Graphen: Einführung. Vorlesung Mathematische Strukturen. Sommersemester 2011

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1 Graphen: Einführung Vorlesung Mathematische Strukturen Zum Ende der Vorlesung beschäftigen wir uns mit Graphen. Graphen sind netzartige Strukturen, bestehend aus Knoten und Kanten. Sommersemester 20 Prof. Barbara König Übungsleitung: Mathias Hülsbusch Dabei klären wir vor allem einige grundlegende Begriffe und betrachten verschiedene Graphdarstellungen. Barbara König Mathematische Strukturen Graphen: Einführung Barbara König Mathematische Strukturen 262 Graphen: Einführung Graphen können zur Darstellung und Modellierung verschiedenster Strukturen eingesetzt werden: Beispiele für Graphen, die soziale Netzwerke darstellen. Wer kennt wen? Computer-Netzwerke (z.b. Internet) Straßennetze Nachbarschaftsbeziehungen Zustandsübergangsdiagramme UML-Diagramme im Software-Engineering Semantische Beziehungen zwischen Stichworten Soziale Netzwerke Barbara König Mathematische Strukturen 263 Barbara König Mathematische Strukturen 264

2 Graphen: Einführung rten von Graphen Beispiel für ein UML-Klassendiagramm Wir definieren zunächst zwei häufige Typen von Graphen: gerichtete Graphen und ungerichtete Graphen. Parkplatz enthaelt uto 0..5 besitzt Person 4 besteht aus Rad Gerichteter Graph Ein gerichteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E V V. (D.h., die Kantenmenge ist eine Relation auf der Knotenmenge.) Ein gerichteter Graph is also eigentlich nichts anderes als eine Relation auf einer Menge V. Barbara König Mathematische Strukturen 265 rten von Graphen Barbara König Mathematische Strukturen 266 rten von Graphen Beispiel: gerichteter Graph Der Graph besteht aus folgender Knoten- und Kantenmenge: V = {, B, C, D} E = {(, ), (, B), (, C), (, D), (B, ), (B, C), (C, D)} Bemerkungen (gerichteter Graph): Für eine Kante e = (v, v 2 ) heißt v Quellknoten von e und v 2 Zielknoten von e. Bei gerichteten Graphen sind Schleifen erlaubt. Eine Schleife an einem Knoten v V wird durch ein Paar (v, v) in der Kantenmenge dargestellt. Von einem Knoten v zu einem anderen Knoten v 2 kann es höchstens eine Kante geben, denn in der Menge E kann ein Paar (v, v 2 ) nicht mehrfach vorkommen. Es kann jedoch unter Umständen eine Vorwärtskante (v, v 2 ) E und eine dazugehörige Rückwärtskante (v 2, v ) E geben. Barbara König Mathematische Strukturen 267 Barbara König Mathematische Strukturen 268

3 rten von Graphen rten von Graphen Beispiel: gerichteter beschrifteter Graph y Oft betrachtet man auch gerichtete Graphen mit Beschriftungen. Gerichteter beschrifteter Graph Sei L eine Menge von Beschriftungen (oder Labels). Ein gerichteter beschrifteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E V L V. Barbara König Mathematische Strukturen 269 rten von Graphen x z B x C y D y Beschriftungs-, Knoten- und Kantenmengen: L = {x, y, z} V = {, B, C, D} E = {(, y, ), (, x, B), (, y, C), (, z, D), (B, z, ), (B, x, C), (B, y, C), (C, y, D)} y z Barbara König Mathematische Strukturen 270 rten von Graphen Bemerkungen (gerichteter beschrifteter Graph): Eine Kantenbeschriftung kann mehrfach im Graphen auftauchen. Da Kanten durch die Beschriftung unterschieden werden, kann es bei beschrifteten Graphen zwischen denselben Knoten zwei oder mehr Kanten in der gleichen Richtung geben. Diese müssen jedoch alle unterschiedlich beschriftet sein. Im Beispiel gibt es zwei Kanten zwischen den Knoten B und C: (B, x, C), (B, y, C) Bei ungerichteten Graphen spielt die Kantenrichtung keine Rolle. Kanten werden daher nicht durch Tupel/Paare, sondern durch Mengen dargestellt. Ungerichteter Graph Ein ungerichteter Graph G = (V, E) besteht aus einer Knotenmenge V und einer Kantenmenge E, wobei jede Kante durch eine zweielementige Teilmenge von V dargestellt wird. (D.h., die Kantenmenge ist eine Menge von zweielementigen Mengen.) Barbara König Mathematische Strukturen 27 Barbara König Mathematische Strukturen 272

