Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

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1 Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am Heike Farkas

2 Inhaltsverzeichnis Der binäre Rang einer Adjazenzmatrix..1 Der symplektische Graph.6 Die Spektralzerlegung.10 Rationale Funktionen..12 Literaturverzeichnis.. 14

3 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 1 Einleitung Diese Seminararbeit beschäftigt sich mit den Themen binärer Rang einer Adjazenzmatrix, symplektischer Graph, Spektralzerlegung und rationale Funktionen. Die Grundlage für diese Ausarbeitung bilden die Kapitel in Algebraic Graph Theory von Chris Godsil und Gordon Royle. 1. Der binäre Rang einer Adjazenzmatrix Neben dem Rang einer Matrix A, abgekürzt durch rk A, existiert weiterhin der Begriff des binären Ranges von A. Unter dem binären Rang einer Matrix versteht man jenen Rang, der über GF(2) berechnet wird. GF(2) (Galois Field) ist der kleinste Galoiskörper oder auch endliche Körper aus zwei Elementen bestehend, auf dem die Körperaxiome definiert sind. Mit wird der binäre Rang der Matrix A (=Adjazenzmatrix) bezeichnet. Explizit bedeutet dies, dass die einzelnen Matrixeinträge einer gegebenen Matrix A über mod 2 berechnet werden. Der Rang dieser Matrix wird binärer Rang von A genannt. Zur Veranschaulichung soll ein Beispiel dienen: Beispiel 1.1 Sei die Matrix A = gegeben. Wenn man den Rang dieser Matrix berechnet, erhält man rk A = 3. Sei A die dahingehen veränderte Matrix, die aus A hervorgeht, wenn deren Elemente über mod(2) berechnet wurden. Es folgt A = Hier gilt rk A = 2 = rk A. Bevor nun die Definition 1.1 folgt, wird zuerst noch an eine Definition erinnert: Definition (Komplementärgraph) Der Komplementärgraph X zu dem Graph X und X selbst haben dieselbe Knotenmenge, V(X) = V(X ). Grundlegender Unterschied zwischen den beiden Graphen ist, dass zwei Knoten u, v in X genau dann adjazent sind, falls sie in X nicht adjazent sind und umgekehrt. Definition 1.1 (Lokales Komplement) Seien ein Graph X und ein Knoten u V X gegeben. Das lokale Komplement des Graphen X zu u ist eine Operation auf X, sodass der auf den Nachbarn von u induzierte Untergraph durch seinen Komplementärgraph ersetzt wird.

4 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 2 Somit hat der Graph σ X folgende Eigenschaften: i. Falls v und w voneinander verschiedene Nachbarn von u sind, dann sind sie in σ X adjazent (bzw. nicht adjazent) genau dann, wenn sie in X nicht adjazent (bzw. adjazent) sind. ii. Falls v und w voneinander verschiedene Knoten von X und nicht beide Nachbarn von u sind, dann sind sie adjazent (bzw. nicht adjazent) in σ X genau dann, wenn sie in X adjazent (bzw. nicht adjazent) sind. Bemerkung 1.1 Das lokale Komplement σ X hat unter Anderem folgende Eigenschaft: σ X ist die identische Abbildung. Das lokale Komplement σ X würde in diesem Beispiel folgendermaßen aussehen:

