1 Ordnung muß sein. 1.1 Angeordnete Körper. 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen. ( c) (b a) > 0. Somit a c b c > 0.

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1 1 Ordnung uß sein 1.1 Angeordnete Körper Wir nehen einal an, daß es in eine Körper Eleente gibt, die wir positiv nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben? O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch x + y und x y O2) Für jede Zahl x = 0 ist entweder x positiv oder x positiv aber nicht beides) O3) 0 ist nicht positiv Definition: Besitzt ein Körper positive Eleente it den Eigenschaften O1-O3, so heißt der Körper angeordnet. Definition: x < y bedeutet y x ist positiv y > x bedeutet x < y x y bedeutet x < y oder x = y y x bedeutet x y Kurzschreibweise: x y z heißt x y und y z 1.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxioen OF1) Für beliebige Zahlen a, b gilt: Genau eine der folgenden drei Dinge gilt: a < b, b < a, a = b Grund: Sei x := b a. Nach O2 gilt genau eines der drei folgenden: x > 0, x < 0, x = 0. Das entspricht der Behauptung. OF2) Wenn a 0 und b < c bedeutet c b > 0. Also ist b a) + c b) > 0. Und dait c a > 0 also a < c. OF3) Wenn a < b, dann a + c 0, also y > x. OF4) Wenn a 0, dann ist a c 0. Dann ist für c > 0 : c b a) = c b c a > 0 OF5) Wenn a = 0, dann ist a 2 > 0 Grund: Ist a > 0, so ist a 2 > 0. Ist a < 0, dann ist a) > 0 also a) a) = 1) 1) a a = a 2 > 0. OF6) 1 > 0 Grund: Voriger Satz it a = 1 OF7) Wenn a b c Grund: a 0 und c < 0 bedeutet c) > 0. Also ist c) b a) > 0. Soit a c b c > 0.

2 OF8) Wenn a < b, dann a > b. Speziell: Wenn a < 0, dann a) > 0 Grund: Folgt aus vorige Satz durch c = 1 OF9) Ist a b > 0, dann sind entweder a und b beide positiv oder a und b beide negativ. Grund: Sei z.b a > 0 und b < 0. Dann wäre a b) = a b > 0 OF10) Wenn a < c und b < d, dann a + b < c + d Grund: Mit c a > 0 und d b > 0 ist c a + d b = c + d) a + b) > 0 OF11) Wichtige Tatsache : Es ist a 2 0 für alle a. Ist a 2 + b 2 = 0, so gilt a = b = 0. Grund: Für a = 0 ist a 2 > 0 und 0 2 = 0, also a 2 0. Daher ist a 2 + b 2 0 für alle a, b. Ist nun a = 0 oder b = 0, so ist a 2 + b 2 > 0. OF12) Es gibt, in eine angeordneten Körper, keine Zahl i it i 2 = 1 denn i = 0. F 2 ist nicht angeordnet: = 0. OF13) Ist 0 < a < b, so gilt 0 < a n < b n und ugekehrt. Grund: Es ist b n a n = b a)b n 1 + b n 2 a ba n 2 + a n 1 ) = b a) n 1 k=0 ak b n k 1. Da die Ausdrücke der zweiten Klaer alle positiv sind, ist das Vorzeichen der rechten Seite identisch it de Vorzeichen von b a > 0, also b n a n > 0. a n > 0 ist wegen a > 0 klar. Die Ukehrung folgt ebenso aus der Tatsache, daß die beiden Seiten der obigen Gleichung dasselbe Vorzeichen haben. Beerkung: OF11 sichert, daß = 0, = 0 usw. Dait ist aber auch 1 1 = 0, = 0 usw. Dait liegen die ganzen Zahlen Z in jede angeordneten Körper. Weiter sieht an daß dait die rationalen Zahlen p q it p Z und q N in jede angeordneten Körper liegen. Für F 2 ist das offenbar falsch, denn = 0. Beispiel: Der Körper Q = { p q p Z und q N} ist ein angeordneter Körper. Es gilt: und dait p q > r s p q r s > 0 p s r q q s p q > 0 p > 0 > 0 p s r q > 0 p s > r q Definition Intervalle):i) Für einen angeordneten Körper it Eleenten a b definieren wir: a, b) := {x a < x < b} [a, ) := {x a x} a, b] := {x a < x b} a, ) := {x a < x} [a, b) := {x a x < b}, b] := {x x b} [a, b] := {x a x b}, b) := {x x < b} dabei heißt a, b) offenes Intervall und [a, b] abgeschlossenes Intervall. Die anderen beiden Intervalltypen heißen halboffen. Übungen: 1) Die Sue zweier negativer Zahlen ist negativ 2) Wenn a > 0, dann 1 a > 0; wenn a < 0, dann 1 a < 0 3) Wenn 0 < a < b, dann 0 < b 1 < a 1 4) Wenn a b und b c, dann a c 5) Wenn a b und b c und a = c, dann b = c