4 rten von Graphen rten von Graphen Beispiel: ungerichteter Graph Knoten- und Kantenmengen: Bemerkungen (ungerichteter Graph): Bei unseren ungerichteten Graphen sind Schleifen nicht erlaubt. (Es gibt jedoch auch Erweiterungen mit Schleifen.) Zwischen zwei Knoten kann es höchstens eine Kante geben, die sie verbindet. (Es gibt keine Unterscheidung zwischen Vorund Rückwärtskanten.) V = {, B, C, D} E = {{, B}, {, C}, {, D}, {B, C}, {C, D}} Barbara König Mathematische Strukturen 273 rten von Graphen Barbara König Mathematische Strukturen 274 Es gibt noch weitere rten von Graphen: Ungerichtete beschriftete Graphen Graphen mit Knotenbeschriftung Graphen mit Mehrfachkanten (auch Multigraphen) genannt Hypergraphen, bei denen eine Kante auch mit mehr als zwei Knoten verbunden sein kann Wir betrachten im folgenden die Begriffe Weg, Zyklus, Pfad und Kreis. Weg Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Eine Folge v,, v m von Knoten aus V heißt Weg, falls es für alle i {,, m } eine Kante von v i nach v i+ gibt. D.h., aufeinanderfolgende Knoten sind miteinander verbunden: Im gerichteten Fall: (v i, v i+ ) E. Im ungerichteten Fall {v i, v i+ } E. Ein Weg v,, v m hat die Länge m. (Die Länge ist also die nzahl der Kanten, nicht die nzahl der Knoten.) Ein Weg, der nur aus einem Knoten v besteht, hat die Länge 0. Barbara König Mathematische Strukturen 275 Barbara König Mathematische Strukturen 276

5 Beispiele für Wege: Gerichteter Fall: Wege:,,, B,, C, D, B, C, D Keine Wege: B, D C, D, B, B, B Ungerichteter Fall: Wege:, C, B, C, B,, C, B, C, D, Keine Wege: B, D D, B, Einige der Wege kehren wieder an ihren usgangspunkt zurück. Solche Wege bezeichnet man als Zyklen. Zyklus Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Zyklus, falls v = v m. Einige der Wege im vorherigen Beispiel sind auch Zyklen. Gerichteter Fall:,,, B, Ungerichteter Fall:, B, C, D, (Dies sind nicht die einzigen Zyklen in den Beispielgraphen.) Barbara König Mathematische Strukturen 277 Barbara König Mathematische Strukturen 278 Wege, die keinen Knoten mehrfach besuchen, bezeichnet man als Pfade. Pfad Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Pfad, falls alle Knoten v,, v m voneinander verschieden sind. Beispiele für Pfade: Gerichteter Fall: Pfade:, B, C, D, C, D, D Ungerichteter Fall: Pfade:, B, C, D, C, D, C, B, D, C, B D,, B, C Barbara König Mathematische Strukturen 279 Barbara König Mathematische Strukturen 280

6 Wege, die wieder zum usgangspunkt zurückkehren und keinen Knoten mehrfach besuchen, bezeichnet man als Kreise. Kreis Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph. Ein Weg v,, v m heißt Kreis, falls v = v m (der nfangsknoten und der Endknoten sind gleich) und alle Knoten in v,, v m voneinander verschieden sind. Beispiele für Kreise: Gerichteter Fall: Kreise:,, B, Ungerichteter Fall: Kreise:, B,, B, C,, C, D,, B, C, D, Bis auf den Wechsel des Startpunkts handelt es sich im gerichteten Fall um alle möglichen Kreise. Barbara König Mathematische Strukturen 28 Barbara König Mathematische Strukturen 282 Bemerkung: Da ein Pfad keinen und ein Kreis höchstens einen Knoten mehrfach besuchen darf, ist die Länge von Pfaden und Kreisen durch die nzahl der Knoten im Graphen beschränkt. Längere Pfade oder Kreise sind nicht möglich. Das heißt insbesondere auch, dass es in einem gegenen endlichen Graphen nur endlich viele Pfade und Kreise gibt. Oft ist man auch am kürzesten Weg zwischen zwei Knoten interessiert (beispielsweise für Tourenplanung, Navigationssoftware). Kürzester Weg Sei G = (V, E) ein gerichteter oder ungerichteter Graph und seien v, w V zwei Knoten. Ein Weg v = v,, v m = w heißt kürzester Weg von v nach w, wenn seine Länge minimal ist. Der kürzeste Weg zwischen v und w ist auf jeden Fall ein Pfad, d.h., er enthält keinen Knoten mehrfach. Falls v = w gilt, so hat der kürzeste Weg die Länge 0 und besteht einfach nur aus dem Knoten v. Barbara König Mathematische Strukturen 283 Barbara König Mathematische Strukturen 284