5 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 3 Satz 1.1 Sei X ein Graph, angenommen u und v seien Nachbarn in X. Dann gilt: =. Wenn Y der Graph ist, der entsteht, falls man u und v aus löscht, dann gilt: = + 2 Beweis. Sei A die Adjazenzmatrix von X. Sei a der charakteristische Vektor der Menge der Nachbarn von u, nicht v, die nicht adjazent zu v sind. Sei b der charakteristische Vektor der Menge der Nachbarn von v, nicht u, die nicht adjazent zu u sind. Sei c der charakteristische Vektor der Menge der gemeinsamen Nachbarn von u und v. und seien die charakteristischen Vektoren von u und v. Es ist zu bedenken, dass bei diesem Beweis über GF(2) gerechnet wird. Der charakteristische Vektor der Nachbarn von u ist a + c + e. Die nicht auf der Diagonale gelegenen Einträge der Matrix A σ X sind ident mit denen von A = A + a + c + e a + c + e. Analog ist der charakteristische Vektor der Nachbarn von v in σ X a + b + e. Die nicht auf der Diagonale gelegenen Einträge von A σ σ X sind ident mit denen von A = A + a + b + e a + b + e. Der charakteristische Vektor der Nachbarn von u in σ σ X ist b +c + e. Die nicht auf der Diagonale gelegenen Einträge von A σ σ σ X sind ident mit denen von A = A + b + c + e b + c + e. Wenn man in diese letzte Gleichung für A und dann auch noch für A zurück einsetzt, erhält man: A = A + ab + ba + ac + ca + bc + cb + a + b e + e + e + e a + b + e e. Die einzige Matrix, die auf der Diagonale nicht nur Nullen als Einträge hat, ist e e. Daraus wird geschlossen, dass A σ σ σ X = A + e e. Diese Gleichung zeigt, dass A + e e gleich bleibt, auch wenn wir a mit b und e mit e vertauschen. Daraus kann man folgern, dass σ σ σ X = σ σ σ X gilt. Somit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. Die u-spalte von A ist a + c + e. Die v-spalte von A ist b + c + e und e A e = 1. Der Beweis des Lemmas (vgl. Godsil; Royle. S.180) zeigt, dass der Rang der Matrix A + a + c + e b + c + e + b + c + e a + c + e gleich rk A 2 ist. Die u- und v- Spalten und Reihen dieser Matrix sind Null. Wenn A die Submatrix ist, die durch das Löschen der u- und v-reihen und Spalten entsteht, dann gilt rk A = rk A 2.

6 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 4 Um den Beweis zu vervollständigen, zeigen wir, dass a + b b + c + b + c a + b = ab + ba + ac + ca + bc + cb, und es folgt daraus, dass die Matrix, die durch das Löschen der u- und v- Reihen und Spalten aus A entsteht, gleich zu A ist. Diese Matrix ist die Adjazenzmatrix von Y. Somit ist auch der zweite Teil des Satzes bewiesen. Der Graph Y, der in Satz 1.1 durch Löschen der Knoten u und v in entsteht, heißt Rang-2- Reduzierung des Graphen X an der Kante uv. Beispiel 1.2 Dieses Beispiel soll die Aussage von Satz 1.1 verdeutlichen. X sei ein Graph. u und v seien Nachbarn in X. Anhand dieses Beispiels soll gezeigt werden, dass gilt: =.

7 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 5 Beispiel 1.3 Ein Kreis C hat n verschiedenen Knoten v,, v, wobei jeder Knoten immer genau zwei Nachbarn hat. v hat die Nachbarn v und v. Es handelt sich bei C somit um einen Graphen, dessen Anfangs- und Endknoten identisch sind. Nun soll die Rang 2 Reduzierung von C für verschiedene n genauer untersucht werden. n 5: Die Rang 2 Reduzierung von C ist C. Anhand dieses Beispiels soll dies gezeigt werden. Wir wählen n = 5. C hat folgende Form, wobei wir zwei der benachbarten Knoten u und v nennen: Nun muss σ σ σ C bestimmt werden. Werden hieraus die Knoten u und v gelöscht und somit auch alle Kanten, die zu diesen Knoten führen, dann bilden die Knoten den C. a b c A C = Es gilt für den binären Rang rk C = 2, da durch Addition der ersten und zweiten Zeile über GF(2) genau die dritte Zeile entsteht.