3 1.3 Die Betragsfunktion In eine angeordneten Körper können wir den Betrag eines Eleentes wie folgt definieren: x falls x positiv ist x := 0 falls x = 0 x falls x negativ ist Kürzer geht das durch s.u.) x := x 2 Definition: Der Abstand zweier Zahlen x, y ist x y. Satz: x y = x y Grund Wenn x und y gleiches Vorzeichen haben, ist x y positiv, also x y = x y. Wenn beide negativ sind ist x y = x) y) = x y = x y. Sind beide positiv, so gilt: x y = x y = x y. Ist x negativ und y positiv, so gilt: x y = x y) = x y = x y, da dann das Produkt negativ ist. Analog geht der letzte verbliebene Fall. Satz Dreiecksungleichung): x + y x + y Grund: Für x gilt x x und für y gilt y y. Also folgt x + y x + y. Außerde gilt x x und y y und soit x + y) = x + y) x + y. Insgesat also die Behauptung. 1.4 Das Supreusaxio Bei Q handelt es sich zwar u einen angeordneten Körper, er hat aber noch Lücken. Die Zahl 2, als die Länge der Diagonale eines Quadrates it Seitenlänge 1 ist keine rationale Zahl. Grund: Wir nehen an: 2 = p q it teilerfreden p und q. Dann folgt q 2 = p und nach Quadrieren: 2q 2 = p 2. Dann ist aber die rechte Seite ein Quadrat. Dann uß aber p durch 2 teilbar sein, also p = 2k, für ein k N. Dann ist aber 2q 2 = 4k 2 ithin q 2 = 2k 2. Mit de gleichen Arguent wie oben ist dann aber auch q eine gerade Zahl und p und q haben den geeinsaen Teiler 2. Definition: Sei S eine Menge von Zahlen eines angeordneten Körpers. Eine Zahl s heißt obere Schranke vo S, falls für ALLE Zahlen a in S gilt a s. Gibt es eine obere Schranke für S, so heißt S nach oben beschränkt. Definition Supreu: Eine Zahl s 0 ist kleinste obere Schranke Supreu) einer Menge S =, wenn gilt: i) s 0 ist obere Schranke für S ii) Keine Zahl kleiner als s 0 ist obere Schranke für S, d.h. s < s 0 a S : a > s. Anders gesagt: Ist s obere Schranke von S, so gilt s s 0. Beerkung: i) Wenn Sie sich einen Pegelstandsanzeiger a Rhein ansehen, sehen Sie lauter obere Schranken für den tatsächlichen Pegelstand. Dieser tatsächliche Pegelstand ist das Supreu dieser.

4 ii) Analog zu Supreu ist das Infiu die größte untere Schranke einer nicht leeren, nach unten beschränkten Menge. Die Eigenschaften von Suprea gelten sinngeäß auch für Infia. Satz: Suprea und Infia sind eindeutig. Grund: Wir nehen an, daß s 0 und s 1 beide Suprea der nach oben beschränkten Menge S sind. Weil s 0 kleinste obere Schranke ist, gilt s 0 s 1. Da s 1 kleinste obere Schranke ist, gilt: s 1 s 0. Also insgesat s 0 = s 1 Beerkung: Wir betrachten in eine angeordneten Körper für ein Eleent a die Mengen S 0 := {x x a} und S 1 := {x x < a} Offenbar sind beide Mengen nicht leer, da z.b. x 1 in beiden liegt. Die beiden Mengen sind verschieden a S 0 und a / S 1 ) haben aber das gleiche Supreu a. I ersten Falle nennt an das Supreu auch Maxiu. Lea: Ist sup A = s, so gibt es zu jede N ein x A, it s 1 < x s. Grund: Es ist A = A\s 1, s] s 1, s] A ). Jedes Eleent x der ersten Menge erfüllt also x s 1. Wäre die zweite Menge leer, so wäre s 1 eine kleinere obere Schranke von A. Definition: Ein angeordneter Körper erfüllt das Supreusaxio, wenn jede nach oben beschränkte, nichtleere Teilenge ein Supreu hat. Satz: Die reellen Zahlen R sind ein angeordneter Körper der das Supreusaxio erfüllt. Beerkung: Die reellen Zahlen sind sogar, in eine vernünftigen Sinne, der einzige angeordnete Körper it Supreusaxio. Lea: Seien A, B zwei nichtleere Teilengen von R it a < b für alle a A und b B. Dann existieren sup A und inf B und es gilt: sup A inf B Grund: Sei zunächst b B fest. Dann gilt a < b, also auch a b, für alle a A. Also ist A nach oben durch b beschränkt, also existiert sup A R. Nun ist sup A kleinste obere Schranke und b obere Schranke von A, also gilt sup A b. Da diese Arguentation für beliebiges b B gilt, folgt sup A b für alle b B. Daher ist sup A untere Schranke von B. Daher ist B ist B nach unten beschränkt und besitzt eine größte untere Schranke: inf B R. Annahe: sup A > inf B. Dann existiert x A, it sup A 1 < x sup A. Für genügend große ist x > inf B z.b. für 1 sup A+inf B < 2 ). Also haben wir inf B < x sup A Also ist x keine untere Schranke von B. Daher gibt es ein y B, it y < x, i Widerspruch zu A < B. 1.5 Archiedizität In diese Abschnitt sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Die Menge der natürlichen Zahlen 1, 1 + 1, ,...ist in K nach oben unbeschränkt. D.h., daß es zu jede x K ein n N gibt, it x < n.