7 Beispiele für kürzeste Wege: Gerichteter Fall: B,, D und B, C, D sind beides kürzeste Wege von B nach D, beide mit Länge 2. Es gibt keinen Weg von D nach und daher auch keinen kürzesten Weg. Ungerichteter Fall: B,, D und B, C, D sind beides kürzeste Wege von B nach D. Beide haben die Länge 2. Barbara König Mathematische Strukturen 285 Wie vorher beschrieben können Graphen als Mengen (oder Listen) von Knoten und Kanten dargestellt werden. Es gibt jedoch noch kompaktere Darstellungen in Form von Matrizen: djazenzmatrizen und Inzidenzmatrizen. Dazu nimmt man an, dass die Knoten des Graphen durch natürliche Zahlen von bis n = V gegeben sind. Die Knotenmenge hat daher im folgenden immer diese Form: V = {,, n}. ußerdem betrachten wir für die Matrizendarstellung nur unbeschriftete Graphen. Barbara König Mathematische Strukturen 286 djazenzmatrix (Nachbarschaftsmatrix) Die djazenz- oder Nachbarschaftsmatrix eines Graphen G = (V, E) ist eine n n-matrix, wobei n = V. Sie enthält folgende Einträge: falls G ein gerichteter Graph ist: Beispiel: gerichteter Graph { falls (i, j) E i,j = 0 sonst falls G ein ungerichteter Graph ist: { falls {i, j} E i,j = 0 sonst Mit i, j {,, n}. Die djazenzmatrix des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: = Barbara König Mathematische Strukturen 287 Barbara König Mathematische Strukturen 288

8 Bemerkungen (gerichteter Fall): Die nzahl der Kanten im Graphen entspricht der nzahl der Einsen in der djazenzmatrix. Der Graph ist schleifenfrei, genau dann, wenn die Diagonale (von links oben nach rechts unten) nur Nullen enthält. Schleifenfrei bedeutet, dass der Graph keine Schleifen enthält. Zwei Knoten, die miteinander verbunden sind, nennt man adjazent. Beispiel: ungerichteter Graph Die djazenzmatrix des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: = Barbara König Mathematische Strukturen 289 Barbara König Mathematische Strukturen 290 Bemerkungen (ungerichteter Fall): Ungerichtete Graphen sind per Definition immer schleifenfrei, d.h., die Diagonale (von links oben nach rechts unten) enthält nur Nullen. Es gilt: {i, j} E genau dann, wenn {j, i} E, wegen {i, j} = {j, i}. Das heißt, wenn i,j den Wert eins hat, dann hat auch j,i den Wert eins, und umgekehrt. (nschaulich: wenn in einem ungerichteten Graph i mit j verbunden ist, dann ist auch j mit i verbunden.) Daher ist die Matrix (spiegel-)symmetrisch bezüglich der Diagonalen. ußerdem wird jede Kante doppelt gezählt. Die Matrix enthält daher zweimal soviel Einsen wie der Graph Kanten. Neben djazenzmatrizen gibt es auch noch sogenannte Inzidenzmatrizen. Hier nehmen wir an, dass auch die Kanten in eine Reihenfolge gebracht wurden. Wir bezeichnen die Kanten der Reihenfolge nach mit e, e 2,, e m. Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix) Die Inzidenz- oder Knoten-Kanten-Matrix B eines Graphen G = (V, E) ist eine m n-matrix, wobei m = E und n = V. Sie enthält folgende Einträge: falls G ein schleifenfreier gerichteter Graph ist: falls j Quellknoten von e i ist B i,j = 0 falls j Zielknoten von e i ist Barbara König Mathematische Strukturen 29 Barbara König Mathematische Strukturen 292