8 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 6 Allgemein gilt zudem, was durch Induktion gezeigt werden kann, dass n 2, n gerade rk C =, n n 1, N. Damit gilt rk C = 4 und rk C = 2. Wenn wir X = C und Y = C wählen, wird die Aussage des Satzes 1.1, rk X = rk Y + 2, bestätigt. 2. Der symplektische Graph Zunächst muss der Begriff des reduzierten Graphen eingeführt werden. Dazu werden vorab folgende Betrachtungen gemacht: Sei ein Graph X gegeben. X besitze zwei Knoten u und v mit identischer Nachbarschaft. Es gilt, dass der Rang der Adjazenzmatrix von X invariant gegenüber Löschen einer der beiden Knoten u oder v ist. Dies soll ein Beispiel verdeutlichen: Beispiel 2.1 u v a b c u v a b c = 2 u a b c u a b c = 2 Analog zu diesem Beispiel kann auch ein Knoten mit seiner Nachbarschaft dupliziert werden ohne eine Rangänderung hervorzurufen. Das Hinzufügen eines isolierten Knoten (=ein Knoten ohne jegliche Nachbarschaft) ändert den Rang natürlich auch nicht, denn dieser würde in der Adjazenzmatrix nur eine Null-Zeile und -Spalte hinzufügen. Auch das Löschen eines isolierten Knotens hat keine Auswirkungen auf den Rang.

9 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 7 Definition 1.2 (Reduzierter Graph) Sei ein Graph X gegeben. Der reduzierte Graph X zu X sei der Graph, der keine isolierten Knoten und Knoten identischer Nachbarschaft mehr enthält, die in X enthalten sind. Folgerung aus Definition 1.2 Sei X ein Graph und X der reduzierte Graph zu X. Dann gilt: rk X = rk X Definition 2.2 (Symplektischer Graph) Sei N eine 2r x 2r Blockdiagonalmatrix mit r N Blöcken der Form 0 1, also: 1 0 Der symplektische Graph Sp(2r) ist der Graph, dessen Knotenmenge V(Sp(2r)) die Menge aller von Null verschiedenen Vektoren im GF 2 ist, wobei die Nachbarschaft zweier Knoten definiert ist durch x~y x Ny = 1. Die Berechnungen erfolgen über dem Körper GF(2). Die Knotenmenge des symplektischen Graphen hat somit die Mächtigkeit V Sp 2r = 2 1. Um die Definition 2.2 etwas geläufiger zu machen, dient das nächste Beispiel: Beispiel 2.2 Wir untersuchen hier für den Fall r=2 den symplektischen Graph. Die Knotenmenge des Graphen Sp(4) besteht aus 15 Knoten: Über die Bedingung x~y x Ny = 1 für zwei verschiedene Knoten x und y kann dann auf Nachbarschaft geprüft werden. Wählen wir die Knoten x = (1000) und y = (0100). Damit sie benachbart wären, müsste x Ny = 1 gelten.

10 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 8 Da r=2 ergibt sich eine 4x4 Blockdiagonalmatrix mit 2 Blöcken der Form 0 1, also: 1 0 Setzt man nun in die Formel ein, erhält man: x Ny = 1. Damit sind x und y benachbart in Sp(4). So können alle Knoten auf Nachbarschaft geprüft werden und es ergibt sich folgendes Abbild des Sp(4): Satz 2.1 Ein reduzierter Graph X hat höchstens einen binären Rang 2r genau dann, wenn er ein Untergraph des Sp(2r) ist. Beweis. : Jeder reduzierte Graph X mit binärem Rang 2r kann vektoriell durch eine aufgespannte Menge von Null verschiedenen Vektoren des GF 2 beschrieben werden. Da GF 2 \0 dem Sp(2r) entspricht, kann gefolgert werden, dass die Knotenmenge von X eine Teilmenge der Knotenmenge des Sp(2r) ist, wobei zwei Knoten in X genau dann adjazent sind, falls sie in Sp(2r) adjazent sind. Deswegen ist X ein Untergraph des Sp(2r). : Die Umkehrung ist klar. Satz 2.2 Jeder Graph mit 2r 1 Knoten kann aufgefasst werden als ein Untergraph des Sp(2r). Beweis. Wir beweisen dies durch Induktion über r. Für r=1: Der Graph hat in diesem Fall einen Knoten. Sp(2) besteht aus drei Knoten, da V Sp 2 = 2 1.