5 Grund: Wäre N beschränkt, so gäbe es nach de Supreusaxio s = sup N. Nun ist s 1 < s keine obere Schranke für N. Also gibt es ein n N, it n > s 1. Also ist n + 1 > s i Widerspruch dazu, daß s obere Schranke vo N ist. Folgerung: Ist x K und x > 0, dann existiert ein n N, it 1 n < x. Grund: Nach vorangehende Satz gibt es ein n N, it 1 x < n, also x > n 1 Folgerung: Ist 0 x < n 1 für alle n N, so ist x = 0. Folgerung: Ist b a < n 1 für alle n N, so ist b = a. 1.6 Wurzeln Sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Sei a > 0. Dann gibt es genau ein positives Eleent b, it b 2 = a. Grund Skizze): Die exakte Begründung ist technisch schwierig. Die Idee s.u.) ist, daß eine der drei Möglichkeiten b 2 > a, b 2 < a, b 2 = a gelten uß. Die Annahe von b 2 > a bzw. b 2 < a führen auf einen Widerspruch, so daß b 2 = a gelten uß. Eine ausführliche Begründung finden Sie auf Übungsblatt 3) Sei K ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Satz: Sei a > 0. Dann gibt es zu jede n N genau ein positives Eleent b, it b n = a. Grund: Ist 0 < y < z, so gilt 0 < y n < z n. Zwei verschiedene positive Zahlen können also potenziert it n nicht gleich werden. Dies zeigt die Eindeutigkeit. *) Existenz: Sei zunächst a > 1. Wir betrachten die Menge S = {x > 0 x n a}. Zunächst gilt 1 n = 1 < a, also 1 S und soit ist S nicht leer. Weiter gilt für x S: x n < a < a n und soit a n x n > 0. Dait ist nach OF13) x < a. Die Menge S ist also durch a beschränkt. Nach de Supreusaxio gibt es also s = sup S in K. Wegen 1 S ist s 1. Wegen s 1 < s < s + 1 für alle N it 2 gilt: s ) 1 n < s n < s + 1 ) n Wegen der Supreuseigenschaft von s und wegen s 1 < s gibt es ein b S it s 1 < b. Dann gilt aber s 1 ) n s, ist s + 1 / S also s + 1 ) n > a. Insgesat gilt also: s ) 1 n < b n a < s + 1 ) n Daher ist b n a < s + 1 ) n s 1 ) n

6 ) 2 n 1 = s + 1 ) k s 1 ) ) n k 1 k=0 Wegen 0 < s 1 < s + 1 < s + 1 ist dieser Ausdruck kleiner als n 1 2 k=0 s + 1) k s + 1) n k 1 = 1 2ns + 1)n 1 wird also beliebig klein für große. Daher gilt b n = a. Ist nun a < 1, so gibt es ein b, it b n = 1 a > 1. Dann ist 1 b ) n = 1 b n = 1 1 a = a. Definition: a 1 n = n a = b, a n = a n ) 1. Die reellen Zahlen eine Übersicht): Die reellen Zahlen sind ein angeordneter Körper, der das Supreusaxio erfüllt. Insbesondere gilt: i) Die reellen Zahlen erfüllen, it der Addition und Multiplikation, die Axioe und dait deren Folgerungen) eines Körpers ii) Die reellen Zahlen sind angeordnet durch <, isbesondere ist jedes Eleent ungleich 0 entweder positiv oder negativ. iii) In reellen Zahlen hat jedes positive Eleent eine Quadratwurzel. i) Die reellen Zahlen sind archiedisch geordnet, d.h. zu jeder reellen Zahl x gibt es eine natürliche Zahl n, it x < n