9 Inzidenzmatrix (Knoten-Kanten-Matrix) (Fortsetzung) falls G ein ungerichteter Graph ist: { falls j ei B i,j = 0 sonst Beispiel: gerichteter Graph 2 e 5 e e 3 e2 e 4 e Mit i {,, m}, j {,, n}. Die Bedingung, j e i bedeutet, dass die Kante e i mit Knoten j verbunden ist. (In einem ungerichteten Graph ist eine Kante eine Menge!) Man sagt, dann auch, dass der Knoten j und die Kante e i zueinander inzident sind. Die Inzidenzmatrix B des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: B = Barbara König Mathematische Strukturen 293 Bemerkungen (gerichteter Fall): In jeder Zeile steht genau eine und genau eine. Inzidenzmatrizen werden hier nur für schleifenfreie gerichtete Graphen betrachtet. Schleifen können in dieser Darstellung nicht repräsentiert werden. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der ausgehenden Kanten des Knoten j. Man nennt diese Zahl auch den usgangsgrad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten den usgangsgrad 3. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der eingehenden Kanten des Knoten j. Man nennt diese Zahl auch den Eingangsgrad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten 4 den Eingangsgrad 2. Barbara König Mathematische Strukturen 295 Barbara König Mathematische Strukturen 294 Beispiel: ungerichteter Graph e e2 e 3 e 4 Die Inzidenzmatrix B des obigen Graphen sieht folgendermaßen aus: e B = Barbara König Mathematische Strukturen 296

10 Bemerkungen (ungerichteter Fall): In jeder Zeile stehen genau zwei Einsen. Die nzahl der Werte in der Spalte j ist die nzahl der Kanten, die mit dem Knoten j inzident sind. Man nennt diese Zahl auch den Grad von j. Beispiel: Im Graphen auf der vorherigen Folie hat Knoten den Grad 3. Bemerkungen zu djazenz- und Inzidenzmatrizen: Es gibt eine eindeutige Zuordnung zwischen Graphen und ihren Matrizendarstellungen (zumindest sobald die Reihenfolgen der Knoten und Kanten fixiert sind): djazenzmatrizen Jeder gerichtete und ungerichtete Graph kann durch eine djazenzmatrix dargestellt werden. Zu jeder Matrix gibt es höchstens einen dazugehörigen Graphen, der diese Matrix als djazenzmatrix hat. Zu einer Matrix, die nur mit Nullen und Einsen belegt ist, gibt es immer einen dazugehörigen gerichteten Graphen. Bei ungerichteten Graphen gibt es auch Matrizen, die keinem Graphen entsprechen. Das passiert beispielsweise, wenn die Matrix nicht symmetrisch ist. Barbara König Mathematische Strukturen 297 Barbara König Mathematische Strukturen 298 Bemerkungen zu djazenz- und Inzidenzmatrizen (Fortsetzung): Inzidenzmatrizen Jeder schleifenfreie gerichtete und jeder ungerichtete Graph kann durch eine Inzidenzmatrix dargestellt werden. Zu jeder Matrix gibt es höchstens einen dazugehörigen Graphen, der diese Matrix als Inzidenzmatrix hat. Es gibt auch Matrizen, die keinem Graphen entsprechen. Das passiert beispielsweise, wenn eine Matrix in einer Zeile mehr oder weniger als zwei Einträge hat, die von 0 verschieden sind. Frage: Hat Matrizenmultiplikation eine Bedeutung für Matrizen, die Graphen darstellen? ntwort: Ja. Insbesondere für djazenzmatrizen von gerichteten Graphen gibt es eine graphen-theoretische Interpretation von Matrizenmultiplikation. Wir rechnen im folgenden in den reellen Zahlen (auch wenn nur Elemente aus N 0 vorkommen werden). Barbara König Mathematische Strukturen 299 Barbara König Mathematische Strukturen 300