11 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 9 Die drei Knoten sind,,. Wenn man diese Knoten über die Bedingung x~y x Ny = 1 auf Nachbarschaft prüft, mit N = 0 1, erhält man, dass alle drei Knoten miteinander benachbart 1 0 sind. Der Graph des Sp(2) sieht somit folgendermaßen aus: Für r=1 stimmt also die Behauptung, weil ein einzelner Knoten ein induzierter Subgraph eines Dreiecks ist. Also betrachten wir r > 1: Sei X ein beliebiger Graph mit 2r 1 Knoten. Wenn X leer ist, dann ist ersichtlich, dass es ein Untergraph von Sp(2r) ist. Andernfalls hat X mindestens eine Kante uv. Sei Y die Rang-2-Reduzierung von X an der Kante uv. Dann ist Y ein Graph von 2r 3 Knoten. Durch die induktive Annahme kann eine Menge Ω von Vektoren in GF(2) 2r 2 konstruiert werden, die nicht Null sind. Wenn z ein Vektor in Ω ist, der den Knoten y ϵ V Y repräsentiert, dann definieren wir einen Vektor z ϵ GF(2) 2r folgendermaßen: z, wenn 1 i 2r 2 z = 1, wenn i = 2r 1 und y ~ u in X, oder i = 2r und y ~ v in X 0, in allen anderen Fällen Dann ist die Menge Ω = : Ω, eine Menge von 2r Vektoren in GF(2) 2r. Um zu überprüfen, dass Ω gleich mit X ist verlangt die Überprüfung mehrerer Fälle, die hier nicht durchgeführt werden.

12 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite Die Spektralzerlegung Bevor dieses Thema begonnen wird, werden noch einige Begriffe eingeführt bzw. wiederholt. Sei A M R eine symmetrische Matrix. beschreibt die Menge aller Eigenwerte von A. wäre somit ein Eigenwert. Zu jedem θ gibt es einen Eigenraum. Dieser Eigenraum wird durch die Eigenvektoren zu θ, die über die Eigenwertgleichung Av = θv bestimmt werden, und dem Nullvektor aufgespannt. sei die beschreibende Matrix der orthogonalen Projektion auf. Definition 3.1 (Idempotente Matrix) Eine n x n Matrix A heißt idempotent, falls A = A. Bemerkung 3.1 Falls E idempotent wäre, würde E = E gelten. Dies ist für jede beliebige Projektion erfüllt. Aus diesem Grund wird E auch prinzipiell idempotent genannt. Aus der Kenntnis, dass Eigenräume verschiedener Eigenwerten von A immer orthogonal zueinander sind, gilt für zwei verschiedene Eigenwerte θ, τ ev A : E E = 0. Da es eine Basis des R gibt, die aus Eigenvektoren von A besteht, erhalten wir: I = E Daraus wiederum ergibt sich die Spektralzerlegung. Definition 3.2 (Spektralzerlegung) Sei A M R eine symmetrische Matrix, θ ev A und E wie zuvor. Die Matrix A lässt sich dann auf folgende Weise zerlegen: A = θe (*) Diese Zerlegung wird die Spektralzerlegung von A genannt. Am folgenden Beispiel soll die Spektralzerlegung deutlich gemacht werden: Beispiel 3.1 Es sei die Matrix A = 1 1 gegeben. Zunächst müssen die Eigenwerte von A 1 1 bestimmt werden. Die Eigenwerte entsprechen den Nullstellen des charakteristischen Polynoms X λ. X λ = det A λi = 1 λ 1 = λ λ λ

13 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 11 Daraus ergeben sich die beiden Eigenwerte θ = 0 und τ = 2. Nun müssen die Eigenräume zu jenen Eigenwerten ermittelt werden. : Dazu werden zunächst die Eigenvektoren bestimmt, sodass die Eigenwertgleichung Av = θv erfüllt ist. Durch Umformung erhält man: A θi v = v v = 0 v = v : R : Analoge Berechnungen liefern: : R Man erkennt, dass die beiden Eigenräume zueinander orthogonal sind, da das Skalarprodukt aus beiden Vektoren Null ist. Im nächsten Schritt müssen die Matrizen E und E bestimmt werden. Wir wählen dafür einen Vektor z = x y, sodass z durch Linearkombination der Vektoren der beiden Eigenräume darstellbar ist, also: wobei u = 1 1 und v = 1 ist. 1 Dadurch ergibt sich in (**): z = a u + b v, (**) x y = a b 1 1 Es folgt daraus: x = a + b und y = a + b Formt man diese Gleichungen um, erhält man: a = und b = Dies in (**) eingesetzt ergibt: x y x + y x y = 2 y x + 2 x + y 2 2

