(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
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- Jobst Gerstle
- vor 8 Jahren
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1 Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die egelungseigenwerte seien paarweise verschieden und fallen nicht mit den Streckeneigenwerten zusammen. Dann gilt für die Eigenwerte λ i und Eigenvektoren v i des geschlossenen egelkreises (Definitionsgleichung) Lässt sich umstellen zu (λ i I A+B)v i. (λ i I A)v i Bv i. Mit der Definition der Parametervektoren (offensichtlich eine Projektion der egelungseigenvektoren über die ückführmatrix in den Eingangsraum ) p i : v i wird die rechte Seite Bp i. Unter der Annahme, dass eine (stabile) egelung gefunden wurde, existiert und die Matrix auf der linken Seite ist invertierbar, da λ i nicht mit einem Streckeneigenwert λ j zusammenfällt. Dann lässt sich jeder egelungseigenvektor als v i (A λ i I) Bp i darstellen. Der egelungseigenvektor hängt also von der Wahl von λ i und p i ab. Nutzt man nun diese Größen als Entwurfsparameter der Mehrgrößenregelung, dann kann aus [p p... p n [v v... v n die ückführmatrix [p p... p n [v v... v n bestimmt werden. Einsetzen der Bestimmungsgleichungen für v i liefert die oppenecker-formel [p... p n [ (A λ I) Bp... (A λ n I) Bp n. Die Parametervektoren p i werden beliebig gewählt, mit der Einschränkung, dass sich linear unabhängige egelungseigenvektoren v i ergeben müssen. Bedeutung der Parametervektoren (egelungs-)eigenvektoren geben die ichtungen im Zustandsraum an, in denen die der System-Dgl. sich bewegt, und zwar mit einer Dynamik, die durch die (egelungs-)eigenwerte beschrieben wird. Die ist zu jedem Zeitpunkt t eine Linearkombination der egelungseigenvektoren. x(t) ξ k (t)v k [v k... v n ξ(t) Dabei sind ξ k (t) die Zustände in Modal-/Diagonalkoordinaten. Multiplikation von links mit der eglermatrix liefert x(t) ξ k (t)v k u(t) k ξ k (t)p k [p... p n ξ(t) k Moderne Methoden der egelungstechnik -
2 Das egelgesetz ist somit die ückführung der einzelnen Moden ξ k (t) über die ückführmatrix P [p... p n! Daher auch Vollständige Modale Synthese. Aufgabe. a) Invarianz der eglermatrix unter Skalierung der Parametervektoren P : [p... p n, V : [v... v n Mit p i v i und P V folgt Skalierung p i k i p i, i,...,n PV P [p k... p n k n [p... p n k... PK. k n Eigenvektoren v i (A λ i I) Bp i, somit auch Damit ist Ṽ K V und somit ṽ i k i v i, i,...,n Ṽ V K PṼ PKK V PV. b) Invarianz der Parametervektoren unter regulärer Zustandstransformation x Tz egelgesetz ẋ Ax+Bu Tż ATz +Bu ż T} {{ AT} z +T} {{ B} u à B u x Tz z, T Eigenvektoren der egelung in z-koordinaten (Eigenwerte invariant ggü. Zustandstrafo) (λ i I Ã+ B )ṽ i (λ i I T AT +T BT)ṽ i T von links (λ i T AT +BT)ṽ i (λ i I A+B)Tṽ i } {{ } v i Def.-Gl. für EW/EV in x-koord. Damit gilt v i Tṽ i (natürlich analog zur allgemeinen Transformationsvorschrift x Tz). Definition der Parametervektoren Ṽ T V p i ṽ i p i TT v i v i p i Die Parametervektoren für das System in z-koordinaten sind gleich denen in x-koordinaten. Sie spannen ja den Eingangsraum auf, der nicht transformiert wird! Wie vorher gezeigt, gilt u Pξ Moderne Methoden der egelungstechnik -
3 mit ξ den Modalkoordinaten (diese ergeben sich durch x V ξ bzw. z Ṽ ξ sowohl aus x- als auch aus z-koordinaten). Es ergeben sich zwar unterschiedliche eglermatrizen und. Diese führen aber auch unterschiedliche Zustandsvektoren zurück! Eine schöne Interpretation ergibt sich, wenn gleich viele Eingänge und Zustände vorhanden sind und die Parametervektoren Einheitsvektoren sind, so dass P I. Dann wird die Bewegung jeder Mode ξ k des geregelten Systems auf einen Eingang u k abgebildet, und man erkennt z.b. die unterschiedlich schnellen Eigenwerte im Stellgrößenverlauf. Aufgabe. a) Vorgegebene egelungseigenwerte λ /,λ,λ Stellgröße nur u, d.h. a A b () Steuerungsraum also eindimensional, somit Parameter- Vektoren Skalare. (Es ist ja nur eine ichtung im Eingangsraum vorhanden und der Betrag der Parametervektoren spielt keine olle.) Wähle z.b. p p p mit r T [r r r [p p p [v v v v i (A λ i I) bp i (A λ i I) b Berechnung der zugehörigen egelungseigenvektoren. / (A λ I) b / / / / / b v / / (A λ I) b / / b v / / / 6/7 4/7 /7 6/7 (A λ I) b / / b 4/7 /7 6/7 4/7 v / /7 6/7 /7 /7 6/7 V [v v v 4/7 /7 Eigenvektoren linear unabhängig, die Wahl der Parametervektoren war also in Ordnung. /6 / /6 [p p p V [ /4 /4 /4 [ / 7/ 7/ 7/ Moderne Methoden der egelungstechnik -
4 b) Zustandsregelung des -Tank-Systems: Forderung der alleinigen ückführung von x : [ r. r Damit: [ p p P p p [ r r [ v v v v [ r v r v r v r v. D. h. beide Parametervektoren sollen linear abhängig sein. Da der Betrag keine olle spielt, können wir sie gleich wählen. Offen ist nur, welche ichtung sie haben müssen, um die Forderung umsetzen zu können. Wir legen fest: p p Damit ergeben sich die beiden egelungseigenvektoren [ c. [ [ v (A λ I) 5 Bp [ [ 8 [ 8 c 8 c 9 5 c 9 +5c [ [ v (A λ I) Bp [ [ 4 [ 4 c 4 c c +c Da wir gleiche Parametervektoren gewählt haben, muss gelten: v v : 9 ( +5c)! ( +c) +5c +c 8c c Einsetzen: [ [ [ 6 9 [ 6,5 9 6,5 9,5 9, ,5 ( 4) [ [ 5 [ 9 5 6,5 [ 4 6 Berechnung der Inversen einer Matrix auf zwei verschiedene Weisen: a) Gauß-Jordan: elementare Zeilenoperationen: Y X? Moderne Methoden der egelungstechnik -4
5 Z+Z Z Z Z Z ( ) Z ( ) X Z+Z Z Z b) Kofaktor-Methode: [X ij detx X ji, X ji ( ) j+i D ji Das Element der i-ten Zeile und j-ten Spalte von X ergibt sich aus X ji und der Determinante von X. X ji wiederum ergibt sich aus der Unterdeterminante, von X, die sich durch Streichen der j-ten Zeile und i-ten Spalte ergibt (Achtung: olle von Zeilen und Spalten vertauscht!). Gesucht: Y X detx ( ) 4 8 X, X ( ) 4, X 4, X ( ) 4, X, X ( ), X 4, X ( ), X 4. X X X X 4 4 X X X 8 detx 4 X X X 4 4 Aufgabe.: siehe Aufgabe.m? Moderne Methoden der egelungstechnik -5
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