11 djazenzmatrizen, Matrizenmultiplikation und nzahl der Wege Sei G = (V, E) ein gerichteter Graph mit Knotenmenge V = {,, n} und seine djazenzmatrix. Wir berechnen für ein k N 0 : M = k = } {{ } k-mal Dann gilt: M i,j beschreibt die nzahl der Wege der Länge k von i nach j. Warum gilt dieser Zusammenhang? Für k = gilt M = =. In diesem Fall gibt es zwischen i und j höchstens einen Weg und zwar genau dann, wenn diese mit einer Kante (i, j) E verbunden sind. Und genau in diesem Fall hat auch M i,j = i,j den Wert. Barbara König Mathematische Strukturen 30 Warum gilt dieser Zusammenhang? (Fortsetzung) ngenommen N = k beschreibt korrekt die nzahl der Wege der Länge k. Dann gilt für M = k+ = N : M i,j = n N i,l l,j l= = N i,,j + N i,2 2,j + + N i,n n,j In dem Summanden N i,l l,j wird die nzahl der Wege der Länge k von i nach l mit der nzahl der Einschritt-Wege von l nach j multipliziert. Er beschreibt also die nzahl der Wege der Länge k + von i nach j, die im letzten Schritt über l führen. Wenn man die Werte N i,l l,j für jedes l aufaddiert, erhält man genau die nzahl der Wege der Länge k + von i nach j. Barbara König Mathematische Strukturen 302 Graphische Darstellung: N i,,j Beispiel: Wege der Länge 3 in folgendem Graphen i. j N i, n Gestrichelte Linien: Wege der Länge k Durchgezogenen Linien: Wege der Länge (echte Kanten) n,j = = = Die vier Wege der Länge 3 von nach 4 sind:,,, 4,, 3, 4, 2, 3, 4, 2,, 4 Barbara König Mathematische Strukturen 303 Barbara König Mathematische Strukturen 304

12 Bemerkung: Mit einer etwas modifizierten Matrizenmultiplikation ist es auch möglich, die Länge des kürzesten Weges zwischen zwei Knoten zu berechnen. Warshall-lgorithmus Wir betrachten diesen lgorithmus jedoch nicht in der Vorlesung. Nun betrachten wir noch kurz eine spezielle Klasse von Graphen:. (Gerichteter) Baum Ein gerichteter Graph G = (V, E) heißt Baum, falls es einen Knoten r V gibt (der sogenannte Wurzelknoten) und es von r aus genau einen Weg zu jedem Knoten gibt. Barbara König Mathematische Strukturen 305 Barbara König Mathematische Strukturen 306 (Gegen-)Beispiele für gerichtete : r r r (Gegen-)Beispiele für gerichtete (Fortsetzung): r r Dieser gerichtete Graph ist ein Baum Kein Baum: es führt mehr als ein Weg von r zu v v w Kein Baum: es führt kein Weg von r zu w Kein Baum: die Wege führen zum Wurzelknoten r und nicht vom Wurzelknoten weg. Kein Baum: es gibt zwei Wege von r zu r. Einmal den Weg der Länge 0 und außerdem den Kreis. Barbara König Mathematische Strukturen 307 Barbara König Mathematische Strukturen 308

13 (Gegen-)Beispiele für ungerichtete : (Ungerichteter) Baum Ein ungerichteter Graph G = (V, E) heißt Baum, falls es von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten genau einen Pfad gibt. v v w Bemerkungen: Ungerichtete sind immer kreisfrei, d.h., sie enthalten keinen Kreis. Ungerichtete haben nicht unbedingt einen ausgezeichneten Wurzelknoten. Man kann jedoch einen beliebigen Knoten zum Wurzelknoten bestimmen. Dieser ungerichtete Graph ist ein Baum w Kein Baum: es gibt mehr als einen Pfad von v zu w Kein Baum: es führt kein Weg von Knoten v zu Knoten w. Der Graph ist nicht zusammenhängend. Barbara König Mathematische Strukturen 309 Barbara König Mathematische Strukturen 30 Beispiel: zur Klassifikation nwendungen von n: Suchbäume Tiere zur Klassifikation Darstellung von Verzeichnisstrukturen und Menüs Wirbeltiere Insekten Darstellung von Vererbungshierarchien in der objektorientierten Programmierung (hier gehen die Kanten jedoch in die Gegenrichtung) Fische mphibien Reptilien Vögel Ursäuger Säugetiere Beutelsäuger Höhere Säugetiere Barbara König Mathematische Strukturen 3 Barbara König Mathematische Strukturen 32