14 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 12 : Es wird E gesucht, sodass E x x y y = 2 1/2 1/2 y x. Man erhält: E = 1/2 1/2 : Es wird E gesucht, sodass E x x+y y = 2 1/2 1/2 x+y. Man erhält: E = 1/2 1/2 2 2 Nun muss das Produkt aus dem Eigenwert und der zugehörigen Matrix berechnet werden. Die Summe dieser beiden Produkte muss im Falle der Spektralzerlegung wieder die Matrix A ergeben. 1/2 1/2 1/2 1 θe + τ E = /2 = 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1 = A Weiterhin sieht man hier auch, dass E E = 0 und E + E = I. Bemerkung 3.2 Die Definition 3.2 kann auf den Bereich der Polynome ausgeweitet werden: Sei p ein Polynom, dann folgt für (*) p A = p θ E p(a) heißt Polynom in A und hat als Ergebnis eine Matrix. 4. Rationale Funktionen Definition 4.1 (Rationale Funktion) Eine rationale Funktion ist eine Funktion f(x), die als Quotient zweier Polynome p und q darstellbar ist, also von der Form wobei n, z N und a,, a, b,, b R. = = Bemerkung 4.1 (Folgerungen aus der Spektralzerlegung) Aus der Spektralzerlegung folgte vorhin, dass für ein Polynom p A = p θ E erfüllt ist. Ebenso kann man folgern, dass auch rationale Funktionen, die aus Polynomen aufgebaut sind, zerlegt werden können. Die einzige Voraussetzung, die an die rationale Funktion gestellt wird, ist, dass die Funktion in jedem Eigenwert von A definiert sein muss.

15 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 13 Aus der Spektralzerlegung kann weiterhin erhalten werden: xi A = x θ E (***) Lemma 4.1 Sei R eine symmetrische Matrix und B sei jene Matrix, die durch Löschen der i- ten Spalte und Zeile von A entsteht. Dann gilt: wobei der i-te Einheitsvektor ist.,, =, Beweis. Durch die Formel des Inversen einer Matrix erhält man xi A =. Es gilt außerdem, dass xi A = e xi A e. Wenn man die beiden Formeln nun gleichsetzt, ist die Aussage des Lemmas bewiesen. Satz 4.1 Sei R und R. Wir definieren = als rationale Funktion. Dann sind alle Nullstellen und Polstellen von einfach und ist auf dem gesamten Definitionsbereich negativ. Falls und aufeinander folgende Polstellen von sind, dann enthält des geschlossene Intervall [, ] genau eine Nullstelle von. Beweis. Durch (***) erhält man: b xi A b = b E b x θ Daher sieht man, dass die Polstellen von ψ einfach sind. Wenn man beide Seiten dieser Gleichung differenziert, erhält man: Also gilt: b xi A b = ψ x = b xi A b b E b x θ Da b xi A b die quadratische Länge von b xi A b ist, folgt, dass ψ x < 0, wenn x kein Pol von ψ ist. Das zeigt, dass jede Nullstelle von ψ einfach sein muss. Angenommen θ und τ sind aufeinander folgende Polstellen von ψ. Da die Polstellen einfach sind, folgt, dass ψ eine streng abnehmende Funktion am Intervall [θ, τ] ist. Sie ist positiv, wenn x Werte in der Nähe von θ annimmt und negativ, wenn x Werte nahe genug an τ annimmt. Daraus folgt, dass das Intervall [θ, τ] genau eine Nullstelle von ψ beinhaltet.

16 Heike Farkas SE Reine Mathematik Seite 14 Literatur Godsil, Chris; Royle, Gordon: Algebraic Graph Theory. Springer Verlag, New York, 2001.