließend fassen Sie die Terme auf der linken Seite dieser Gleichung zusammen: 9 i) Jetzt multiplizieren Sie d : 9 j) Integrieren Sie: 3 38

21 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung k) Anschließend dividieren Sie beide Seiten durch,umfolgendes zu erhalten: 3 l) Jetzt wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Ihre zu erhalten: Lösen Sie Hilfe eines Integrationsfaktors nach auf: : a) Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung µ ( ), um Folgendes zu erhalten: 214 b) Setzen Sie die linke Seite gleich einer Ableitung (in diesem Fall der Ableitung eines Produkts): c) Anschließendsetzen Sie die rechte Seite der Gleichung aus Schritt 2gleich der linken Seite der Gleichung aus Schritt 1: 2 d) Ordnen Siedie Terme neu an, umfolgendes zu erhalten: 2 e) Jetzt integrieren Sie: 2 f) Erheben Sie e in die Potenz beider Seiten ( ): g) Multiplizieren Sie die ursprüngliche Differentialgleichung dem Integrationsfaktor (und kürzen Sie c weg): 2 14 h) Anschließend fassen Siedie Terme auf der linken Seite dieser Gleichung zusammen: 14 39

22 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies i) Jetzt multiplizieren Sie d : 14 j) Integrieren Sie: 7 k) Anschließend dividieren Sie beide Seiten durch,umfolgendes zu erhalten: 7 l) Jetzt wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Ihre zu erhalten: Bestimmen Sie inder folgenden Differentialgleichung Hilfe eines Integrationsfaktors: : a) Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung µ (x): 963 b) Setzen Sie die linke Seite gleich einer Ableitung (in diesem Fall der Ableitung eines Produkts): c) Anschließend setzen Sie die rechte Seite der Gleichung aus Schritt 2 gleich der linken Seite der Gleichung aus Schritt 1: 9 d) Ordnen Sie die Terme neu an, um Folgendes zu erhalten: 9 e) Jetzt integrieren Sie: 9 f) Erheben Sie e in die Potenz beider Seiten ( ): 40

23 1 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung g) Multiplizieren Sie die ursprüngliche Differentialgleichung dem Integrationsfaktor (und kürzen Sie c weg): 9 63 h) Anschließend fassen Sie die Terme auf der linken Seite dieser Gleichung zusammen: 63 i) Jetzt multiplizieren Sie d : 63 j) Integrieren Sie: 7 k) Anschließend dividieren Sie beide Seiten durch,umfolgendes zu erhalten: 7 l) Jetzt wenden Sie die Anfangsbedingung an, um Ihre zu erhalten: 7 41

24 Übungsbuch Differentialgleichungen für Dummies [Geben Sie ein Zitat aus dem Dokument oder die Zusammenfassung eines interessanten Punktes ein. Sie können das Textfeld an einer beliebigen Stelle im Dokument positionieren. Verwenden Sie die Registerkarte 'Textfeldtools', wenn Sie das Format des Textfelds 'Textzitat' ändern möchten.] 42